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Wahrscheinlichkeitsrechnung - Formeln für Wahrscheinlichkeiten

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Wahrscheinlichkeitsrechnung

Formeln für Wahrscheinlichkeiten

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Man kann Eigenschaften über Wahrscheinlichkeiten konkret aus den Kolmogoroffschen Axiomen herleiten, allerdings keine konkreten Wahrscheinlichkeiten errechnen. Die Regeln, die aus den Axiomen ableitbar sind, lauten (ohne Beweis):

  • P(A) ≤ 1

    • jedes Ereignis A hat eine Wahrscheinlichkeit von höchstens 1

  • P(Ø) = 0

    • das unmögliche Ereignis besitzt eine Wahrscheinlichkeit von null.

    • ACHTUNG: wenn ein Ereignis eine Wahrscheinlichkeit von null besitzt, so bedeutet dies nicht, dass es sich um ein unmögliches Ereignis handelt.

  • A $\subseteq$ B $ \Rightarrow$ P(A) ≤ P(B)

    • wenn A eine Teilmenge von B ist, dann ist die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von A höchstens gleich der Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von B

  • P($\overline{A}$) = 1 - P(A)

    • die Wahrscheinlichkeit, dass A nicht eintritt (dass also das Komplement von A passiert), ist gleich 1 minus der Wahrscheinlichkeit, dass A passiert.

  • P(A$\cup$ B) = P(A) + P(B) – P(A $\cap$ B)

    • der sogenannte Additionssatz für zwei Ereignisse

    • Die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung (also von A $\cup$ B) ergibt sich durch Addition der Einzelwahrscheinlichkeiten P(A) und P(B) und Subtraktion der Schnittwahrscheinlichkeit P(A $\cap$ B), da es ansonsten hier zu einer Doppelzählung dieser Schnittwahrscheinlichkeit käme

  • Der Additionssatz für drei Ereignisse A,B und C lautet P(A $\cup$ B $\cup$ C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A $\cap$ B) – P(B $\cap$ C) – P(A $\cap$ C) + P(A $\cap$ B $\cap$ C).

Ein Bild unterstützt hierbei das Verständnis:

  • die Einzelwahrscheinlichkeiten werden addiert,

  • danach die Schnittmengen aus jeweils zwei Mengen subtrahiert,

  • schließlich – wegen der Doppelzählung, die sonst stattfände – die Schnittmenge aus drei Mengen addiert.

Abb. 3.1: Venn-Diagramm mit drei Ereignissen
Abb. 3.1: Venn-Diagramm mit drei Ereignissen

Video: Formeln für Wahrscheinlichkeiten

Unabhängigkeit von Ereignissen

Kommen wir zur sog.

Methode

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 Zwei Ereignisse A und B heißen unabhängig, wenn gilt

P(A $\cap$ B) = P(A)·P(B).

A und B beeinflussen sich in einer derartigen Situation nicht, das Eintreten von B hängt nicht vom Eintreten von A ab und das Eintreten von A nicht vom Eintreten von B.

Beispiel

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Im zweiten Wurf eines doppelten Würfelwurfes eine 5 zu würfeln (Ereignis A) ist unabhängig davon, im ersten Wurf eine 3 zu würfeln (Ereignis B).  

Denn A $\cap$ B heißt, im ersten Wurf eine 3 und im zweiten eine 5 zu würfeln, es ist also A $\cap$ B = {(3,5)} und damit P(A $\cap$ B) = P({(3,5)}) = ${1\over {36}}$ . Andererseits gilt P(A) = P(*,5) =  ${ \textrm{#((1,5),(2,5), ... ,(6,5))} \over {\textrm {#Ω}}}= {6 \over {36}} = {1 \over {6}}$ sowie P(B) = P(3,*) =${ \textrm{#((3,1),(3,2), ... ,(3,6))} \over {\textrm {#Ω}}}= {6 \over {36}} = {1 \over {6}}$ und also gilt P(A)·P(B) = ${1 \over {6}}\cdot {1 \over{6}} = {1 \over{36}}$ = P(A $\cap$ B) und damit die Unabhängigkeit der beiden Ereignisse A und B.

Beispiel

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Beim einmaligen Werfen eines Würfels werden die folgenden Ereignisse betrachtet:

A: Die Augenzahl ist gerade.

B: Die Augenzahl ist kleiner als 4.

C: Die Augenzahl ist 1 oder 5

Welche Aussagen sind richtig?

A und B sind unabhängig

A und C sind nicht unabhängig

B und C sind nicht unabhängig

Vertiefung

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Lösung:

Zunächst schreibt man die Mengen A, B und C auf:

A = {2,4,6}, B = {1,2,3} und C = {1,5}.

a) A und B sind unabhängig, wenn gilt:

P ({A $\cap$ B}) = P (A)∙P(B)

Es ist A$\cap$ B = Augenzahl gerade und Augenzahl kleiner als 4. Man rechnet die Wahrscheinlichkeit des Schnitts aus als P ({A$\cap$ B}) = P ({2}) = ${ \textrm{#A} \over {\textrm {#Ω}}}$=${1\over{6}}$ . Bei Unabhängigkeit gilt: P {A $\cap$ B} = P (A)∙P(B)

Demnach muss gelten:${1\over{6}} ={3\over{6}}\cdot {3\over{6}}$. Dies ist hier jedoch nicht so, denn$ {1\over{6}}$≠${3\over{6}}\cdot {3\over{6}}$, denn ${1\over{6}}$≠ ${1\over{4}}$.

b) P (A $\cap$ C) = P (A)∙P(C)

Es ist A $\cap$ C = Augenzahl gerade und Augenzahl 1 oder 5. Dies ist aber nicht machbar, insofern gilt P (A$\cap$ C) = P ({ }) = 0.

Unabhängigkeit gilt, wenn:

P (A $\cap$ C) = P (A)∙P(C)

Hier: 0 ≠ ${3\over{6}}\cdot {3\over{6}}$, woraus folgt, dass A und C nicht unabhängig sind, sondern abhängig.

- richtige Aussage!

c) P (B $\cap$ C) = P (B)∙P(C)

Es ist B $\cap$ C = Augenzahl kleiner als 4 und Augenzahl 1 oder 5

Man kalkuliert P (B $\cap$ C) = P ({1}) =${1\over{6}}$  .

Bei Unabhängigkeit gilt: ${1\over{6}} ={3\over{6}}\cdot {2\over{6}}$. Dies trifft hier zu, denn es stimmt die Aussage:${1\over{6}}  ={1\over{6}} $.

Demnach sind B und C unabhängig und die Aussage ist falsch.

Etwas aufwändiger ist der Begriff der Unabhängigkeit bei drei Ereignissen.

Merke

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Drei Ereignisse A, B, C heißen (gemeinsam) unabhängig, wenn die folgenden Eigenschaften alle gelten:

P(A $\cap$ B) = P(A)·P(B),

P(A $\cap$ C) = P(A)·P(C),

P(B $\cap$ C) = P(B)·P(C),

P(A $\cap$ B $\cap$ C) = P(A)·P(B)·P(C)

MERKE:

  • Die drei ersten Zeilen, also P(A $\cap$ B) = P(A)·P(B), P(A $\cap$ C) = P(A) · P(C), P(B $\cap$ C) = P(B)·P(C) bedeuten, dass die Ereignisse A, B und C paarweise unabhängig sind.

  • Für die gemeinsame Unabhängigkeit von drei Ereignissen ist also die paarweise Unabhängigkeit notwendige, wenngleich nicht hinreichende, Voraussetzung

  • Aus der gemeinsamen Unabhängigkeit folgt die zweiseitige Unabhängigkeit, aber nicht umgekehrt.

Video

Video: Formeln für Wahrscheinlichkeiten