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Permutationen

WebinarTerminankündigung:
 Am 08.12.2016 (ab 18:00 Uhr) findet unser nächstes Webinar statt.
Gratis-Webinar Diskrete und stetige Verteilungen in der Wahrscheinlichkeitsrechnung
- In diesem 60-minütigen Gratis-Webinar gehen wir darauf ein, welche diskreten und stetigen Verteilungen Sie in der Prüfung beherrschen müssen.
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Permutationen ohne Wiederholung

Permutieren heißt vertauschen. Man stellt sich hier die Frage, auf wieviele verschiedene Arten und Weisen n Objekte angeordnet werden können.

Antwort: auf n! (sprich: „n Fakultät“) verschiedene Arten, dabei ist

n! = 1·2·3·4·...·(n-2)·(n-1)·n.

Also z.B.

1!=

1

2!=

1·2 = 2

3!=

1·2·3 = 6

4!=

1·2·3·4 = 24

5!=

1·2·3·4·5 = 120

6!=

1·2·...·6 = 720

7!=

5.040

8!=

40.320

9!=

362.880

10!=

3.628.800

Tab. 1.1: Die Zahl n!

Außerdem ist 0! = 1 definiert.

Genauer: die Anzahl aller n-stelligen Permutationen ohne Wiederholung beträgt n!.

Beispiel

 Die Anzahl der verschiedenen SitzAnordnungen von n = 3 Personen auf 3 Stühlen beträgt 3! = 1.2.3 = 6. Benennt man die Personen mit A, B und C, so lassen sich nämlich die Anordnungen (A,B,C), (A,C,B), (B,A,C), (C,A,B), (C,B,A) und (B,C,A) unterscheiden.

Man beachte, dass das A wandert: zuerst steht A vorne und B und C werden vertauscht (= permutiert). Danach steht A in der Mitte und B und C werden wieder vertauscht (was jeweils zwei Möglichkeiten liefert). Schließlich ist A ganz hinten und liefert über die Permutation von B und C wieder zwei Möglichkeiten.

Man sollte sich stets eine systematische Anordnung angewöhnen, damit man nicht durcheinanderkommt.

Video zu Permutationen ohne Wiederholung

Video: Permutationen

Permutieren heißt vertauschen. Man stellt sich hier die Frage, auf wieviele verschiedene Arten und Weisen n Objekte angeordnet werden können.

Permutationen mit Wiederholung

Methode

 Wenn unter den Elementen eines n-Tupels k Elemente voneinander verschieden sind (k ≤ n) und jeweils mit den Häufigkeiten n1, n2, ..., nk auftreten und n1 + n2 + ... + nk = n gilt, dann nennt man dies eine n-stellige Permutation mit n1, n2, ..., nk Wiederholungen. Es gibt insgesamt $\ {n! \over {n{_1}! \cdot n{_2}! \cdot ... \cdot n{_x}!}} $ dieser n-stelligen Permutationen.

Beispiel

 Aus den Buchstaben A, A, B, C lassen sich $\ {4! \over {2! \cdot 1! \cdot 1!}} = 12 $ verschiedene Permutationen mit Wiederholung, d.h zwölf unterschiedliche 4-Tupel der betrachteten Art bilden.

Es gibt n1 = 2 mal den Buchstaben A, n2 = 1 mal den Buchstaben B sowie n3 = 1 mal das C. Dies macht insgesamt n = n1 + n2 + n3 = 2 + 1 + 1 = 4 Buchstaben, die alle in einem 4-Tupel hingelegt werden sollen. Man erhält folglich

(A,A,B,C) (A,B,C,A)

(A,A,C,B) (A,C,B,A)

(B,A,A,C) (A,B,A,C)

(C,A,A,B) (A,C,A,B)

(B,C,A,A) (B,A,C,A)

(C,B,A,A) (C,A,B,A)

Die beiden Buchstaben A sind also insbesondere nicht unterscheidbar, d.h. wenn man die beiden A noch beschriften würde mit einem kleinen Index 1 und 2, so wäre (A1,A2,B,C) und (A2,A1,B,C) dasselbe Ereignis und wird deswegen nur kurz (A,A,B,C) geschrieben.

Beispiel

 Aus den Zahlen 2,2,2,3,3,5,7,9,9 lassen sich $\ {9! \over {3! \cdot 2! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 2!}} = {9! \over {6 \cdot 2 \cdot 2}} = 15.120 $ verschiedene neunstellige Zahlen bilden.

Es kommt auch hier beispielsweise nicht auf die Reihenfolge der Zweien und der Dreien an, denn egal an welcher Stelle die einzelnen (künstlich unterscheidbaren) Ziffern stehen, die Zahl ist die gleiche. So ist z.B. (mit nummerierten Dreien, nämlich 31 und 32) die Zahl 22312325997 die gleiche Zahl wie 22322315997, nämlich beide Mal einfach 223235997.

Wir haben mit (A,B,C) ein sogenanntes „Tupel“ (hier ein

Dreier-Tupel) eingeführt. An der ersten Stelle steht ein A, an der zweiten passiert B, an der dritten C. Ein Tupel gibt also mögliche Anordnungen wider. Wir werden im Folgenden immer wieder auf Tupel zurückgreifen.

Merke

Wir werden die Formel $$\ {n! \over {n{_1}! \cdot n{_2}! \cdot ... \cdot n{_x}!}} $$ an späterer Stelle, nämlich bei der Multinomialverteilung (= Polynomialverteilung) nochmals kennenlernen.

Bei beiden Arten von Permutationen haben wir alle vorhandenen n Objekte angeordnet. Wenn man dies allerdings nur für einige der Elemente tut, kommt man zum Begriff der Variation.

Video zu Permutationen mit Wiederholung

Video: Permutationen

Permutieren heißt vertauschen. Man stellt sich hier die Frage, auf wieviele verschiedene Arten und Weisen n Objekte angeordnet werden können.
Multiple-Choice

In einer Urne liegen acht Kugeln, nämlich zwei grüne, drei weiße, der Rest seien rote Kugeln. Es werden alle Kugeln, ohne Zurücklegen, gezogen. Wieviele Möglichkeiten existieren hierfür?  

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Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Bild von Autor Daniel Lambert

Autor: Daniel Lambert

Dieses Dokument Permutationen ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Dipl.-Math. Dipl.-Kfm. Daniel Lambert gibt seit vielen Jahren Kurse zur Prüfungsvorbereitung. Er unterrichtet stets orientiert an alten Prüfungen und weiß aus langjähriger Erfahrung, wie sich komplexe Sachverhalte am besten aufbereiten und vermitteln lassen. Daniel Lambert ist Repetitor aus Leidenschaft seit nunmehr 20 Jahren.
Vorstellung des Online-Kurses WahrscheinlichkeitsrechnungWahrscheinlichkeitsrechnung
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    Ein Kursnutzer am 23.07.2015:
    "Weiter so!! viele Grüße aus Nürnberg"

  • Gute Bewertung für Wahrscheinlichkeitsrechnung

    Ein Kursnutzer am 08.06.2015:
    "Ich finde, dass Herrn Lambert eine große Gabe hat, schwierige Sachverhalte einfach und strukturiert wiederzugeben. Man gewinnt außerdem den Eindruck, dass er Spaß an der Erklärung hat und an wichtiger Stelle die Fokussierung mit Witz und Präzision in der Wortwahl den Stoff einleuchtend vermittelt. Ich würde mal sagen, das war ein ganz schön dickes LOB! :-) Danke! "

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    Ein Kursnutzer am 19.01.2015:
    "Super toll , besser als ein Buch"

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