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Formeln für Wahrscheinlichkeiten

WebinarTerminankündigung:
 Am 08.12.2016 (ab 18:00 Uhr) findet unser nächstes Webinar statt.
Gratis-Webinar Diskrete und stetige Verteilungen in der Wahrscheinlichkeitsrechnung
- In diesem 60-minütigen Gratis-Webinar gehen wir darauf ein, welche diskreten und stetigen Verteilungen Sie in der Prüfung beherrschen müssen.
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Man kann Eigenschaften über Wahrscheinlichkeiten konkret aus den Kolmogoroffschen Axiomen herleiten, allerdings keine konkreten Wahrscheinlichkeiten errechnen. Die Regeln, die aus den Axiomen ableitbar sind, lauten (ohne Beweis):

  • P(A) ≤ 1

    • jedes Ereignis A hat eine Wahrscheinlichkeit von höchstens 1

  • P(Ø) = 0

    • das unmögliche Ereignis besitzt eine Wahrscheinlichkeit von null.

    • ACHTUNG: wenn ein Ereignis eine Wahrscheinlichkeit von null besitzt, so bedeutet dies nicht, dass es sich um ein unmögliches Ereignis handelt.

  • A $\subseteq$ B $ \Rightarrow$ P(A) ≤ P(B)

    • wenn A eine Teilmenge von B ist, dann ist die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von A höchstens gleich der Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von B

  • P($\overline{A}$) = 1 - P(A)

    • die Wahrscheinlichkeit, dass A nicht eintritt (dass also das Komplement von A passiert), ist gleich 1 minus der Wahrscheinlichkeit, dass A passiert.

  • P(A$\cup$ B) = P(A) + P(B) – P(A $\cap$ B)

    • der sogenannte Additionssatz für zwei Ereignisse

    • Die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung (also von A $\cup$ B) ergibt sich durch Addition der Einzelwahrscheinlichkeiten P(A) und P(B) und Subtraktion der Schnittwahrscheinlichkeit P(A $\cap$ B), da es ansonsten hier zu einer Doppelzählung dieser Schnittwahrscheinlichkeit käme

  • Der Additionssatz für drei Ereignisse A,B und C lautet P(A $\cup$ B $\cup$ C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A $\cap$ B) – P(B $\cap$ C) – P(A $\cap$ C) + P(A $\cap$ B $\cap$ C).

Ein Bild unterstützt hierbei das Verständnis:

  • die Einzelwahrscheinlichkeiten werden addiert,

  • danach die Schnittmengen aus jeweils zwei Mengen subtrahiert,

  • schließlich – wegen der Doppelzählung, die sonst stattfände – die Schnittmenge aus drei Mengen addiert.

Abb. 3.1: Venn-Diagramm mit drei Ereignissen
Abb. 3.1: Venn-Diagramm mit drei Ereignissen

Video: Formeln für Wahrscheinlichkeiten

Man kann Eigenschaften über Wahrscheinlichkeiten konkret aus den Kolmogoroffschen Axiomen herleiten, allerdings keine konkreten Wahrscheinlichkeiten errechnen.

Unabhängigkeit von Ereignissen

Kommen wir zur sog.

Methode

 Zwei Ereignisse A und B heißen unabhängig, wenn gilt

P(A $\cap$ B) = P(A)·P(B).

A und B beeinflussen sich in einer derartigen Situation nicht, das Eintreten von B hängt nicht vom Eintreten von A ab und das Eintreten von A nicht vom Eintreten von B.

Beispiel

Im zweiten Wurf eines doppelten Würfelwurfes eine 5 zu würfeln (Ereignis A) ist unabhängig davon, im ersten Wurf eine 3 zu würfeln (Ereignis B).  

Denn A $\cap$ B heißt, im ersten Wurf eine 3 und im zweiten eine 5 zu würfeln, es ist also A $\cap$ B = {(3,5)} und damit P(A $\cap$ B) = P({(3,5)}) = ${1\over {36}}$ . Andererseits gilt P(A) = P(*,5) =  ${ \textrm{#((1,5),(2,5), ... ,(6,5))} \over {\textrm {#Ω}}}= {6 \over {36}} = {1 \over {6}}$ sowie P(B) = P(3,*) =${ \textrm{#((3,1),(3,2), ... ,(3,6))} \over {\textrm {#Ω}}}= {6 \over {36}} = {1 \over {6}}$ und also gilt P(A)·P(B) = ${1 \over {6}}\cdot {1 \over{6}} = {1 \over{36}}$ = P(A $\cap$ B) und damit die Unabhängigkeit der beiden Ereignisse A und B.

Beispiel

Beim einmaligen Werfen eines Würfels werden die folgenden Ereignisse betrachtet:

A: Die Augenzahl ist gerade.

B: Die Augenzahl ist kleiner als 4.

C: Die Augenzahl ist 1 oder 5

Welche Aussagen sind richtig?

A und B sind unabhängig

A und C sind nicht unabhängig

B und C sind nicht unabhängig

Lösung:

Zunächst schreibt man die Mengen A, B und C auf:

A = {2,4,6}, B = {1,2,3} und C = {1,5}.

a) A und B sind unabhängig, wenn gilt:

P ({A $\cap$ B}) = P (A)∙P(B)

Es ist A$\cap$ B = Augenzahl gerade und Augenzahl kleiner als 4. Man rechnet die Wahrscheinlichkeit des Schnitts aus als P ({A$\cap$ B}) = P ({2}) = ${ \textrm{#A} \over {\textrm {#Ω}}}$=${1\over{6}}$ . Bei Unabhängigkeit gilt: P {A $\cap$ B} = P (A)∙P(B)

Demnach muss gelten:${1\over{6}} ={3\over{6}}\cdot {3\over{6}}$. Dies ist hier jedoch nicht so, denn$ {1\over{6}}$≠${3\over{6}}\cdot {3\over{6}}$, denn ${1\over{6}}$≠ ${1\over{4}}$.

b) P (A $\cap$ C) = P (A)∙P(C)

Es ist A $\cap$ C = Augenzahl gerade und Augenzahl 1 oder 5. Dies ist aber nicht machbar, insofern gilt P (A$\cap$ C) = P ({ }) = 0.

Unabhängigkeit gilt, wenn:

P (A $\cap$ C) = P (A)∙P(C)

Hier: 0 ≠ ${3\over{6}}\cdot {3\over{6}}$, woraus folgt, dass A und C nicht unabhängig sind, sondern abhängig.

- richtige Aussage!

c) P (B $\cap$ C) = P (B)∙P(C)

Es ist B $\cap$ C = Augenzahl kleiner als 4 und Augenzahl 1 oder 5

Man kalkuliert P (B $\cap$ C) = P ({1}) =${1\over{6}}$  .

Bei Unabhängigkeit gilt: ${1\over{6}} ={3\over{6}}\cdot {2\over{6}}$. Dies trifft hier zu, denn es stimmt die Aussage:${1\over{6}}  ={1\over{6}} $.

Demnach sind B und C unabhängig und die Aussage ist falsch.

Etwas aufwändiger ist der Begriff der Unabhängigkeit bei drei Ereignissen.

Merke

Drei Ereignisse A, B, C heißen (gemeinsam) unabhängig, wenn die folgenden Eigenschaften alle gelten:

P(A $\cap$ B) = P(A)·P(B),

P(A $\cap$ C) = P(A)·P(C),

P(B $\cap$ C) = P(B)·P(C),

P(A $\cap$ B $\cap$ C) = P(A)·P(B)·P(C)

MERKE:

  • Die drei ersten Zeilen, also P(A $\cap$ B) = P(A)·P(B), P(A $\cap$ C) = P(A) · P(C), P(B $\cap$ C) = P(B)·P(C) bedeuten, dass die Ereignisse A, B und C paarweise unabhängig sind.

  • Für die gemeinsame Unabhängigkeit von drei Ereignissen ist also die paarweise Unabhängigkeit notwendige, wenngleich nicht hinreichende, Voraussetzung

  • Aus der gemeinsamen Unabhängigkeit folgt die zweiseitige Unabhängigkeit, aber nicht umgekehrt.

Video

Video: Formeln für Wahrscheinlichkeiten

Man kann Eigenschaften über Wahrscheinlichkeiten konkret aus den Kolmogoroffschen Axiomen herleiten, allerdings keine konkreten Wahrscheinlichkeiten errechnen.
Multiple-Choice

Wann sind zwei Ereignisse A und B, beide nicht leer, unabhängig?

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Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Bild von Autor Daniel Lambert

Autor: Daniel Lambert

Dieses Dokument Formeln für Wahrscheinlichkeiten ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Dipl.-Math. Dipl.-Kfm. Daniel Lambert gibt seit vielen Jahren Kurse zur Prüfungsvorbereitung. Er unterrichtet stets orientiert an alten Prüfungen und weiß aus langjähriger Erfahrung, wie sich komplexe Sachverhalte am besten aufbereiten und vermitteln lassen. Daniel Lambert ist Repetitor aus Leidenschaft seit nunmehr 20 Jahren.
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    "Weiter so!! viele Grüße aus Nürnberg"

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    Ein Kursnutzer am 08.06.2015:
    "Ich finde, dass Herrn Lambert eine große Gabe hat, schwierige Sachverhalte einfach und strukturiert wiederzugeben. Man gewinnt außerdem den Eindruck, dass er Spaß an der Erklärung hat und an wichtiger Stelle die Fokussierung mit Witz und Präzision in der Wortwahl den Stoff einleuchtend vermittelt. Ich würde mal sagen, das war ein ganz schön dickes LOB! :-) Danke! "

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