Kursangebot | Wahrscheinlichkeitsrechnung | Variationen

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Variationen

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Variationen ohne Wiederholung

Methode

Wenn man aus n Objekten ein k-Tupel (a1,a2,...,ak) bildet (k ≤ n) und sich die Elemente des Tupels nicht wiederholen (ai ≠ aj für i ≠ j), so spricht man von einer Variation k. Ordnung von n Elementen ohne Wiederholung. Es gibt $\ {n! \over {(n-k)!}} $ viele hiervon.

Beispiel

Wir wollen n = 4 Stühle mit k = 2 Personen besetzen. Es ist k = 2 ≤ n = 4, die Elemente wiederholen sich nicht (ein- und dieselbe Person kann nicht auf unterschiedlichen Stühlen sitzen).  

Es gibt $\ {4! \over {(4-2)!}} = {4! \over  2!} = {{ 1! \cdot 2! \cdot 3! \cdot 4! } \over {1! \cdot 2!}} = 3·4 = 12 $ Möglichkeiten, dies zu tun, nämlich

(1,2,*,*) (2,1,*,*)

(*,2,1,*) (*,1,2,*)

(*,*,1,2) (*,*,2,1)

(1,*,*,2) (2,*,*,1)

(1,*,2,*) (2,*,1,*)

(*,2,*,1) (*,1,*,2)

Die Zahlen 1 und 2 stehen für die Personen, die Sterne * für die Stühle. Wichtig ist, dass die Personen 1 und 2 zwar unterscheidbar sind, die Sterne * aber nicht! So ist, wenn man die Sterne ersetzt durch Stuhl 3 und Stuhl 4, die Anordnung (1,3,4,2) die gleiche wie (1,4,3,2), denn nur die unbesetzten Stühle werden vertauscht, was aber für die Fragestellung keine Rolle spielt. Denn die Aufgabe war es ja, die Möglichkeiten zu finden, k = 2 Personen auf n = 4 Stühle anzuordnen.

Video zu Variationen ohne Wiederholung

Video: Variationen

Variationen mit Wiederholung

Methode

Ein k-Tupel (a1,a2,...,ak) aus k Elementen einer n-elementigen Obermenge heißt Variation k. Ordnung von n Elementen mit Wiederholung. Es gibt nk viele Möglichkeiten hierfür.

Merke

  • Die einzelnen Elemente ai, aj müssen also nicht ungleich sein, die Bedingung ai ≠ aj für i ≠ j fehlt im Gegensatz zu den Variationen ohne Wiederholung.

  • Die Reihenfolge der Elemente in den k-Tupeln wird unterschieden

Beispiel

 Beim dreifachen Münzwurf gibt es (k = 3 faches Werfen einer Münze mit n = 2 Ausprägungen, nämlich Kopf und Zahl) insgesamt nk = 23 = 8 unterschiedliche Möglichkeiten.  

Diese lauten (K,K,K), (K,Z,Z), (Z,K,Z), (Z,Z,K), (K,K,Z), (K,Z,K), (Z,K,K), (Z,Z,Z).

Bei den nun folgenden Kombinationen kommt es auf die Elemente selber an, nicht hingegen auf ihre Reihenfolge.

Video zu Variationen mit Wiederholung

Video: Variationen