Kursangebot | Wahrscheinlichkeitsrechnung | Permutationen

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Permutationen

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Permutationen ohne Wiederholung

Permutieren heißt vertauschen. Man stellt sich hier die Frage, auf wieviele verschiedene Arten und Weisen n Objekte angeordnet werden können.

Antwort: auf n! (sprich: „n Fakultät“) verschiedene Arten, dabei ist

n! = 1·2·3·4·...·(n-2)·(n-1)·n.

Also z.B.

1!=

1

2!=

1·2 = 2

3!=

1·2·3 = 6

4!=

1·2·3·4 = 24

5!=

1·2·3·4·5 = 120

6!=

1·2·...·6 = 720

7!=

5.040

8!=

40.320

9!=

362.880

10!=

3.628.800

Tab. 1.1: Die Zahl n!

Außerdem ist 0! = 1 definiert.

Genauer: die Anzahl aller n-stelligen Permutationen ohne Wiederholung beträgt n!.

Beispiel

 Die Anzahl der verschiedenen SitzAnordnungen von n = 3 Personen auf 3 Stühlen beträgt 3! = 1.2.3 = 6. Benennt man die Personen mit A, B und C, so lassen sich nämlich die Anordnungen (A,B,C), (A,C,B), (B,A,C), (C,A,B), (C,B,A) und (B,C,A) unterscheiden.

Man beachte, dass das A wandert: zuerst steht A vorne und B und C werden vertauscht (= permutiert). Danach steht A in der Mitte und B und C werden wieder vertauscht (was jeweils zwei Möglichkeiten liefert). Schließlich ist A ganz hinten und liefert über die Permutation von B und C wieder zwei Möglichkeiten.

Man sollte sich stets eine systematische Anordnung angewöhnen, damit man nicht durcheinanderkommt.

Video zu Permutationen ohne Wiederholung

Video: Permutationen

Permutieren heißt vertauschen. Man stellt sich hier die Frage, auf wieviele verschiedene Arten und Weisen n Objekte angeordnet werden können.

Permutationen mit Wiederholung

Methode

 Wenn unter den Elementen eines n-Tupels k Elemente voneinander verschieden sind (k ≤ n) und jeweils mit den Häufigkeiten n1, n2, ..., nk auftreten und n1 + n2 + ... + nk = n gilt, dann nennt man dies eine n-stellige Permutation mit n1, n2, ..., nk Wiederholungen. Es gibt insgesamt $\ {n! \over {n{_1}! \cdot n{_2}! \cdot ... \cdot n{_x}!}} $ dieser n-stelligen Permutationen.

Beispiel

 Aus den Buchstaben A, A, B, C lassen sich $\ {4! \over {2! \cdot 1! \cdot 1!}} = 12 $ verschiedene Permutationen mit Wiederholung, d.h zwölf unterschiedliche 4-Tupel der betrachteten Art bilden.

Es gibt n1 = 2 mal den Buchstaben A, n2 = 1 mal den Buchstaben B sowie n3 = 1 mal das C. Dies macht insgesamt n = n1 + n2 + n3 = 2 + 1 + 1 = 4 Buchstaben, die alle in einem 4-Tupel hingelegt werden sollen. Man erhält folglich

(A,A,B,C) (A,B,C,A)

(A,A,C,B) (A,C,B,A)

(B,A,A,C) (A,B,A,C)

(C,A,A,B) (A,C,A,B)

(B,C,A,A) (B,A,C,A)

(C,B,A,A) (C,A,B,A)

Die beiden Buchstaben A sind also insbesondere nicht unterscheidbar, d.h. wenn man die beiden A noch beschriften würde mit einem kleinen Index 1 und 2, so wäre (A1,A2,B,C) und (A2,A1,B,C) dasselbe Ereignis und wird deswegen nur kurz (A,A,B,C) geschrieben.

Beispiel

 Aus den Zahlen 2,2,2,3,3,5,7,9,9 lassen sich $\ {9! \over {3! \cdot 2! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 2!}} = {9! \over {6 \cdot 2 \cdot 2}} = 15.120 $ verschiedene neunstellige Zahlen bilden.

Es kommt auch hier beispielsweise nicht auf die Reihenfolge der Zweien und der Dreien an, denn egal an welcher Stelle die einzelnen (künstlich unterscheidbaren) Ziffern stehen, die Zahl ist die gleiche. So ist z.B. (mit nummerierten Dreien, nämlich 31 und 32) die Zahl 22312325997 die gleiche Zahl wie 22322315997, nämlich beide Mal einfach 223235997.

Wir haben mit (A,B,C) ein sogenanntes „Tupel“ (hier ein

Dreier-Tupel) eingeführt. An der ersten Stelle steht ein A, an der zweiten passiert B, an der dritten C. Ein Tupel gibt also mögliche Anordnungen wider. Wir werden im Folgenden immer wieder auf Tupel zurückgreifen.

Merke

Wir werden die Formel $$\ {n! \over {n{_1}! \cdot n{_2}! \cdot ... \cdot n{_x}!}} $$ an späterer Stelle, nämlich bei der Multinomialverteilung (= Polynomialverteilung) nochmals kennenlernen.

Bei beiden Arten von Permutationen haben wir alle vorhandenen n Objekte angeordnet. Wenn man dies allerdings nur für einige der Elemente tut, kommt man zum Begriff der Variation.

Video zu Permutationen mit Wiederholung

Video: Permutationen

Permutieren heißt vertauschen. Man stellt sich hier die Frage, auf wieviele verschiedene Arten und Weisen n Objekte angeordnet werden können.