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Investitionsrechnung

Capital Asset Pricing Modell: Die Wertpapierlinie

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Die Wertpapierlinie ist das Zentrum des Capital Asset Pricing Model. Intention des CAMP ist es, die Risikoprämien  schließlich den Preis der einzelnen Wertpapiere zu bestimmen, die in den Investmentfonds enthalten sind. Die einzelnen Wertpapiere werden als Teil des Marktportefeuilles gesehen.

Systematische und unsystematische Risiken

Es ist essenziell zwischen zwei unterschiedlichen Risiken zu unterscheiden:

  1. systematisches Risiko (= marktbestimmtes Risiko)
    dieses beinhaltet das allgemeine Marktrisiko

  2. unsystematisches Risiko (= spezifisches Risiko)
    damit sind bspw. Managementfehler usw. gemeint

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Man sollte sich zu den Risikoarten im CAPM dieses behalten:

  • im CAPM soll lediglich das systematische Risiko durch eine Risikoprämie vergütet werden

  • das unsystematische Risiko dagegen ist im Marktportefeuille wegdiversifiziert .

 

Gleichgewichtsrendite

Die Gleichgewichtsrendite einer Investition kann in Abhängigkeit von dem systematischen Risiko einer Investition  durch die Wertpapierlinie dargestellt werden.

Folgende Formel der Wertpapierlinie stellt diesen Zusammenhang dar:

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Wertpapierlinie:

$\mu_j = r_f + (r_M – r_f) \cdot \beta $

Bestimmung des Beta-Faktors der Investition

Dabei wird $\beta $ (Beta-Faktor der Investition) beschrieben durch das Verhältnis von Covarianz der Rendite des einzelnen Wertpapiers mit der Rendite des Marktportefeuilles und Varianz der Marktportefeuille-Rendite. Als Formel:

$$ \beta ={Cov(r_j, r_M) \over \sigma^2_M} $$

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Im Hinblick auf die Beta-Faktoren muss man sich das Folgende merken:

  1. das Beta des Marktportefeuilles ist $\beta_M = 1 $,
  2. das Beta der risikolosen Anlage hingegen $\beta_{RL} = 0 $.
  3. wenn $ \beta_j > 1 $, ist die Anlage risikoreicher als die des Marktportfeuilles.

Wertpapierlinie

Da die Covarianz wiederum das Produkt ist aus Korrelationskoeffizient $\ k_{jM} $ sowie den Einzelstreuungen $ \sigma_M $ und $\ \sigma_j $,

$\ Cov(r_j, r_M) = k_{jM} \cdot \sigma_j \cdot \sigma_M $

lässt sich die Wertpapierlinie auch schreiben als

$\mu_j = r_f + {r_M-r_f \over \sigma_M} \cdot k_{jM} \cdot \sigma_j $

 

Wertpapierlinie
Abb. 16: Wertpapierlinie

 

$\mu_j $ ist die Gleichgewichtsrendite des Wertpapiers j.

Hinweis

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Auch wenn die Wertpapierlinie der Kapitalmarktlinie gleich aussehen, dürfen diese nicht miteinander verwechselt werden!

Nicht nur die verwendeten Risikomaße auf der Abszisse (x-Achse) unterscheiden sich ($\sigma $ bei der Kapitalmarktlinie und $\beta $ bei der Wertpapierlinie), insbesondere zeigt die Wertpapierlinie die Kombinationen aus Rendite und Risiko einzelner Wertpapiere j des Marktportefeuilles an.
Im Gegensatz dazu stellt die Kapitalmarktlinie eine Kombinationen aus Rendite und Risiko einer Mischung von risikoloser Anlage und Marktportefeuille (ebenfalls eine Mischung der risikobehafteten Anlagen) dar.

Daher unterscheiden sich auch die Renditen auf der Ordinaten (y-Achse).

Beispiel

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Beispiel 31:

Kalle Investor möchte $2.500 €$ investieren. Sein Bankberater offeriert ihm folgende Möglichkeiten

 

Umwelt-zustandEintritts-wahrscheinlichkeitRückflüsse aus der InvestitionRückflüsse aus dem Marktportefeuille
10,453.0002.625
20,22.8753.125
30,152.0002.750
40,23.7502.875

 

Der risikolose Zinssatz liege bei 4 %. Berechne die Gleichung der Wertpapierlinie!

Berechnung der Renditen

Zunächst berechnet man die Renditen des Investitionsprojekts und des Marktportefeuilles:

Umwelt-zuständeEinsatz InvestitionRückfluss InvestitionRendite InvestitionRückfluss MarktportefeuilleRendite Marktportfefeuille
12.5003.0000,22.6250,05
22.5002.8750,153.1250,25
32.5002.000-0,22.7500,1
42.5003.7500,52.8750,15

 

Dann ermittelt man die erwarteten Renditen $\ E(R_j) $ 

$\begin{align} E(R_j)& = \sum_{i=1}^4 w_i · r_i
\\ & = 0,45 \cdot 0,2 + 0,2 \cdot 0,15 + 0,15 \cdot (-0,2) + 0,2 \cdot 0,5
\\ & = 0,19
\\ & = 19,0\ \% \end{align} $

und

$\begin{align} E(R_M)& = 0,45 \cdot 0,05 + 0,2 \cdot 0,25 + 0,15 \cdot 0,1 + 0,2 \cdot 0,15
\\ & = 0,115
\\ & = 11,75 \ \% \end{align} $

Somit kann die Standardabweichungen der Renditen berechnet werden:

$\begin{align} \sigma^2_j & = \sum_{i=1}^4 w_i \cdot r^2_i -E(r_j)^2
\\ & = 0,45 \cdot 0,2^2 + 0,2 \cdot 0,15^2 + 0,15 \cdot (-0,2)^2 + 0,2 \cdot 0,5^2 - 0,19 ^2
\\ & = 0,0424 \end{align} $

also

$\sigma_j = 0,2059 = 20,59\ \% $

ebenso

$\begin{align} \sigma^2_M & = 0,00582
\\  \sigma_M & = 0,07625 = 7,63\ \% \end{align} $.

 

Die Covarianz zwischen der Rendite der Investition und des Marktportefeuilles ist:

$\begin{align} Cov(r_j, r_M) & = \sum_{i=1}^4 (w_i \cdot r^j_i \cdot r^M_i) - E(r_j) \cdot E(r_M)
\\ & = 0,45 \cdot 0,2 \cdot 0,05 + \ldots + 0,2 \cdot 0,5 \cdot 0,15 \: – (0,19 \cdot 0,1175)
\\ & = 0,001675 \end{align} \\ $

Der Korrelationskoeffizient zwischen den beiden Renditen ist dann

$k_{jM}  = {Cov(r_j, r_M) \over \sigma_j \cdot \sigma_M} = {0,001675 \over 0,2059 \cdot 0,07625} = 0,10669 \\ $

 

Der β-Faktor ist

$ \beta = {Cov(r_j, r_M) \over \sigma_M^2}= {0,001675 \over 0,00582} = 0,2878 $

Die Wertpapierlinie lautet

$\begin{align} \ r_j & = r_f + (r_M – r_f) \cdot \beta
\\ r_j & = 0,04 + (0,1175 – 0,04) \cdot \beta
\\ r_j & = 0,04 + 0,0475 \cdot \beta \end{align} $.

 

Die Gleichgewichtsrendite ist also

$\begin{align} r_j  & = r_f + {r_M-r_f \over \sigma_M} \cdot k_{jM} \cdot \sigma_j
\\ & = 0,04 + {0,1175 - 0,04 \over 0,07628} \cdot 0,10669 \cdot 0,2059
\\ & = 0,04 + 1,016 \cdot 0,02197
\\ & = 0,06231
\\ & = 6,23 \ \% \end{align} $

oder

$\begin{align}r_j & = r_f + (r_M – r_f) \cdot \beta
\\ &= 0,04 + (0,1175 – 0,04) \cdot 0,2878
\\ &= 0,04 + 0,0775 \cdot 0,2878
\\ &=0,06231
\\ &= 6,23 \ \% \end{align} \\$

Merke

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Das Beta β gibt an, um wie viel das systematische Risiko der Investition j höher liegt als das Marktportefeuillerisiko. Mit $\ \beta = 0,2878 $ ist die Einzelinvestition sehr viel „konservativer“ als das Marktportefeuille (d.h. das Risiko ist geringer ).

Der risikoangepasste Kalkulationszins (= risikoangepasste Mindestrendite) von $\ r_j = 6,23\ \% $ ist das „Ergebnis“ des Modells der Wertpapierlinie insofern, als dass er verglichen wird mit der erwarteten Rendite der Investition j von $\ E(r_j) = 19,0\ \% $.

Die Investition j ist also insgesamt positiv.

Aufwendungen und Grundkosten
Abb.17: Wertpapierlinie

Zusammenfassung CAPM

Anmerkung zum Video:

In diesem Video wird von risikofreudig und risikoavers gesprochen. Mit den beiden "risikofreudigen" und "risikoscheuen" Akteuren ist gemeint, dass der eine risikofreudiger ist als der andere und der andere risikoscheuer ist als der eine.