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Wahrscheinlichkeitsrechnung

Variationen

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Variationen ohne Wiederholung

Methode

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Wenn man mit n Objekten ein k-Tupel (a1, a2, ... ,ak) bildet (k ≤ n) und sich die Elemente des Tupels nicht wiederholen (ai ≠ aj für i ≠ j), so spricht man von einer Variation k. Ordnung der n Elemente ohne Wiederholung. Es gibt $\ {n! \over {(n-k)!}} $ viele hiervon.

Beispiel

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Wir wollen n = 4 Liegen mit k = 2 Menschen belegen. Es ist k = 2 ≤ n = 4, die Elemente wiederholen sich nicht (ein- und derselbe Mensch kann nicht auf unterschiedlichen Liegen Platz nehmen).  

Es gibt $\ {4! \over {(4-2)!}} = {4! \over  2!} = {{ 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 } \over {1 \cdot 2}} ={{24} \over {2}} = 12 $ Möglichkeiten, eine Belegung vorzunehmen, nämlich folgende:

(1,2,L,L) (2,1,L,L)

(L,2,1,L) (L,1,2,L)

(L,L,1,2) (L,L,2,1)

(1,L,L,2) (2,L,L,1)

(1,L,2,L) (2,L,1,L)

(L,2,L,1) (L,1,L,2)

Die Zahlen 1 und 2 stehen für die jeweiligen Menschen, der Buschstabe L für die Liegen. Zu beachten ist, dass die Menschen 1 und 2 zwar unterscheidbar sind, jedoch die Liegen L nicht!

Deshalb ist, wenn man den Buchstaben L durch Liege 3 und 4 austauscht, die Kombination (1,3,4,2) die selbe wie (1,4,3,2),weil nur die unbelegten Liegen getauscht werden, was für die Fragestellung unerheblich ist.

Denn Ziel war es ja, die Möglichkeiten zu finden, k = 2 Meschen auf n = 4 Liegen aufzuteilen.

Video zu Variationen ohne Wiederholung

Video: Variationen

Variationen mit Wiederholung

Methode

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Ein k-Tupel (a1,a2,...,ak) aus k-Elementen einer n-elementigen Obermenge nennt man Variation k. Ordnung von n-Elementen mit Wiederholung. Dafür gibt es nk viele Möglichkeiten.

Merke

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  • Die einzelnen Elemente ai, aj müssen also nicht ungleich sein, die Bedingung ai ≠ aj für i ≠ j fehlt im Gegensatz zu den Variationen ohne Wiederholung.

  • In den k-Tupeln wird die Abfolge der Elemente unterschieden.

Beispiel

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Beim dreifachen "coin toss" gibt es (k = 3 maliges Werfen einer Spielmünze mit n = 2 Farben, Rot und Schwarz) insgesamt nk = 23 = 8 verschiedene Möglichkeiten. 

Diese sind:

(R,R,R), (R,R,S),
(R,S,R), (S,R,R),
(R,S,S), (S,R,S),
(S,S,R), (S,S,S).

Bei den nun folgenden Kombinationen kommt es auf die Elemente selbst an, nicht hingegen auf ihre Reihenfolge.

Video zu Variationen mit Wiederholung

Video: Variationen