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Randverteilungen
Die Randverteilungen (hier als Randwahrscheinlichkeitsfunktion, da der diskrete Fall gegeben ist) werden dadurch berechnet, dass X2 unerheblich ist und lediglich X1 angeschaut wird:
X1 | P |
0 | 0,35 |
1 | 0,3 |
2 | 0,35 |
So erhält man bspw. P(X1 = 0) durch P(X1 = 0) = P(X1 = 0, X2 = 1) + P(X1 = 0, X2 = 2) + P(X1 = 0, X2 = 1) = 0,1 + 0,1 + 0,15 = 0,35.
Man bildet also die Summen der Wahrscheinlichkeiten aus der Tabelle, anders ausgedrückt: die Randwahrscheinlichkeitsfunktion ist durch die Randwahrscheinlichkeiten bereits gegeben. Jene für X2 lautet deswegen
X2 | P |
1 | 0,35 |
2 | 0,4 |
3 | 0,25 |
Merke
Merke
Im stetigen Falle sind die Randdichten gegeben durch
f1(x1) = $\int _{-\infty }^{\infty }\;$f(x1, x2)dx2 und f2(x2) = $\int _{-\infty }^{\infty }\;$f(x1, x2)dx1, man integriert also jeweils über die andere Variable.
Video zur Herleitung einer Kontingenztabelle
Video: Randverteilungen
Randverteilungsfunktion
Die Randverteilungsfunktion erhält man durch
F1(x1) = F(x1, ∞) für alle x1 und
F2(x2) = F(∞, x2) für alle x2.
Also hier konkret
F1(0) = F(0, ∞) = F(0,3) = 0,35,
F1(1) = F(1, ∞) = F(1,3) = 0,65
F1(2) = F(2, ∞) = F(2,3) = 1.
Die zweite Variable X2 wird also bis zum Maximum ausgereizt, hier konkret geht sie bis 3.
Bedingte Verteilungen
Bedingte Verteilungen lassen sich ermitteln durch
f1(x1|x2) = $\frac{f(x_{1,}X_2)}{f_2(x_2)}$, wobei x1 R, also aus den reellen Zahlen ist,
f2(x2|x1) = $\frac{f(x_{1,}X_2)}{f_2(x_2)}$, wobei x2 R.
Es bedeutet also z.B. f(2|3) die Wahrscheinlichkeit, dass X1 = 2 ist, wenn bereits bekannt ist, dass X2 = 3. Also: f2(2|3) = $\frac{f(2,3)}{f_2(3)}$ = $\frac{0,05}{0,25}$ = 0,2.
Wenn also X2 = x2 fest ist, dann lässt sich für diesen festen Wert x2 (!) die bedingte Verteilung für die andere Zufallsvariable X1 ausrechnen. Für ein anderes x2 ist die bedingte Verteilung wiederum eine andere.
Wenn also X2 = 1 ist, dann ist hierfür (!) die bedingte Verteilung f(x1|1) gegeben durch
f(0|1) = $\frac{f(0,1)}{f(1)}$ = $\frac{0,1}{0,35}$ = $\frac 2 7$
f(1|1) = $\frac{f(1,1)}{f(1)}$ = $\frac{0,05}{0,35}$ = $\frac 1 7$
f(2|1) = $\frac{f(2,1)}{f(1)}$ = $\frac{0,2}{0,35}$ = $\frac 4 7$.
Wenn X2 = 2, dann ist die bedingte Verteilung wiederum anders:
f(0|2) = $\frac{0,1}{0,4}$ = 0,25
f(1|2) = $\frac{0,2}{0,4}$ = 0,5
f(2|2) = $\frac{0,1}{0,4}$ = 0,25.
Gilt schließlich X2 = 3, dann ist die bedingte Verteilung:
f(0|3) = $\frac{0,15}{0,25}$ = 0,6
f(1|3) = $\frac{0,05}{0,25}$ = 0,2
f(2|3) = $\frac{0,05}{0,25}$ = 0,2.
Video zur Randverteilung
Video: Randverteilungen
Unabhängigkeit von Zufallsvariablen
Unabhängigkeit
Merke
Die Zufallsvariablen X1 und X2 sind unabhängig, wenn gilt
P(X1$\ $\in$ A1, X2 $\in$ A2) = P(X1 $\in$ A1)×( X1 $\in$ A1)
für jeden Bereich A1, A2.
Das heißt konkret, dass z.B. für A1 = {0,2}, A1= {2,3} der folgende Bereich zu betrachten ist:
X\Y | 1 | 2 | 3 | Summe |
0 | 0,1 | 0,1 | 0,15 | 0,35 |
1 | 0,05 | 0,2 | 0,05 | 0,3 |
2 | 0,2 | 0,1 | 0,05 | 0,35 |
Summe | 0,35 | 0,4 | 0,25 | 1 |
Es muss also gleichzeitig gelten,
dass X1 = 0 oder 2 ist, und
dass X2 = 2 oder 3 ist.
Dies ist aber lediglich in vier Fällen richtig,
nämlich wenn X1 = 0 und X2 = 2,
wenn X1 = 0 und X2 = 3,
wenn X2 = 2 und X2 = 2,
sowie wenn X1 = 2 und X2 = 3.
Das heisst für die Wahrscheinlichkeiten dann, dass wir die linke und die rechte Seite der o.e. Gleichung getrennt untersuchen müssen.
Für die linke Seite rechnet man
P(X1 $\in$ A1, X2 $\in$ A2) = P(X1 = 0, X2 = 2) + P(X1 = 0, X2 = 3) + P(X2 = 2, X2 = 2) + P(X1 = 2, X2 = 3) = 0,1 + 0,15 + 0,1 + 0,05 = 0,4.
Dagegen gilt für die rechte Seite
P(X1 $\in$ A1) = P(X1 = 0 oder X1 = 2) = 0,35 + 0,35 = 0,7 und
P(X2 $\in$ A2) = P(X2 = 2 oder X2 = 3) = 0,4 + 0,25 = 0,65,
(also jeweils die Summen der entsprechenden Randwahrscheinlichkeiten ausrechnen).
Für die Unabhängigkeit müsste nun gelten, dass das Produkt der unteren beiden Zahlen gleich der oberen Zahl ist: 0,4 = 0,7×0,65, was aber nicht richtig ist, denn die rechte Seite ergibt 0,455 statt 0,4.
Also sind die beiden Zufallsvariablen X1 und X2 nicht unabhängig, sondern abhängig.
Es gibt äquivalente Formulierungen der Unabhängigkeit:
die bedingten Verteilungen sind gleich den Randverteilungen
die gemeinsame Verteilungsfunktion ist gleich dem Produkt der Randverteilungsfunktionen,
in Zeichen F(x1,x2,...,xn) = F(x1)×F(x2)×…×F(xn) für alle x1,x2,...,xn.
die gemeinsame Dichtefunktion f ist gleich dem Produkt der Dichefunktionen,
also f(x1,x2,...,xn) = f(x1) ×f(x2) ×…×f(xn) für alle x1,x2,...,xn
Merke
Merke
Bedingung 2 heißt im diskreten Fall, dass sich im Falle der Unabhängigkeit die Zahl in der Zelle als Produkt der jeweiligen Randwahrscheinlichkeiten ergibt, und zwar für alle Zellen.
Das heißt darüber hinaus, dass im Falle der Unabhängigkeit die gemeinsame Verteilung bereits durch die Randverteilungen eindeutig bestimmt sind.
Videos
Unabhängigkeit von Zufallsvariablen
Video: Randverteilungen
Kovarianz mehrdimensionaler Verteilungen
Video: Randverteilungen
Stetige mehrdimensionale Verteilungen
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