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Wahrscheinlichkeitsrechnung - Aufgaben, Beispiele und Berechnungen zur Tschebyscheffschen Ungleichung

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Wahrscheinlichkeitsrechnung

Aufgaben, Beispiele und Berechnungen zur Tschebyscheffschen Ungleichung

Inhaltsverzeichnis

Aufgabe 1:

Eine faire Münze werde zehnmal geworfen. Die Zufallsvariable X sei definiert als die Anzahl der gefallenen Köpfe.

a) Wie ist die Zufallsvariable X verteilt und was sind ihr Erwartungswert und ihre Varianz?

b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als zwei und weniger als achtmal Kopf fällt?

c) Berechne die unter b) gesuchte Wahrscheinlichkeit unter der Annahme, dass die Verteilung von X mit ausreichender Genauigkeit durch eine Normalverteilung mit den unter a) berechneten Parametern angenähert werden kann.

d) Gib eine Abschätzung der unter b) gesuchten Wahrscheinlichkeit mit Hilfe der Tschebyscheffschen Ungleichung an.

e) Vergleiche die Ergebnisse b)-d) und erläutere die Unterschiede.

Lösung:

a) Die Zufallsvariable ist binomialverteilt mit X ~ B(10;0,5). Der Erwartungswert lässt sich bei einer Binomialverteilung mit der Formel E(X) = n∙p ausrechnen.

In diesem Falle ist er also E(X) = 10∙0,5 = 5. Die Varianz lässt sich mit der Formel Var(X) = n∙p∙(1 - p) errechnen. Damit erhält man Var(X) = 10∙0,5∙0,5 = 2,5.

b) Die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als zwei und weniger als acht Köpfe fallen, errechnet sich wie folgt:

P(2 < X < 8) = P(2 < X ≤ 7) = F(7) – F(2)

Hierzu zunächst Nebenrechnungen:

P(X ≤ 7) = 1 - P(X > 7)

= 1 - [P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10)]

= 1 - [$\left(\genfrac{}{}{0pt}{0}{10}8\right)$∙$\left(\frac 1 2\right)^8$∙$\left(\frac 1 2\right)^{10\;-\;8}$ + $\left(\genfrac{}{}{0pt}{0}{10}9\right)$∙$\left(\frac 1 2\right)^9$∙$\left(\frac 1 2\right)^{10\;-\;9}$ + $\left(\genfrac{}{}{0pt}{0}{10}10\right)$∙$\left(\frac 1 2\right)^(10)$∙$\left(\frac 1 2\right)^{10\;-\;10}$]

= 1 - [0,043945 + 10*0,0009766 + 0,0009766]

= 0,9453

P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)

= $\left(\genfrac{}{}{0pt}{0}{10}0\right)$∙$\left(\frac 1 2\right)^0$∙$\left(\frac 1 2\right)^{10\;-\;0}$ +  $\left(\genfrac{}{}{0pt}{0}{10}1\right)$∙$\left(\frac 1 2\right)^1$∙$\left(\frac 1 2\right)^{10\;-\;1}$ +  $\left(\genfrac{}{}{0pt}{0}{10}2\right)$∙$\left(\frac 1 2\right)^2$∙$\left(\frac 1 2\right)^{10\;-\;1}$

= 0,000976563 + 0,00976525 + 0,043945

= 0,054687106.

Also ist

P(2 < X < 8) = F(7) – F(2) = 0,9453 - 0,054687106 = 0,890625. Die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als zwei Köpfe und weniger als acht Köpfe fallen, beträgt etwa 89 %.

c) Rechne also mit der Normalverteilung N(5; 1,58). Man kalkuliert

P(2 < X < 8) = P(3 ≤ X ≤ 7)

= P((3 - 5)/1,58 ≤ XSt ≤ (7 - 5)/1,58)

= P((-1,26 ≤ XSt ≤ 1,26)

= Ф(1,26) – Ф(-1,26)

= Ф(1,26) – [1 - Ф(1,26)]

= Ф(1,26) – 1 + Ф(1,26)

= 2·Ф(1,26) – 1

= 2·0,8962 – 1

= 0,7924.

d) Mit Tschebyscheff schätzt man die gesuchte Wahrscheinlichkeit so ab:

P(2 < X < 8) = P(3 ≤ X ≤ 7)

= P(3 – 5 ≤ X – 5 ≤ 7 – 5)

= P(-2 ≤ X – 5 ≤ 2)

= P(|X - 5| ≤ 2)

≥ 1 – σ22

= 1 – 2,5/4

= 0,375.

e) Das Ergebnis aus d) bestätigt jenes aus c). 

Aufgabe 2:

Die Verteilung der Preise von Büchern in einer Buchhandlung ist unbekannt. Sehr wohl bekannt sind allerdings der Durchschnittspreis (10 €) und die Varianz der Preise (12,25 €2).

a) Gib eine untere Abschätzung für die Wahrscheinlichkeit an, dass ein zufällig entnommenes Buch zwischen 4,75 € und 15,25 € kostet.

b) Wie würde sich das Ergebnis zu a) ändern, wenn angenommen werden könnte, dass die Preise der Bücher normalverteilt sind?

Lösung:

a) Man rechnet

P(4,75 ≤ X ≤ 15,25) = P(4,75 - 10 ≤ X - 10 ≤ 15,25 – 10)

= P(-5,25 ≤ X - 10 ≤ 5,25)

= P(|X – 10| ≤ 5,25)

≥ 1 – σ22

= 1 – 12,25/5,252

= 1 – 12,25/27,5625

= 1 – 0,444

= 0,555.

b) Wären die Preise normalverteilt, so benötigt man keine Abschätzung, sondern kann die Wahrscheinlichkeit exakt kalkulieren:

P(4,75 ≤ X ≤ 15,25) = P(4,75 - 10 ≤ X - 10 ≤ 15,25 – 10)

= P(-5,25 ≤ X - 10 ≤ 5,25)

= P(-5,25/√12,25 ≤ XSt ≤ 5,25/√12,25)

= P(-5,25/3,5 ≤ XSt ≤ 5,25/3,5)

= P(-1,5 ≤ XSt ≤ 1,5)

= Ф(1,5) – Ф(-1,5)

= Ф(1,5) – [1 – Ф(1,5)]

= Ф(1,5) – 1 + Ф(1,5)

= 2·Ф(1,5) – 1

= 2·0,9332 – 1

= 0,8664.

LAMBERT-METHODE:

Das Ergebnis aus b) bestätigt wiederum jenes aus a). Die Wahrscheinlichkeit ist in jedem Fall größer oder gleich 0,555, im Fall der vorliegenden Normalverteilung sogar 0,8664.  

Aufgabe 3:

a) Ein Bäcker möchte abschätzen, ob die Anzahl der verkauften Croissants an einem beliebigen Sonntag mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90 % zwischen 400 und 600 Croissants liegt. Er weiß jedoch lediglich, dass der Erwartungswert der verkauften Stücke an einen Sonntag bei 500 mit einer Standardabweichung von 50 liegt.

b) Wie groß müsste die Streuung der Zufallsvariablen sein, damit die Abschätzung aus a) möglich ist?

c) Angenommen es handelt sich bei der Verteilung der verkauften Brötchen um eine Normalverteilung mit den in a) angegebenen Parametern. Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit des in a) angegebenen Ereignisses?  

Lösung:

a) Da die Verteilung der Zufallsvariablen unbekannt ist, lediglich Erwartungswert und Streuung bekannt, der Erwartungswert exakt in der Mitte des fraglichen Bereiches liegt (500 liegt exakt in der Mitte von 400 und 600) und lediglich eine Abschätzung statt einer Schätzung oder einer genauen Berechnung gefragt ist, ist die Tschebyscheffsche Ungleichung zu verwenden. Man berechnet also P(400 ≤ X ≤ 600), zumindest eine Abschätzung hierzu (auf deutsch: man rechnet, ob dieser Ausdruck größer oder kleiner als eine bestimmte Zahl ist). Nach der Tschebyscheffschen Ungleichung P(|X – μ| ≤ ε) ≥ 1 - $\frac{\sigma ^2}{\varepsilon ^2}$ gilt dann, dass

P(400 ≤ X ≤ 600) = P(400 - 500 ≤ X – 500 ≤ 600 – 500)

= P(-100 ≤ X – 500 ≤ 100)

= P(|X - 500| ≤ 100) ≥ 1 - $\frac{\sigma ^2}{\varepsilon ^2}$

= 1 - $\frac{50^2}{100^2}$

= 1 – 0,52

= 1 – 0,25

= 0,75.

Der Bäcker hat also nicht recht, dass die Mindestwahrscheinlichkeit für das gesuchte Ereignis „mindestens 90 %“ beträgt. Vielmehr liegt die Wahrscheinlichkeit irgendwo rechts von 75 % (sie kann also auch durchaus „lediglich“ bei 80 % oder 85 % liegen, also kleiner als 90 %).

b) Es müsste gelten P(|x – 500| ≤ 100) ≥ 1- $\frac{\sigma ^2}{10000}$ = 0,9. Die letzte Gleichheit löst man nach σ2 auf und erhält

- $\frac{\sigma ^2}{10.000}$ = - 0,1 ‹=› σ2 = 10000 ‹=› σ = 31,623.

c) Man rechnet also mit der N(500; 50)-Verteilung, d.h. mit der Normalverteilung zum Erwartungswert 500 und der Standardabweichung 50. Gerechnet wird also

P(400 ≤ X ≤ 600) = P(400 - 500 ≤ X – 500 ≤ 600 – 500)

= P(-100 ≤ X – 500 ≤ 100)

= P(-100/50 ≤ (X – 500)/50 ≤ 100/50)

= P(-2 ≤ XSt≤ 2)

= Φ(2) – Φ(-2)

= Φ(2) – [1 – Φ(2)] = Φ(2) – 1 + Φ(2)

= 2· Φ(2) – 1

= 2·0,9772 – 1

= 0,9544.

LAMBERT-METHODE:

Das Ergebnis aus a) bestätigt sich also. Für alle Verteilungen (!) ist das Ergebnis größer oder gleich 0,75. Speziell für die Normalverteilung N(500, 50) ist es sogar exakt 0,9544 – also erst recht größer als 0,75.