Randverteilungen

Die Randverteilungen (hier als Randwahrscheinlichkeitsfunktion, da der diskrete Fall gegeben ist) werden dadurch berechnet, dass X₂ unerheblich ist und lediglich X₁ angeschaut wird:

So erhält man bspw. P(X₁ = 0) durch:

P(X₁ = 0) = P(X₁ = 0, X₂ = 1) + P(X₁ = 0, X₂ = 2) + P(X₁ = 0, X₂ = 1) = 0,15 + 0,1 + 0,05 = 0,3.

Man bildet also die Summen der Wahrscheinlichkeiten aus der Tabelle, anders formuliert: die Randwahrscheinlichkeitsfunktion ist durch die Randwahrscheinlichkeiten bereits gegeben.

Jene für X₂ sind daher:

Randverteilungsfunktion

Die Randverteilungsfunktion erhält man durch

F₁(x₁) = F(x₁, ∞) für alle x₁ und F₂(x₂) = F(∞, x₂) für alle x₂.

Also hier konkret

F₁(0) = F(0, ∞) = F(0,3) = 0,3,

F₁(1) = F(1, ∞) = F(1,3) = 0,55

F₁(2) = F(2, ∞) = F(2,3) = 1.

Die zweite Variable X₂ wird bis zum Maximum ausgereizt, daher hier bis 3.

Bedingte Verteilungen

Bedingte Verteilungen lassen sich ermitteln durch

f₁(x₁|x₂) = $\frac{f(x_{1,}X_2)}{f_2(x_2)}$, und x₁ ∈ $\mathbb{R}$,

f₂(x₂|x₁) = $\frac{f(x_{1,}X_2)}{f_2(x_2)}$, und x₂ ∈ $\mathbb{R}$.

Es bedeutet z.B. f(1|2) die Wahrscheinlichkeit, dass X₁ = 1 ist, wenn wir schon wissen, dass X₂ = 2. Also:

f₂(1|2) = $\frac{f(1,2)}{f_2(2)}$ = $\frac{0,05}{0,35}$ = $\frac{1}{7}$ ≈ 0,143.

Wenn also X₂ = x₂ fest ist, dann lässt sich für diesen festen Wert x₂ (!) die bedingte Verteilung für die andere Zufallsvariable X₁ ausrechnen. Für ein anderes x₂ ist die bedingte Verteilung wiederum eine andere.

Wenn X₂ = 1 ist, dann ist für diesen Fall die bedingte Verteilung f(x₁|1) gegeben:

f(0|1) = $\frac{f(0,1)}{f(1)}$ =  $\frac{0,15}{0,35}$ =  $\frac 3 7$

f(1|1) = $\frac{f(1,1)}{f(1)}$ =  $\frac{0,1}{0,35}$ =  $\frac 2 7$

f(2|1) = $\frac{f(2,1)}{f(1)}$ =  $\frac{0,1}{0,35}$ =  $\frac 2 7$.

Für X₂ = 2, ist die bedingte Verteilung:

f(0|2) = $\frac{f(0,2)}{f(2)}$ = $\frac{0,1}{0,35}$ = $\frac 2 7$

f(1|2) = $\frac{f(1,2)}{f(2)}$ = $\frac{0,05}{0,35}$ = $\frac 1 7$

f(2|2) = $\frac{f(2,2)}{f(2)}$ = $\frac{0,2}{0,35}$ =$\frac 4 7$

Schlussendlich für X₂ = 3, ist die bedingte Verteilung:

f(0|3) = $\frac{f(0,3)}{f(3)}$ = $\frac{0,05}{0,3}$ = $\frac 1 6$

f(1|3) = $\frac{f(1,3)}{f(3)}$ = $\frac{0,1}{0,3}$ = $\frac 1 3$

f(2|3) = $\frac{f(2,3)}{f(3)}$ = $\frac{0,15}{0,3}$ = $\frac 1 2$

Unabhängigkeit von Zufallsvariablen

Unabhängigkeit

Das heißt konkret, dass z.B. für A₁ = {0,1}, A₂= {1,3} der folgende Bereich zu betrachten ist:

Zeitgleich muss damit gelten, dass X₁ = 0 oder 1 ist, und X₂ = 1 oder 3 ist.

Das ist für genau vier Varianten der Fall:

X₁ = 0 und X₂ = 1,

X₁ = 0 und X₂ = 3,

X₁ = 1 und X₂ = 1,

X₁ = 1 und X₂ = 3.

Deis bedeutet für die Wahrscheinlichkeiten, dass wir die linke und die rechte Seite der obigen Gleichung getrennt untersuchen müssen.

Für die linke Seite rechnet man

P(X₁ $\in$ A₁, X₂ $\in$ A₂) = P(X₁ = 0, X₂ = 1) + P(X₁ = 0, X₂ = 3) + P(X₁ = 1, X₂ = 1) + P(X₁ = 1, X₂ = 3) = 0,15 + 0,05 + 0,1 + 0,1 = 0,4.

Dagegen errechnet man für die rechte Seite die Summen der entsprechenden Randwahrscheinlichkeiten:

P(X₁ $\in$ A₁) = P(X₁ = 0 oder X₁ = 1) = 0,3 + 0,25 = 0,55

P(X₂ $\in$ A₂) = P(X₂ = 1 oder X₂ = 3) = 0,35 + 0,3 = 0,65,

Besteht Unabhängigkeit, dann müsste nun gelten, dass das Produkt der oberen Zahl gleich der unteren beiden Zahlen ist: 0,4 = 0,55 · 0,65.

Da dies aber nicht der Fall ist, denn die rechte Seite ergibt 0,3575 statt 0,4, folgt daraus, dass die Zufallsvariablen X₁ und X₂ nicht unabhängig, sondern abhängig.

Es existieren entsprechende Formulierungen der Unabhängigkeit:

1. die bedingten Verteilungen sind gleich den Randverteilungen

2. die gemeinsame Verteilungsfunktion ist gleich dem Produkt der Randverteilungsfunktionen:
   
   F(x₁,x₂,...,x_n) = F(x₁) · F(x₂) · … · F(x_n) für alle x₁,x₂,...,x_n.

3. die gemeinsame Dichtefunktion f ist gleich dem Produkt der Dichefunktionen:
   
   f(x₁,x₂,...,x_n) = f(x₁) · f(x₂) · … · f(x_n) für alle x₁,x₂,...,x_n

Außerdem ist im Falle der Unabhängigkeit die gemeinsame Verteilung schon durch die Randverteilungen eindeutig bestimmt.