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Wahrscheinlichkeitsrechnung - Aufgaben, Beispiele und Berechnungen zur mehrdimensionalen Verteilung

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Wahrscheinlichkeitsrechnung

Aufgaben, Beispiele und Berechnungen zur mehrdimensionalen Verteilung

Inhaltsverzeichnis

Aufgabe 1:

Die Zufallsvariablen X1 sei gegeben durch die folgende Wahrscheinlichkeitsfunktion: f(0) = 0,15, f(1) = 0,3, f(2) = 0,35, f(3) = 0,2. Die Zufallsvariable X2 hingegen sei definiert durch: f(0) = 0,6, f(1) = 0,4.

Außerdem ist bekannt, dass für die gemeinsamen Verteilungsfunktion gilt F(2,0) = 0,5. Darüberhinaus ist f(0,0) = f(1,1) = 0,1.

a) Bestimme die bedingte Verteilung von X1 unter der Bedingung X2 = 0.

b) Bestimme die Wahrscheinlichkeiten der Realisierungen von X1 unter der Bedingung X2 = 1.

Lösung:

a) f(X1|0) = $\frac{f(0\;|\;0)}{f(0)}$ , X1 wird variiert, X2 bleibt konstant.

f(0|0) =  $\frac{f(1\;|\;0)}{f(0)}$ = $\frac{0,1}{0,6}$ = 0,1666667

f(1|0) =  $\frac{f(1\;|\;0)}{f(0)}$ = $\frac{0,2}{0,6}$ = 0,33333

f(2|0) =  $\frac{f(2\;|\;0)}{f(0)}$ = $\frac{0,2}{0,6}$ = 0,33333

f(3|0) =  $\frac{f(3\;|\;0)}{f(0)}$ = $\frac{0,1}{0,6}$ = 0,1666667

b) Entsprechend bleibt hinten, also bei X2, die Zahl 1 stehen und der Eintrag wandert lediglich vorne: f(0|1) = $\frac{f(0\;|\;1)}{f(1)}$ = $\frac{0,05}{0,4}$ = 0,125. Genauso f(1|1) = 0,25, f(2|1) = 0, f(3|1) = 0,25.

Aufgabe 2:

Ein Würfel mit sechs Seiten sei so verändert worden, dass die Wahrscheinlichkeit, mit ihm eine Zahl zu werfen, proportional zu eben dieser Zahl ist.

a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden die einzelnen Zahlen geworfen?

b) Der Würfel werde zweimal geworfen. Bestimme die gemeinsame Verteilung der Zufallsvariablen X, die das Ergebnis des ersten Wurfes und Y, welche das Ergebnis des zweiten Wurfes mit dem Würfel angibt.

c) Wie groß ist bei dem doppelten Würfelwurf die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Augenzahlen

  • gleich 1

  • nicht größer als 4

  • zwischen 3 und 6 liegt?

d) Wie groß ist der Erwartungswert der Summe der Augenzahlen?

Lösung:

a) Wenn wir den Proportionalitätsfaktor mit a bezeichnen, dann lautet die Wahrscheinlichkeitsfunktion

Augenzahl

Wahrscheinlichkeit

1

a

2

2a

3

3a

4

4a

5

5a

6

6a

Die Summe der Wahrscheinlichkeiten muss aber gleich 1 sein: a + 2·2 + 3·a + … + 6·a = 21·a = 1, d.h. a = 1/21. Nur für diesen Wert handelt es sich tatsächlich um eine Dichtefunktion!

b) Die zweidimensionale Dichtefunktion ist

X

1

2

3

4

5

6

Σ

1

1/441

2/441

3/441

4/441

5/441

6/441

1/21

2

2/441

4/441

6/441

8/441

10/441

12/441

2/21

3

3/441

6/441

9/441

12/441

15/441

18/441

3/21

4

4/441

8/441

12/441

16/441

20/441

24/441

4/21

5

5/441

10/441

15/441

20/441

25/441

30/441

5/21

6

6/441

12/441

18/441

24/441

30/441

36/441

6/21

Σ

1/21

2/21

3/21

4/21

5/21

6/21

1

Man beachte, dass die beiden Zufallsvariablen X und Y unabängig voneinander sind, denn so ist z.B. (3/21)*(6/21) = 18/441 oder (1/21)*(5/21) = 5/441 usw.

c) Die Summe der Augenzahlen ist niemals gleich 1, also ist die Wahrscheinlichkeit hierfür null.

Sie ist nicht größer als 4 in den Fällen (X,Y) = (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (3,1), also ist die Wahrscheinlichkeit P(X+Y ≤ 4) = P({(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (3,1)} = 15/441, da die Wahrscheinlichkeiten in den markierten Bereichen aufaddiert werden:

X

1

2

3

4

5

6

Σ

1

1/441

2/441

3/441

4/441

5/441

6/441

1/21

2

2/441

4/441

6/441

8/441

10/441

12/441

2/21

3

3/441

6/441

9/441

12/441

15/441

18/441

3/21

4

4/441

8/441

12/441

16/441

20/441

24/441

4/21

5

5/441

10/441

15/441

20/441

25/441

30/441

5/21

6

6/441

12/441

18/441

24/441

30/441

36/441

6/21

Σ

1/21

2/21

3/21

4/21

5/21

6/21

1

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Augenzahlen zwischen 3 und 6 liegt, ist bei P(3 ≤ X + Y ≤ 6) = 69/441.

X

1

2

3

4

5

6

Σ

1

1/441

2/441

3/441

4/441

5/441

6/441

1/21

2

2/441

4/441

6/441

8/441

10/441

12/441

2/21

3

3/441

6/441

9/441

12/441

15/441

18/441

3/21

4

4/441

8/441

12/441

16/441

20/441

24/441

4/21

5

5/441

10/441

15/441

20/441

25/441

30/441

5/21

6

6/441

12/441

18/441

24/441

30/441

36/441

6/21

Σ

1/21

2/21

3/21

4/21

5/21

6/21

1