Randverteilungen

Randverteilungen

Die Randverteilungen (hier als Randwahrscheinlichkeitsfunktion, da der diskrete Fall gegeben ist) werden dadurch berechnet, dass X₂ unerheblich ist und lediglich X₁ angeschaut wird:

X1	P
0	0,35
1	0,3
2	0,35

So erhält man bspw. P(X₁ = 0) durch P(X₁ = 0) = P(X₁ = 0, X₂ = 1) + P(X₁ = 0, X₂ = 2) + P(X₁ = 0, X₂ = 1) = 0,1 + 0,1 + 0,15 = 0,35.

Man bildet also die Summen der Wahrscheinlichkeiten aus der Tabelle, anders ausgedrückt: die Randwahrscheinlichkeitsfunktion ist durch die Randwahrscheinlichkeiten bereits gegeben. Jene für X₂ lautet deswegen

X2	P
1	0,35
2	0,4
3	0,25

Merke

Video zur Herleitung einer Kontingenztabelle

Randverteilungsfunktion

Die Randverteilungsfunktion erhält man durch

• F₁(x₁) = F(x₁, ∞) für alle x₁ und

• F₂(x₂) = F(∞, x₂) für alle x₂.

Also hier konkret

• F₁(0) = F(0, ∞) = F(0,3) = 0,35,

• F₁(1) = F(1, ∞) = F(1,3) = 0,65

• F₁(2) = F(2, ∞) = F(2,3) = 1.

Die zweite Variable X₂ wird also bis zum Maximum ausgereizt, hier konkret geht sie bis 3.

Bedingte Verteilungen

Bedingte Verteilungen lassen sich ermitteln durch

• f₁(x₁|x₂) = $\frac{f(x_{1,}X_2)}{f_2(x_2)}$, wobei x₁ R, also aus den reellen Zahlen ist,

• f₂(x₂|x₁) = $\frac{f(x_{1,}X_2)}{f_2(x_2)}$, wobei x₂ R.

Es bedeutet also z.B. f(2|3) die Wahrscheinlichkeit, dass X₁ = 2 ist, wenn bereits bekannt ist, dass X₂ = 3. Also: f₂(2|3) = $\frac{f(2,3)}{f_2(3)}$ = $\frac{0,05}{0,25}$ = 0,2.

Wenn also X₂ = x₂ fest ist, dann lässt sich für diesen festen Wert x₂ (!) die bedingte Verteilung für die andere Zufallsvariable X₁ ausrechnen. Für ein anderes x2 ist die bedingte Verteilung wiederum eine andere.

Wenn also X₂ = 1 ist, dann ist hierfür (!) die bedingte Verteilung f(x₁|1) gegeben durch

• f(0|1) = $\frac{f(0,1)}{f(1)}$ =  $\frac{0,1}{0,35}$ =  $\frac 2 7$

• f(1|1) = $\frac{f(1,1)}{f(1)}$ =  $\frac{0,05}{0,35}$ =  $\frac 1 7$

• f(2|1) = $\frac{f(2,1)}{f(1)}$ =  $\frac{0,2}{0,35}$ =  $\frac 4 7$.

Wenn X₂ = 2, dann ist die bedingte Verteilung wiederum anders:

• f(0|2) = $\frac{0,1}{0,4}$ = 0,25

• f(1|2) = $\frac{0,2}{0,4}$ = 0,5

• f(2|2) = $\frac{0,1}{0,4}$ = 0,25.

Gilt schließlich X₂ = 3, dann ist die bedingte Verteilung:

• f(0|3) = $\frac{0,15}{0,25}$ = 0,6

• f(1|3) = $\frac{0,05}{0,25}$ = 0,2

• f(2|3) = $\frac{0,05}{0,25}$ = 0,2.

Video zur Randverteilung

Unabhängigkeit von Zufallsvariablen

Unabhängigkeit

Das heißt konkret, dass z.B. für A₁ = {0,2}, A₁= {2,3} der folgende Bereich zu betrachten ist:

X\Y	1	2	3	Summe
0	0,1	0,1	0,15	0,35
1	0,05	0,2	0,05	0,3
2	0,2	0,1	0,05	0,35
Summe	0,35	0,4	0,25	1

Es muss also gleichzeitig gelten,

• dass X₁ = 0 oder 2 ist, und

• dass X₂ = 2 oder 3 ist.

Dies ist aber lediglich in vier Fällen richtig,

• nämlich wenn X₁ = 0 und X₂ = 2,

• wenn X₁ = 0 und X₂ = 3,

• wenn X₂ = 2 und X₂ = 2,

• sowie wenn X₁ = 2 und X₂ = 3.

Das heisst für die Wahrscheinlichkeiten dann, dass wir die linke und die rechte Seite der o.e. Gleichung getrennt untersuchen müssen.

Für die linke Seite rechnet man

• P(X₁ $\in$ A₁, X₂ $\in$ A₂) = P(X₁ = 0, X₂ = 2) + P(X₁ = 0, X₂ = 3) + P(X₂ = 2, X₂ = 2) + P(X₁ = 2, X₂ = 3) = 0,1 + 0,15 + 0,1 + 0,05 = 0,4.

Dagegen gilt für die rechte Seite

• P(X₁ $\in$ A₁) = P(X₁ = 0 oder X₁ = 2) = 0,35 + 0,35 = 0,7 und

• P(X₂ $\in$ A₂) = P(X₂ = 2 oder X₂ = 3) = 0,4 + 0,25 = 0,65,

(also jeweils die Summen der entsprechenden Randwahrscheinlichkeiten ausrechnen).

Für die Unabhängigkeit müsste nun gelten, dass das Produkt der unteren beiden Zahlen gleich der oberen Zahl ist: 0,4 = 0,7×0,65, was aber nicht richtig ist, denn die rechte Seite ergibt 0,455 statt 0,4.

Also sind die beiden Zufallsvariablen X₁ und X₂ nicht unabhängig, sondern abhängig.

Es gibt äquivalente Formulierungen der Unabhängigkeit:

• die bedingten Verteilungen sind gleich den Randverteilungen

• die gemeinsame Verteilungsfunktion ist gleich dem Produkt der Randverteilungsfunktionen,

  • in Zeichen F(x₁,x₂,...,x_n) = F(x₁)×F(x₂)×…×F(x_n) für alle x₁,x₂,...,x_n.

• die gemeinsame Dichtefunktion f ist gleich dem Produkt der Dichefunktionen,

  • also f(x₁,x₂,...,x_n) = f(x₁) ×f(x₂) ×…×f(x_n) für alle x₁,x₂,...,x_n

Merke

Das heißt darüber hinaus, dass im Falle der Unabhängigkeit die gemeinsame Verteilung bereits durch die Randverteilungen eindeutig bestimmt sind.

Videos

Unabhängigkeit von Zufallsvariablen

Kovarianz mehrdimensionaler Verteilungen

Stetige mehrdimensionale Verteilungen