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Wahrscheinlichkeitsrechnung - Permutationen

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Wahrscheinlichkeitsrechnung

Permutationen

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Permutationen ohne Wiederholung

Unter Permutieren (aus lat. permutare "vertauschen") versteht man das Anordnen von n Objekten in einer bestimmten Abfolge. Dabei stellt man sich die Frage, wie viele verschiedene Möglichkeiten der Abfolge es gibt.

So existieren n! alternative Reihenfolgen (gesprochen: „n Fakultät“)

Beispiel

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0! = 1

1! = 1

2! = 1⋅2 = 2

3! = 1⋅2⋅3 = 6

5! = 1⋅2⋅3⋅4⋅5 = 120

9! = 362.880

10! = 3.628.800

n! = 1⋅2⋅3⋅4⋅(...)⋅(n-2)⋅(n-1)⋅n

 

Daraus folgt, dass die Anzahl aller n-stelligen Permutationen ohne Wiederholung n! beträgt.

Beispiel

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Die Anzahl der verschiedenen Anordnungen von n = 3 Farben beträgt 3! = 1⋅2⋅3 = 6.

Für die Farben Rot (R), Gelb (G) und Blau (B) lassen sich nämlich die Anordnungen

(R,G,B), (R,B,G), (G,R,B), (B,R,G), (G,B,R) und (B,G,R) unterscheiden.

Man kann erkennen, dass das R wandert: Zuerst steht das R vorne und G und B werden vertauscht
(= permutiert). Danach stellt man das R in die Mitte und welchselt erneut G und B (was zwei Möglichkeiten liefert). Schließlich befindet sich R ganz am Ende und man erhält durch erneutes Permutieren von G und B zwei weitere Alternativen.

Hinweis

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Dabei sollte man sich ein strukturiertes Vorgehen angewöhnen, um ein Durcheinanderkommen zu vermeiden.

Video: Permutationen

Permutationen mit Wiederholung

Methode

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Wenn unter den Elementen eines n-Tupels k-Elemente voneinander verschieden sind (k ≤ n) und jeweils mit den Häufigkeiten n1, n2, ..., nk auftreten und n1 + n2 + ... + nk = n gilt, dann nennt man dies eine n-stellige Permutation mit n1, n2, ..., nk Wiederholungen. Es gibt insgesamt $\ {n! \over {n{_1}! \cdot n{_2}! \cdot ... \cdot n{_x}!}} $ dieser n-stelligen Permutationen.

Beispiel

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Aus den farbigen Kugeln R, R, G, B lassen sich $\ {4! \over {2! \cdot 1! \cdot 1!}} = 12 $ verschiedene Permutationen mit Wiederholung, also zwölf verschiedene 4-Tupel der betrachteten Art bilden.

Es gibt n1 = 2 mal eine rote Kugel (R) , n2 = 1 mal eine Kugel mit der Farbe grün (G), sowie n3 = 1 mal blau (B).
Daher insgesamt n = n1 + n2 + n3 = 2 + 1 + 1 = 4 Kugeln, die alle in einem 4-Tupel hingelegt werden sollen. Man erhält folglich:

(R,R,G,B) (R,G,B,R)

(R,R,B,G) (R,B,G,R)

(G,R,R,B) (R,G,R,B)

(B,R,R,G) (R,B,R,G)

(G,B,R,R) (G,R,B,R)

(B,G,R,R) (B,R,G,R)

Die zwei roten Kugeln R sind also nicht von einander unterscheidbar. Würde man die beiden R noch mit einem kleinen Index 1 und 2 beschriften, so wären (R1,R2,G,B) und (R2,R1,G,B) dasselbe Ereignis. Deswegen wird nur kurz (R,R,G,B) geschrieben.

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Aus den Zahlen 1,1,1,4,4,5,8,8 lassen sich $\ {8! \over {3! \cdot 2! \cdot 1! \cdot 2!}} = {8! \over {6 \cdot 2 \cdot 2}} = 1680 $ verschiedene, achtstellige Zahlen bilden.

Hier kommt es zum Beispiel auch nicht auf die Abfolge der Einsen und Vieren an, da gleich an welcher Stelle die einzelnen (künstlich unterscheidbaren) Ziffern stehen, die Zahl dieselbe ist . So ist bspw. (mit nummerierten Vieren, nämlich 41 und 42) die Zahl 1141142588 die gleiche Zahl wie 1142141588, beide Male einfach 11.414.588.

Wir haben mit (R,G,B) ein sogenanntes „Tupel“ (hier ein Dreier-Tupel) eingeführt. An der vordersten Stelle steht R, an der zweiten G und an der dritten B. Ein Tupel gibt also mögliche Formationen wieder. Im Folgenden werden wir immer wieder mal aufs Tupel zurückkommen.

Merke

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Bei der Multinomialverteilung (= Polynomialverteilung) werden die Formel $$\ {n! \over {n{_1}! \cdot n{_2}! \cdot ... \cdot n{_x}!}} $$ nochmals aufgreifen.

Bei beiden Arten von Permutationen haben wir alle vorhandenen n-Objekte angeordnet. Sollte man dies jedoch nur für eine kleinere Auswahl der Elemente machen, kommt man zum Begriff der Variation.

Video: Permutationen