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Wahrscheinlichkeitsrechnung - Randverteilungen

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Wahrscheinlichkeitsrechnung

Randverteilungen

Die RandVerteilungen (hier als Randwahrscheinlichkeitsfunktion, da der diskrete Fall gegeben ist) werden dadurch berechnet, dass X2 unerheblich ist und lediglich X1 angeschaut wird:

x1P
00,3
10,25
20,45

So erhält man bspw. P(X1 = 0) durch:

P(X1 = 0) = P(X1 = 0, X2 = 1) + P(X1 = 0, X2 = 2) + P(X1 = 0, X2 = 1) = 0,15 + 0,1 + 0,05 = 0,3.

Man bildet also die Summen der Wahrscheinlichkeiten aus der Tabelle, anders formuliert: die Randwahrscheinlichkeitsfunktion ist durch die Randwahrscheinlichkeiten bereits gegeben.

Jene für X2 sind daher:

x2P
10,35
20,35
30,3

 

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Im stetigen Falle sind die Randdichten gegeben:

$f_1(x_1)$ = $\int _{-\infty }^{\infty }\; f(x_1, x_2)dx_2$ und $f_2(x_2)$ = $\int _{-\infty }^{\infty }\; f(x_1, x_2)dx_1,$

Man integriert jeweils über die andere Variable.

Randverteilungsfunktion

Die Randverteilungsfunktion erhält man durch

F1(x1) = F(x1, ∞) für alle x1 und F2(x2) = F(∞, x2) für alle x2.

Also hier konkret

F1(0) = F(0, ∞) = F(0,3) = 0,3,

F1(1) = F(1, ∞) = F(1,3) = 0,55

F1(2) = F(2, ∞) = F(2,3) = 1.

Die zweite Variable Xwird bis zum Maximum ausgereizt, daher hier bis 3.

Bedingte Verteilungen

Bedingte Verteilungen lassen sich ermitteln durch

f1(x1|x2) = $\frac{f(x_{1,}X_2)}{f_2(x_2)}$, und x1 ∈ $\mathbb{R}$,

 

f2(x2|x1) = $\frac{f(x_{1,}X_2)}{f_2(x_2)}$, und x2 ∈ $\mathbb{R}$.

Es bedeutet z.B. f(1|2) die Wahrscheinlichkeit, dass X1 = 1 ist, wenn wir schon wissen, dass X2 = 2. Also:

f2(1|2) = $\frac{f(1,2)}{f_2(2)}$ = $\frac{0,05}{0,35}$ = $\frac{1}{7}$ ≈ 0,143.

Wenn also X2 = x2 fest ist, dann lässt sich für diesen festen Wert x2 (!) die bedingte Verteilung für die andere Zufallsvariable X1 ausrechnen. Für ein anderes x2 ist die bedingte Verteilung wiederum eine andere.

Wenn X2 = 1 ist, dann ist für diesen Fall die bedingte Verteilung f(x1|1) gegeben:

f(0|1) = $\frac{f(0,1)}{f(1)}$ =  $\frac{0,15}{0,35}$ =  $\frac 3 7$

 

f(1|1) = $\frac{f(1,1)}{f(1)}$ =  $\frac{0,1}{0,35}$ =  $\frac 2 7$

 

f(2|1) = $\frac{f(2,1)}{f(1)}$ =  $\frac{0,1}{0,35}$ =  $\frac 2 7$.

Für X2 = 2, ist die bedingte Verteilung:

f(0|2) = $\frac{f(0,2)}{f(2)}$ = $\frac{0,1}{0,35}$ = $\frac 2 7$

 

f(1|2) = $\frac{f(1,2)}{f(2)}$ = $\frac{0,05}{0,35}$ = $\frac 1 7$

 

f(2|2) = $\frac{f(2,2)}{f(2)}$ = $\frac{0,2}{0,35}$ =$\frac 4 7$

Schlussendlich für X2 = 3, ist die bedingte Verteilung:

f(0|3) = $\frac{f(0,3)}{f(3)}$ = $\frac{0,05}{0,3}$ = $\frac 1 6$

 

f(1|3) = $\frac{f(1,3)}{f(3)}$ = $\frac{0,1}{0,3}$ = $\frac 1 3$

 

f(2|3) = $\frac{f(2,3)}{f(3)}$ = $\frac{0,15}{0,3}$ = $\frac 1 2$

Unabhängigkeit von Zufallsvariablen

Unabhängigkeit

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Die Zufallsvariablen X1 und X2 sind unabhängig, wenn gilt:

$P(X_1 \in A_1, X_2 \in A_2) $ = $P(X_1 \in A_1) \cdot ( X_1 \in A_1)$

für jeden Bereich A1 und A2.

Das heißt konkret, dass z.B. für A1 = {0,1}, A2= {1,3} der folgende Bereich zu betrachten ist:

X \Y123Summe ∑
00,150,10,50,3
10,10,050,10,25
20,10,20,150,45
Summe ∑0,350,350,31

Zeitgleich muss damit gelten, dass X1 = 0 oder 1 ist, und X2 = 1 oder 3 ist.

Das ist für genau vier Varianten der Fall:

X1 = 0 und X2 = 1,

 

X1 = 0 und X= 3,

 

X1 = 1 und X2 = 1,

 

X1 = 1 und X2 = 3.

Deis bedeutet für die Wahrscheinlichkeiten, dass wir die linke und die rechte Seite der obigen Gleichung getrennt untersuchen müssen.

Für die linke Seite rechnet man

P(X1 $\in$ A1, X2 $\in$ A2) = P(X1 = 0, X2 = 1) + P(X1 = 0, X= 3) + P(X1 = 1, X2 = 1) + P(X1 = 1, X2 = 3) = 0,15 + 0,05 + 0,1 + 0,1 = 0,4.

Dagegen errechnet man für die rechte Seite die Summen der entsprechenden Randwahrscheinlichkeiten:

P(X1 $\in$ A1) = P(X1 = 0 oder X1 = 1) = 0,3 + 0,25 = 0,55

 

P(X2 $\in$ A2) = P(X2 = 1 oder X2 = 3) = 0,35 + 0,3 = 0,65,

 

Besteht Unabhängigkeit, dann müsste nun gelten, dass das Produkt der oberen Zahl gleich der unteren beiden Zahlen ist: 0,4 = 0,55 · 0,65.

Da dies aber nicht der Fall ist, denn die rechte Seite ergibt 0,3575 statt 0,4, folgt daraus, dass die Zufallsvariablen X1 und X2 nicht unabhängig, sondern abhängig.

 

Es existieren entsprechende Formulierungen der Unabhängigkeit:

  1. die bedingten Verteilungen sind gleich den Randverteilungen

  2. die gemeinsame Verteilungsfunktion ist gleich dem Produkt der Randverteilungsfunktionen:

    F(x1,x2,...,xn) = F(x1) · F(x2) · … · F(xn) für alle x1,x2,...,xn.

  3. die gemeinsame Dichtefunktion f ist gleich dem Produkt der Dichefunktionen:

    f(x1,x2,...,xn) = f(x1) · f(x2) · … · f(xn) für alle x1,x2,...,xn

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Bedingung 2 bedeutet im diskreten Fall, dass sich im Falle der Unabhängigkeit die Zahl in der Zelle als Produkt der jeweiligen Randwahrscheinlichkeiten ergibt, dies gilt für alle Zellen.

Außerdem ist im Falle der Unabhängigkeit die gemeinsame Verteilung schon durch die Randverteilungen eindeutig bestimmt.