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Wahrscheinlichkeitsrechnung - Gemeinsame Verteilungsfunktion

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Wahrscheinlichkeitsrechnung

Gemeinsame Verteilungsfunktion

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Unter einer gemeinsamen Verteilungsfunktion einer n-dimensionalen Zufallsvariablen X = (X1, X2, ..., Xn) versteht man die Wahrscheinlichkeit

$F(x_1,x_2, ..., x_n) = P (X_1 \leq \ x_1,X_2 \leq \ x_2, ..., X_n \leq \ x_n)$,

die also jedem n-Tupel (x1,x2,...,xn) die Wahrscheinlichkeit zuordnet, dass jeweils höchstens der Wert xi, i = 1, ..., n angenommen wird.

Für den Fall n = 2 lässt sich dies noch graphisch verstehen:

F($\tilde  x_1$,$\tilde  x_2$ ) = (X1 ≤ $\tilde  x_1$, X2 ≤ $\tilde  x_2$) bezeichnet die Wahrscheinlichkeit, dass jeweils höchstens der (x-Achsen-) Wert $\tilde  x_1$ und höchstens der (y-Achsen-) Wert $\tilde  x_2$ angenommen wird:

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Abb. 7.3 Zweidimensionale Verteilungsfunktion

Wenn man nun z.B. F(1;3) berechnen möchte, so heißt dies: beziehe alle Werte ein, für die X1 ≤ 1 und gleichzeitig X2 ≤ 3 ist:

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Also F(1;3) = (X1 ≤ 1,X2 ≤ 3) = 0,15 + 0,1 + 0,05 + 0,1 + 0,05 + 0,1 = 0,55.

Die Verteilungsfunktion F mit F($\tilde  x_1$,$\tilde  x_2$ ) = (X1 ≤ $\tilde  x_1$,X2 ≤$\tilde  x_2$ ) kann so elementweise angeben:

F(0;1) = 0,15; F(0;2) = 0,25; F(0;3) = 0,30

F(1;1) = 0,25; F(1;2) = 0,40; F(1;3) = 0,55

F(2;1) = 0,35; F(2;2) = 0,70; F(2;3) = 1

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Wie an diesem Beispiel ersichtlich, wird die Verteilungsfunktion für diskrete Zufallsvariablen durch Summieren der entsprechenden Werte gebildet.

Bei stetigen Zufallsvariablen bekommt man die Verteilungsfunktion durch Integration:

$F(x_1,x_2,...,x_n)$ =$\int _{-\infty }^{\infty }\;$$\int _{-\infty }^{\infty }\;$ ... $\int _{-\infty }^{\infty }\;$$f(u_1,u_2, ..., u_n)du_n ... du_2du_1$. 

Die obige Formel wird also konkretisiert durch die Bildung des Integrals. Die Funktion f ist Dichtefunktion der Zufallsvariablen X = (X1, X2, ...,Xn).