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Variationen

WebinarTerminankündigung aus unserem Online-Kurs Volks- und Betriebswirtschaft:
 Am 12.01.2017 (ab 18:00 Uhr) findet unser nächstes Webinar statt.
Gratis-Webinar Grundbegriffe der Bilanzierung
- In diesem 60-minütigen Gratis-Webinar gibt Daniel Lambert einen Überblick über die zentralen Begriffe der Bilanzierung - hier im Besonderen dem Bilanzausweis.
[weitere Informationen] [Terminübersicht]

Variationen ohne Wiederholung

Methode

Wenn man aus n Objekten ein k-Tupel (a1,a2,...,ak) bildet (k ≤ n) und sich die Elemente des Tupels nicht wiederholen (ai ≠ aj für i ≠ j), so spricht man von einer Variation k. Ordnung von n Elementen ohne Wiederholung. Es gibt $\ {n! \over {(n-k)!}} $ viele hiervon.

Beispiel

Wir wollen n = 4 Stühle mit k = 2 Personen besetzen. Es ist k = 2 ≤ n = 4, die Elemente wiederholen sich nicht (ein- und dieselbe Person kann nicht auf unterschiedlichen Stühlen sitzen).  

Es gibt $\ {4! \over {(4-2)!}} = {4! \over  2!} = {{ 1! \cdot 2! \cdot 3! \cdot 4! } \over {1! \cdot 2!}} = 3·4 = 12 $ Möglichkeiten, dies zu tun, nämlich

(1,2,*,*) (2,1,*,*)

(*,2,1,*) (*,1,2,*)

(*,*,1,2) (*,*,2,1)

(1,*,*,2) (2,*,*,1)

(1,*,2,*) (2,*,1,*)

(*,2,*,1) (*,1,*,2)

Die Zahlen 1 und 2 stehen für die Personen, die Sterne * für die Stühle. Wichtig ist, dass die Personen 1 und 2 zwar unterscheidbar sind, die Sterne * aber nicht! So ist, wenn man die Sterne ersetzt durch Stuhl 3 und Stuhl 4, die Anordnung (1,3,4,2) die gleiche wie (1,4,3,2), denn nur die unbesetzten Stühle werden vertauscht, was aber für die Fragestellung keine Rolle spielt. Denn die Aufgabe war es ja, die Möglichkeiten zu finden, k = 2 Personen auf n = 4 Stühle anzuordnen.

Video zu Variationen ohne Wiederholung

Video: Variationen

Wenn man aus n Objekten ein k-Tupel (a1,a2,...,ak) bildet (k ≤ n) und sich die Elemente des Tupels nicht wiederholen (ai ≠ aj für i ≠ j), so spricht man von einer Variation k.

Variationen mit Wiederholung

Methode

Ein k-Tupel (a1,a2,...,ak) aus k Elementen einer n-elementigen Obermenge heißt Variation k. Ordnung von n Elementen mit Wiederholung. Es gibt nk viele Möglichkeiten hierfür.

Merke

  • Die einzelnen Elemente ai, aj müssen also nicht ungleich sein, die Bedingung ai ≠ aj für i ≠ j fehlt im Gegensatz zu den Variationen ohne Wiederholung.

  • Die Reihenfolge der Elemente in den k-Tupeln wird unterschieden

Beispiel

 Beim dreifachen Münzwurf gibt es (k = 3 faches Werfen einer Münze mit n = 2 Ausprägungen, nämlich Kopf und Zahl) insgesamt nk = 23 = 8 unterschiedliche Möglichkeiten.  

Diese lauten (K,K,K), (K,Z,Z), (Z,K,Z), (Z,Z,K), (K,K,Z), (K,Z,K), (Z,K,K), (Z,Z,Z).

Bei den nun folgenden Kombinationen kommt es auf die Elemente selber an, nicht hingegen auf ihre Reihenfolge.

Video zu Variationen mit Wiederholung

Video: Variationen

Wenn man aus n Objekten ein k-Tupel (a1,a2,...,ak) bildet (k ≤ n) und sich die Elemente des Tupels nicht wiederholen (ai ≠ aj für i ≠ j), so spricht man von einer Variation k.
Multiple-Choice

Es werde ein fairer Würfel dreimal hintereinander geworfen. Wieviele Möglichkeiten existieren für die Anzahl der Augen? 

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Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Kommentare zum Thema: Variationen

  • Maren Nebeling schrieb am 09.06.2015 um 10:42 Uhr
    Hallo, ja hier lag ein Fehler vor. "n" und "k" waren vertauscht. Vielen Dank und den Hinweis und schöne Grüße
  • Max Mustermann schrieb am 05.06.2015 um 16:52 Uhr
    Beim BSP "Variationen mit Wiederholung" ist n=3 (Werfen der Münze) und k=2 (Seiten), dann müsste n^k doch 3^2 sein und nicht 2^3. Oder sind "n" und "k" vertauscht? Grüße, André
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Autor: Daniel Lambert

Dieses Dokument Variationen ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Dipl.-Math. Dipl.-Kfm. Daniel Lambert gibt seit vielen Jahren Kurse zur Prüfungsvorbereitung. Er unterrichtet stets orientiert an alten Prüfungen und weiß aus langjähriger Erfahrung, wie sich komplexe Sachverhalte am besten aufbereiten und vermitteln lassen. Daniel Lambert ist Repetitor aus Leidenschaft seit nunmehr 20 Jahren.
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    Ein Kursnutzer am 23.07.2015:
    "Weiter so!! viele Grüße aus Nürnberg"

  • Gute Bewertung für Wahrscheinlichkeitsrechnung

    Ein Kursnutzer am 08.06.2015:
    "Ich finde, dass Herrn Lambert eine große Gabe hat, schwierige Sachverhalte einfach und strukturiert wiederzugeben. Man gewinnt außerdem den Eindruck, dass er Spaß an der Erklärung hat und an wichtiger Stelle die Fokussierung mit Witz und Präzision in der Wortwahl den Stoff einleuchtend vermittelt. Ich würde mal sagen, das war ein ganz schön dickes LOB! :-) Danke! "

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    Ein Kursnutzer am 19.01.2015:
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