ZU DEN KURSEN!

Investitionsrechnung - Modell der Kapitalmarktlinie - Beispiel zur Tobin-Separation

Kursangebot | Investitionsrechnung | Modell der Kapitalmarktlinie - Beispiel zur Tobin-Separation

Investitionsrechnung

Modell der Kapitalmarktlinie - Beispiel zur Tobin-Separation

Durch dieses Beispiel soll das Schema der Tobin-Separation veranschaulicht werden.

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen

Beispiel 30:

Felix Fröhlich hat in der Lotterie gewonnen und möchte 25.000€ des Gewinns gewinnbringend anlegen. Während seines Studiums hat es das Capital Asset Pricing Model gelernt un denkt, dies wäre ein guter Augenblick sein Wissen anzuwenden. Dies sind die Informationen, die er zusammengetragen hat:

Zunächst einmal könnte er in eine festverzinsliche, risikolose Anlage zu 6% investieren. Ein Kollege legt ihm die Aktie der High-Invest AG an, die eine erwartete Rendite von 12 % bei einer Varianz von 25 besitzt.
Zusätzlich ließt er im Börsenteil der Zeitung von der Aktie der Frugal AG, bei der eine Rendite von 9% bei einer Varianz von 16 zu erwarten ist.
Die Renditen der High-Invest und der Frugal AG hängen allerdings zusammen, sodass der Korrelationskoeffizient zwischen den zwei Aktien 0,3 beträgt.

Wie muss Felix sein Geld auf die drei Anlagealternativen aufteilen, damit er bei möglichst geringem Risiko eine erwartete Rendite von 8 % erzielt?

Welches Risiko verbleibt ihm bei einem Erwartungswert der Rendite von 8 %?

Vorgehen bei der Tobin-Separation

A sein die Aktie der High-Invest AG, B die der Frugal AG. Es gilt dann:

$\mu_A = 12,\ \sigma_A= 5,\ \mu_B = 9,\ \sigma_B = 4,\ k_{A, B} = 0,3,\ r_f = 6 $.

Die Aufteilung nach dem CAPM nach den Annahmen der Tobin-Separation erfolgt in zwei Schritten:

1. Bestimmung des MarktPortefeuilles

 Schritt a-c: Bestimmung Marktportefeuille $\ P^* $ aus Aktien A und B

$\begin {align} & \mu_{PF} = 12x_A + 9x_B
\\ \Leftrightarrow \:& \mu_{PF} = 12x_A + 9(1 – x_A)
\\ \Leftrightarrow \:& \mu_{PF} = 3x_A + 9
\\ \Leftrightarrow \:& 3x_A = \mu_{PF} \: – 9
\\ \Leftrightarrow \:& x_A = \frac{1}{3} \mu_{PF} \: – 3 \end {align}$.

Der Erwartungswert des Portefeuilles $\mu_{PF}$  ist  dabei aus A und B, außerdem $\ x_A $ der Anteil der Aktie der High-Invest AG am Portefeuille. Daraus folgt selbstverständlich $x_B = 1 - x_A $ als Anteil der Aktie der Frugal AG am Portefeuille $\ PF^* $, das aus den Aktien A und B besteht.

Nun wird die Varianz des Aktienportefeuilles in Abhängigkeit des Anteils der Aktie der High-Invest AG berechnet:

$\begin {align} \sigma^2_{PF} & = x^2_A \sigma^2_A+x^2_B \sigma^2_B+2x_A x_B \sigma_A \sigma_B k_{A,B}
\\ \Leftrightarrow \: \sigma^2_{PF} & = 25x^2_A + 16 x^2_B + 2x_A x_B \cdot 5 \cdot 4 \cdot 0,3
\\ \Leftrightarrow \: \sigma^2_{PF} & =  25x^2_A + 16 \cdot (1-x_A)^2+2x_A(1-x_A) \cdot 5 \cdot 4 \cdot 0,3
\\ \Leftrightarrow \: \sigma^2_{PF} & =  25x^2_A + 16 - 32x_A + 16x^2_A + 12x_A - 12^2_A
\\ \Leftrightarrow \: \sigma^2_{PF} & =  29x^2_A - 20x_A + 16 \end {align}$

Schritt d - f: Varianz des Aktienportefeuilles 

Dann wird in die Formel für die Varianz des Aktienportefeuilles eingesetzt:

$\begin {align} \sigma^2_{PF} & = 29 \cdot ( \frac{1}{3} \cdot \mu_{PF} \: – 3 )^2 - 20 \cdot ({\frac{1}{3} \mu_{PF} \: – 3 })+16
\\ \Leftrightarrow \: \sigma^2_{PF} & = 29 \cdot ( \frac{1}{9} \mu^2_{PF} - 2 \mu +9 ) - \frac{20}{3} \mu_{PF} \: +60 +16
\\ \Leftrightarrow \: \sigma^2_{PF} & = {\frac{29}{9} \mu^2_{PF} - 64 \frac{2}{3} \mu_{PF} + 337}
\\ \Rightarrow \sigma_{PF} & = \sqrt{ \frac{29}{9} \mu^2_{PF} - 64 \frac{2}{3} \mu_{PF} + 337} \end {align}$

$\ P^* $ liegt auch auf der Kapitalmarktlinie, welche Tangente an der Effizienzlinie ist.

Daher muss man zunächst die Kapitalmarktlinie hinschreiben:

$\begin {align}\mu_{\overline {PF}} & = r+ {\mu_{PF}-r \over \sigma_{PF}} \cdot \sigma_{\overline {PF}}
\\ \Leftrightarrow \sigma_{\overline {PF}} & ={ \sigma_{PF} \over \mu_{PF}-r} \cdot \mu_{\overline {PF}}-{r \cdot \sigma_{PF} \over \mu_{PF}-r} \end {align}$

Hier ist das Portefeuille, welches aus dem Aktienportefeuille (A und B) und der risikolosen Anlage besteht.

Schritt g - m: Steigung der Kapitalmarktlinie

Die Steigung der Kapitalmarktlinie ist gleich der partiellen Ableitung der o.e. Streuung von P nach dem Erwartungswert, also:

$$\ {d \sigma_{PF} \over d \mu_{PF}}={\sigma_{PF} \over \mu_{PF}-r} $$

$\begin {align} {{\frac{58}{9} \mu_{PF} - 64 \frac{2}{3}}\over {2 \cdot \sqrt {\frac{29}{9} \mu^2_{PF} - 64 \frac{2}{3} \mu_{PF} + 337}}} & = {{\sqrt {\frac{29}{9} \mu^2_{PF} - 64 \frac{2}{3} \mu_{PF} + 337}} \over{\mu_{PF}-r}}
\\ \Leftrightarrow (\frac{58}{9} \mu_{PF} - 64 \frac{2}{3}) \cdot (\mu_{PF} – 6) & = 2 \cdot (\frac{29}{9} \mu^2_{PF} - 64 \frac{2}{3} \mu_{PF} + 337)\end {align}$

Durch Umstellen und Ausrechnen erhält Felix Fröhlich den Erwartungswert für die Rendite des Aktienportefeuilles als auch ihre Streuung:

$\begin {align} \mu_{PF} & = 11
\\ \Rightarrow \sigma_{PF} & = \sqrt{\frac{29}{9} \cdot 11^2 - 64 \frac{2}{3} \cdot 11 +337} = 3,9441 \end {align}$.

Somit können auch die Anteile der Aktien A und B berechnet werden:

$\begin {align} \ x_A & = (\frac{1}{3} \cdot 11) \: – 3 = 0,66667
\\ \Rightarrow x_B & = 1 – 0,66667 = 0,33333 \end {align}$

 

2. Mischung nach der Risikoneigung:

Felix Fröhlich hätte jetzt gerne 8% Rendite für sein Portefeuille, welches sowohl aus den Aktien A und B, als auch der risikofreien Anlage zu r=6% besteht. Somit ergibt sich:

$\begin {align} \mu_{\overline {PF}} & = r + {\mu_{PF} -r \over \sigma_{PF}} \cdot \sigma_{\overline {PF}}
\\ \Leftrightarrow 8 & = 6 + {11 - 6 \over 3,9441} \cdot \sigma_{\overline {PF}} = 6 + 1,2677 \cdot \sigma_{\overline {PF}}
\\ \Leftrightarrow \sigma_{\overline {PF}} & =1,1008 \end {align}$

Damit lässt sich nun endlich durchstoßen:

Aktienportefeuille und risikolose Anlage

Das Portefeuille besteht insgesamt aus dem Aktienportefeuille und der risikolosen Anlage:

$\begin {align} 8 & = 11 \cdot x_P + 6 \cdot (1 – x_P) = 5 \cdot x_P + 6
\\ \Leftrightarrow x_P & = 0,4 \end {align}$

40 % der $25.000$ € gehen somit ins Aktienportefeuille, der Rest in die risikolose Anlage, also $10.000 €$ ins Aktienportefeuille und $15.000 €$ in die risikolose Anlage gesteckt. Konkreter werden $6.666,67 €$ in A investiert, $3.333,33€$ in die Aktie B und $15.000€$ in das festverzinsliche Wertpapier.