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Wahrscheinlichkeitsrechnung - Gemeinsame Verteilungsfunktion

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Wahrscheinlichkeitsrechnung

Gemeinsame Verteilungsfunktion

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Unter einer gemeinsamen Verteilungsfunktion einer n-dimensionalen Zufallsvariablen X = (X1, X2, ..., Xn) versteht man die Wahrscheinlichkeit F(x1,x2, ..., xn) = P (X1 ≤ x1,X2 ≤ x2, ..., Xn ≤ xn), die also jedem n-Tupel (x1,x2,...,xn) die Wahrscheinlichkeit zuordnet, dass jeweils höchstens der Wert xi, i = 1, ..., n angenommen wird.

Für den Fall n = 2 lässt sich dies noch graphisch verstehen:

F($\tilde  x_1$,$\tilde  x_2$ ) = (X1 ≤ $\tilde  x_1$, X2 ≤ $\tilde  x_2$) bezeichnet die Wahrscheinlichkeit, dass jeweils höchstens der (Abszissen-) Wert $\tilde  x_1$ und höchstens der (Ordinaten-) Wert $\tilde  x_2$ angenommen wird:

Abb. 7.3: Zweidimensionale Verteilungsfunktion
Abb. 7.3: Zweidimensionale Verteilungsfunktion

Wenn man nun z.B. F(1;3) berechnen möchte, so heißt dies: beziehe alle Werte ein, für die X1 ≤ 1 und gleichzeitig X2 ≤ 3 ist:

X\Y

1

2

3

Summe

0

0,1

0,1

0,15

0,35

1

0,05

0,2

0,05

0,3

2

0,2

0,1

0,05

0,35

Summe

0,35

0,4

0,25

1

Also F(1;3) = (X1 ≤ 1,X2 ≤ 3) = 0,1 + 0,1 + 0,15 + 0,05 + 0,2 + 0,05 = 0,65.

Die Verteilungsfunktion F mit F($\tilde  x_1$,$\tilde  x_2$ ) = (X1 ≤ $\tilde  x_1$,X2 ≤$\tilde  x_2$ ) läßt sich dann elementweise angeben:

F(0;1) = 0,1, F(0;2) = 0,2 F(0;3) = 0,35

F(1;1) = 0,15 F(1;2) = 0,45 F(1;3) = 0,65

F(2;1) = 0,35 F(2;2) = 0,75 F(2;3) = 1

Merke

Merke

Im diskreten Fall bildet man die Verteilungsfunktion wie im vorgegebenen Beispiel geschehen durch Aufsummieren der möglichen Werte.

Im stetigen Falle erhält man die Verteilungsfunktion durch Integration:

F(x1,x2,...,xn) =$\int _{-\infty }^{\infty }\;$$\int _{-\infty }^{\infty }\;$ ... $\int _{-\infty }^{\infty }\;$f(u1,u2, ..., un)dun ... du2du1. Die obige Formel wird also konkretisiert durch die Bildung des Integrals. Die Funktion f ist Dichtefunktion der Zufallsvariablen X = (X1, X2, ...,Xn).

Korrelationskoeffizient

Video: Gemeinsame Verteilungsfunktion