Modell der Kapitalmarktlinie - Beispiel zur Tobin-Separation

Durch dieses Beispiel soll das Schema der Tobin-Separation veranschaulicht werden.

Vorgehen bei der Tobin-Separation

A sein die Aktie der High-Invest AG, B die der Frugal AG. Es gilt dann:

$\mu_A = 12,\ \sigma_A= 5,\ \mu_B = 9,\ \sigma_B = 4,\ k_{A, B} = 0,3,\ r_f = 6 $.

Die Aufteilung nach dem CAPM nach den Annahmen der Tobin-Separation erfolgt in zwei Schritten:

1. Bestimmung des Marktportefeuilles

 Schritt a-c: Bestimmung Marktportefeuille $\ P^* $ aus Aktien A und B

$\begin {align} & \mu_{PF} = 12x_A + 9x_B
\\ \Leftrightarrow \:& \mu_{PF} = 12x_A + 9(1 – x_A)
\\ \Leftrightarrow \:& \mu_{PF} = 3x_A + 9
\\ \Leftrightarrow \:& 3x_A = \mu_{PF} \: – 9
\\ \Leftrightarrow \:& x_A = \frac{1}{3} \mu_{PF} \: – 3 \end {align}$.

Der Erwartungswert des Portefeuilles $\mu_{PF}$  ist  dabei aus A und B, außerdem $\ x_A $ der Anteil der Aktie der High-Invest AG am Portefeuille. Daraus folgt selbstverständlich $x_B = 1 - x_A $ als Anteil der Aktie der Frugal AG am Portefeuille $\ PF^* $, das aus den Aktien A und B besteht.

Nun wird die Varianz des Aktienportefeuilles in Abhängigkeit des Anteils der Aktie der High-Invest AG berechnet:

$\begin {align} \sigma^2_{PF} & = x^2_A \sigma^2_A+x^2_B \sigma^2_B+2x_A x_B \sigma_A \sigma_B k_{A,B}
\\ \Leftrightarrow \: \sigma^2_{PF} & = 25x^2_A + 16 x^2_B + 2x_A x_B \cdot 5 \cdot 4 \cdot 0,3
\\ \Leftrightarrow \: \sigma^2_{PF} & =  25x^2_A + 16 \cdot (1-x_A)^2+2x_A(1-x_A) \cdot 5 \cdot 4 \cdot 0,3
\\ \Leftrightarrow \: \sigma^2_{PF} & =  25x^2_A + 16 - 32x_A + 16x^2_A + 12x_A - 12^2_A
\\ \Leftrightarrow \: \sigma^2_{PF} & =  29x^2_A - 20x_A + 16 \end {align}$

Schritt d - f: Varianz des Aktienportefeuilles 

Dann wird in die Formel für die Varianz des Aktienportefeuilles eingesetzt:

$\begin {align} \sigma^2_{PF} & = 29 \cdot ( \frac{1}{3} \cdot \mu_{PF} \: – 3 )^2 - 20 \cdot ({\frac{1}{3} \mu_{PF} \: – 3 })+16
\\ \Leftrightarrow \: \sigma^2_{PF} & = 29 \cdot ( \frac{1}{9} \mu^2_{PF} - 2 \mu +9 ) - \frac{20}{3} \mu_{PF} \: +60 +16
\\ \Leftrightarrow \: \sigma^2_{PF} & = {\frac{29}{9} \mu^2_{PF} - 64 \frac{2}{3} \mu_{PF} + 337}
\\ \Rightarrow \sigma_{PF} & = \sqrt{ \frac{29}{9} \mu^2_{PF} - 64 \frac{2}{3} \mu_{PF} + 337} \end {align}$

$\ P^* $ liegt auch auf der Kapitalmarktlinie, welche Tangente an der Effizienzlinie ist.

Daher muss man zunächst die Kapitalmarktlinie hinschreiben:

$\begin {align}\mu_{\overline {PF}} & = r+ {\mu_{PF}-r \over \sigma_{PF}} \cdot \sigma_{\overline {PF}}
\\ \Leftrightarrow \sigma_{\overline {PF}} & ={ \sigma_{PF} \over \mu_{PF}-r} \cdot \mu_{\overline {PF}}-{r \cdot \sigma_{PF} \over \mu_{PF}-r} \end {align}$

Hier ist das Portefeuille, welches aus dem Aktienportefeuille (A und B) und der risikolosen Anlage besteht.

Schritt g - m: Steigung der Kapitalmarktlinie

Die Steigung der Kapitalmarktlinie ist gleich der partiellen Ableitung der o.e. Streuung von P nach dem Erwartungswert, also:

$$\ {d \sigma_{PF} \over d \mu_{PF}}={\sigma_{PF} \over \mu_{PF}-r} $$

$\begin {align} {{\frac{58}{9} \mu_{PF} - 64 \frac{2}{3}}\over {2 \cdot \sqrt {\frac{29}{9} \mu^2_{PF} - 64 \frac{2}{3} \mu_{PF} + 337}}} & = {{\sqrt {\frac{29}{9} \mu^2_{PF} - 64 \frac{2}{3} \mu_{PF} + 337}} \over{\mu_{PF}-r}}
\\ \Leftrightarrow (\frac{58}{9} \mu_{PF} - 64 \frac{2}{3}) \cdot (\mu_{PF} – 6) & = 2 \cdot (\frac{29}{9} \mu^2_{PF} - 64 \frac{2}{3} \mu_{PF} + 337)\end {align}$

Durch Umstellen und Ausrechnen erhält Felix Fröhlich den Erwartungswert für die Rendite des Aktienportefeuilles als auch ihre Streuung:

$\begin {align} \mu_{PF} & = 11
\\ \Rightarrow \sigma_{PF} & = \sqrt{\frac{29}{9} \cdot 11^2 - 64 \frac{2}{3} \cdot 11 +337} = 3,9441 \end {align}$.

Somit können auch die Anteile der Aktien A und B berechnet werden:

$\begin {align} \ x_A & = (\frac{1}{3} \cdot 11) \: – 3 = 0,66667
\\ \Rightarrow x_B & = 1 – 0,66667 = 0,33333 \end {align}$

2. Mischung nach der Risikoneigung:

Felix Fröhlich hätte jetzt gerne 8% Rendite für sein Portefeuille, welches sowohl aus den Aktien A und B, als auch der risikofreien Anlage zu r=6% besteht. Somit ergibt sich:

$\begin {align} \mu_{\overline {PF}} & = r + {\mu_{PF} -r \over \sigma_{PF}} \cdot \sigma_{\overline {PF}}
\\ \Leftrightarrow 8 & = 6 + {11 - 6 \over 3,9441} \cdot \sigma_{\overline {PF}} = 6 + 1,2677 \cdot \sigma_{\overline {PF}}
\\ \Leftrightarrow \sigma_{\overline {PF}} & =1,1008 \end {align}$

Damit lässt sich nun endlich durchstoßen:

Aktienportefeuille und risikolose Anlage

Das Portefeuille besteht insgesamt aus dem Aktienportefeuille und der risikolosen Anlage:

$\begin {align} 8 & = 11 \cdot x_P + 6 \cdot (1 – x_P) = 5 \cdot x_P + 6
\\ \Leftrightarrow x_P & = 0,4 \end {align}$

40 % der $25.000$ € gehen somit ins Aktienportefeuille, der Rest in die risikolose Anlage, also $10.000 €$ ins Aktienportefeuille und $15.000 €$ in die risikolose Anlage gesteckt. Konkreter werden $6.666,67 €$ in A investiert, $3.333,33€$ in die Aktie B und $15.000€$ in das festverzinsliche Wertpapier.