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Wahrscheinlichkeitsrechnung - Formeln für Wahrscheinlichkeiten

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Wahrscheinlichkeitsrechnung

Formeln für Wahrscheinlichkeiten

Inhaltsverzeichnis

Man kann Eigenschaften über Wahrscheinlichkeiten konkret aus den Kolmogoroffschen Axiomen herleiten, allerdings keine konkreten Wahrscheinlichkeiten errechnen.

Die Regeln, die aus den Axiomen ableitbar sind, lauten (ohne Beweis):

$P(A) \leq 1$

  • maximal kann die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A gleich 1 sein

$P(Ø) = 0$

  • die Wahrscheinlichkeit unmöglicher Ereignisse ist gleich null.

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Der Umkehrschluss, dass Ereignisse, deren Wahrscheinlichkeit gleich null ist, auch nicht mögliche Ereignisse sind, ist nicht korrekt!

 

$A \subseteq B  \Rightarrow$ $P(A) \leq P(B)$:

  • Die Wahrscheinlichkeit für A ist maximal gleich der von B, wenn A Teilmenge von B ist.

 

$P(\overline{A}) = 1 - P(A)$

  • die Wahrscheinlichkeit für das Komplement von A, ist gleich 1 minus der Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A eintritt.
Der Additionssatz für zwei Ereignisse:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

  • Die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung (also von $A \cup B$) ergibt sich durch Addition der Einzelwahrscheinlichkeiten $P(A)$ und $P(B)$ und Subtraktion der Schnittwahrscheinlichkeit $P(A \cap B)$, da es ansonsten hier zu einer Doppelzählung dieser Schnittwahrscheinlichkeit käme

 

Der Additionssatz für drei Ereignisse $A$,$B$ und $C$:

$P(A \cup B \cup C)$ = $P(A) + P(B) + P(C) + P(A \cap B \cap C) – P(A \cap B) – P(B \cap C) – P(A \cap C)$.

 

  1. Einzelwahrscheinlichkeiten werden addiert,

  2. Schnittmengen aus jeweils zwei Mengen subtrahiert, da sonst Doppelzählungen stattfänden

  3. die Schnittmenge aus drei Mengen addiert.

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    Abb. 3.1 Venn-Diagramm mit drei Ereignissen

Unabhängigkeit von Ereignissen

Merke

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Gilt $P(A \cap B) $=$ P(A)·P(B)$ so heißen diese zwei Ereignisse A und B unabhängig.

Daraus folgt, dass das Eintreten von A nicht das Eintreten von B beeinflusst und anders herum. Dies wird durch folgendes Beispiel deutlich:

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Man ziehe zweimal aus einer Urne mit 9 Kugeln (je 3 blaue, weiße und grüne).

 

  1. Man zieht mit Zurücklegen

    Ereignis A = {blaue Kugel}: $P(A) = {3 \over 9} = {1 \over 3}$
    Ereignis B = {weiße Kugel}: $P(B) = {3 \over 9} = {1 \over 3}$

    Dann ist $P(A \cap B)= P$ (erst blau, dann weiß) $ = {1 \over 9}$ = $P(A) · P(B)$

    Die Ziehung der blauen Kugel beeinflusst nicht die Wahrscheinlichkeit, beim zweiten Versuch eine weiße Kugel zu ziehen. Daher sind die beiden Ereignisse A und B unabhängig.

  2. Man zieht ohne Zurücklegen

    Ereignis A' = {blaue Kugel} $P(A') = {3 \over 9} = {1 \over 3}$
    Ereignis B' = {weiße Kugel} $P(B') = {3 \over 9} = {1 \over 3}$

    Dann ist $P'(A' \cap B')= P$ (erst blau, dann weiß) $= {1 \over 3} · {3 \over 8}= {3 \over 24}= {1 \over 8}$ ≠ ${1 \over 9} = P(A') · P(B')$

Ein bisschen schwieriger ist es mit der Unabhänigkeit bei drei Ereignissen.

Bei folgenden Voraussetzungen, gelten drei Ereignisse A, B, C als zusammen unabhängig:

$P(A \cap B) = P(A)·P(B)$,

$P(A \cap C) = P(A)·P(C)$,

$P(B \cap C) = P(B)·P(C)$,

$P(A \cap B \cap C) = P(A)·P(B)·P(C)$

 

Merke

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Die ersten drei Formeln sagen aus, dass jeweils die Paare (A $\cap$ B), (A $\cap$ C), (B $\cap$ C) unabhänig voneinader sind.

Die paarweise Unabhängigkeit ist notwendige Bedingung für die Unabhängigkeit aller drei Ereignisse, jedoch nicht hinreichende Bedingung.

Somit ergibt sich aus der dreiseitigen Unabhängigkeit die paarweise Unabhängigkeit, allerdings gilt dies nicht umgekehrt.