Aufgaben, Beispiele und Berechnungen zur mehrdimensionalen Verteilung

a) f(X₁|0) = $\frac{f(0\;|\;0)}{f(0)}$ , X₁ wird variiert, X₂ bleibt konstant.

f(0|0) =  $\frac{f(1\;|\;0)}{f(0)}$ = $\frac{0,1}{0,6}$ = 0,1666667

f(1|0) =  $\frac{f(1\;|\;0)}{f(0)}$ = $\frac{0,2}{0,6}$ = 0,33333

f(2|0) =  $\frac{f(2\;|\;0)}{f(0)}$ = $\frac{0,2}{0,6}$ = 0,33333

f(3|0) =  $\frac{f(3\;|\;0)}{f(0)}$ = $\frac{0,1}{0,6}$ = 0,1666667

b) Entsprechend bleibt hinten, also bei X₂, die Zahl 1 stehen und der Eintrag wandert lediglich vorne: f(0|1) = $\frac{f(0\;|\;1)}{f(1)}$ = $\frac{0,05}{0,4}$ = 0,125. Genauso f(1|1) = 0,25, f(2|1) = 0, f(3|1) = 0,25.

a) Wenn wir den Proportionalitätsfaktor mit a bezeichnen, dann lautet die Wahrscheinlichkeitsfunktion

Die Summe der Wahrscheinlichkeiten muss aber gleich 1 sein: a + 2·2 + 3·a + … + 6·a = 21·a = 1, d.h. a = 1/21. Nur für diesen Wert handelt es sich tatsächlich um eine Dichtefunktion!

b) Die zweidimensionale Dichtefunktion ist

Man beachte, dass die beiden Zufallsvariablen X und Y unabängig voneinander sind, denn so ist z.B. (3/21)*(6/21) = 18/441 oder (1/21)*(5/21) = 5/441 usw.

c) Die Summe der Augenzahlen ist niemals gleich 1, also ist die Wahrscheinlichkeit hierfür null.

Sie ist nicht größer als 4 in den Fällen (X,Y) = (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (3,1), also ist die Wahrscheinlichkeit P(X+Y ≤ 4) = P({(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (3,1)} = 15/441, da die Wahrscheinlichkeiten in den markierten Bereichen aufaddiert werden:

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Augenzahlen zwischen 3 und 6 liegt, ist bei P(3 ≤ X + Y ≤ 6) = 69/441.