Gemeinsame Verteilungsfunktion

Für den Fall n = 2 lässt sich dies noch graphisch verstehen:

F($\tilde  x_1$,$\tilde  x_2$ ) = (X₁ ≤ $\tilde  x_1$, X₂ ≤ $\tilde  x_2$) bezeichnet die Wahrscheinlichkeit, dass jeweils höchstens der (Abszissen-) Wert $\tilde  x_1$ und höchstens der (Ordinaten-) Wert $\tilde  x_2$ angenommen wird:

Abb. 7.3: Zweidimensionale Verteilungsfunktion

Wenn man nun z.B. F(1;3) berechnen möchte, so heißt dies: beziehe alle Werte ein, für die X1 ≤ 1 und gleichzeitig X₂ ≤ 3 ist:

Also F(1;3) = (X₁ ≤ 1_,X₂ ≤ 3) = 0,1 + 0,1 + 0,15 + 0,05 + 0,2 + 0,05 = 0,65.

Die Verteilungsfunktion F mit F($\tilde  x_1$,$\tilde  x_2$ ) = (X₁ ≤ $\tilde  x_1$_,X₂ ≤$\tilde  x_2$ ) läßt sich dann elementweise angeben:

F(0;1) = 0,1, F(0;2) = 0,2 F(0;3) = 0,35

F(1;1) = 0,15 F(1;2) = 0,45 F(1;3) = 0,65

F(2;1) = 0,35 F(2;2) = 0,75 F(2;3) = 1

Merke

Im stetigen Falle erhält man die Verteilungsfunktion durch Integration:

F(x₁,x₂,...,x_n) =$\int _{-\infty }^{\infty }\;$$\int _{-\infty }^{\infty }\;$ ... $\int _{-\infty }^{\infty }\;$f(u₁,u₂, ..., u_n)du_n ... du₂du₁. Die obige Formel wird also konkretisiert durch die Bildung des Integrals. Die Funktion f ist Dichtefunktion der Zufallsvariablen X = (X₁, X₂, ...,X_n).

Korrelationskoeffizient