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Investitionsrechnung

Capital Asset Pricing Modell: Die Wertpapierlinie

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Die Wertpapierlinie ist der eigentliche Kern des CAPM. Ziel ist, Risikoprämien und letztlich den Preis der einzelnen Wertpapiere zu bestimmen, die im gesamten Investmentfonds enthalten sind. Die einzelnen Wertpapiere werden als Teil des Marktportefeuilles gesehen.

Systematisches und unsystematisches Risiko

Wichtig ist die Unterscheidung zweier unterschiedlicher Risiken:

  1. systematisches Risiko (= marktbestimmtes Risiko)
    • umfasst das allgemeine Marktrisiko
  2. unsystematisches Risiko (= spezifisches Risiko)
    • umfasst Managementfehler etc.

Merke

Folgendes gilt es sich zu den Risikoarten für das CAPM zu merken
  • im CAPM soll nur das systematische Risiko mit einer Risikoprämie vergütet werden
  • das unsystematische Risiko hingegen ist im Marktportefeuille wegdiversifiziert .

Gleichgewichtsrendite

Die Gleichgewichtsrendite einer Investition lässt sich in Abhängigkeit vom systematischen Risiko dieser Investition ausdrücken durch die Wertpapierlinie.

Diese ist gegeben durch die Formel der Wertpapierlinie:

Merke

Wertpapierlinie: $\ \mu_j = r_f + (r_M – r_f) \cdot \beta $

Bestimmung des Beta-Faktors der Investition

Es ist $\ \beta $ der sogenannte Beta-Faktor der Investition, der bestimmt ist durch das Verhältnis
- aus Covarianz der Rendite des einzelnen Wertpapiers mit der Rendite des Marktportefeuilles,
- und Varianz der Marktportefeuille-Rendite,
also insgesamt durch $$\ ß={Cov(r_j, r_M) \over \sigma^2_M} $$

Merke

Im Hinblick auf die Beta-Faktoren muss man sich das Folgende merken:
  • Das Beta des Marktportefeuilles ist $\ \beta_M = 1 $,
  • das Beta der risikolosen Anlage hingegen $\ \beta_{RL} = 0 $.
  • Wenn $\ \beta_j < 1 $ risikoärmer als das Marktportefeuille, ansonsten (bei $\ \beta_j > 1 $ ) risikoreicher.

Wertpapierlinie

Da die Covarianz wiederum das Produkt ist aus Korrelationskoeffizient $\ k_{jM} $ sowie den Einzelstreuungen $\ \sigma_M $ und $\ \sigma_j $, d.h. $$\ Cov(r_j, r_M) = k_{jM} \cdot \sigma \cdot \sigma_M $$

lässt sich die Wertpapierlinie auch schreiben als

$$\ \mu_j = r_f + {r_M-r_f \over \sigma_M} \cdot k_{jM} \cdot \sigma_j $$ Wertpapierlinie
Abb. 16: Wertpapierlinie

Es ist $\ \mu_j $ die Gleichgewichtsrendite des Wertpapiers j.

ACHTUNG:
Die Wertpapierlinie sieht der Kapitalmarktlinie sehr ähnlich, darf aber nicht mit dieser verwechselt werden!

Nicht nur die verwendeten Risikomaße auf der Abszisse sind unterschiedlich, nämlich

  • $\ \sigma $ bei der Kapitalmarktlinie und
  • $\ \beta $ bei der Wertpapierlinie.

Vielmehr gibt die Wertpapierlinie die Kombinationen aus Rendite und Risiko einzelner Wertpapiere j des Marktportefeuilles an.

Die Kapitalmarktlinie hingegen beschreibt die Rendite/Risiko-Kombinationen, die man durch Mischung von risikoloser Anlage und Marktportefeuille (wiederum als Mischung aus risikobehafteten Anlagen) erhält.

Deswegen sind auch die Renditen auf der Ordinaten völlig unterschiedlich.

Beispiel zur Wertpapierlinie

Beispiel

Beispiel 31:
Kalle Investor möchte $1.000 €$ investieren. Sein Bankberater offeriert ihm folgende Möglichkeiten
Umweltzustand Eintrittswahrscheinlichkeit Rückflüsse aus der Investition Rückflüsse aus dem Marktportefeuille
1 0,4 1.300 1.100
2 0,3 1.200 1.300
3 0,15 1.400 1.050
4 0,15 800 1.000
Der risikolose Zinssatz liege bei $8 %$. Berechne die Gleichung der Wertpapierlinie!

Berechnung der Renditen

Zunächst berechnet man die Renditen des Investitionsprojekts und des Marktportefeuilles:

Umweltzustände Einsatz Investition Rückfluss Investition Rendite Investition Rückfluss Marltportefeuille Rendite Marktportefeuille
1 1.000 1.300 0,3 1.100 0,1
2 1.000 1.200 0,2 1.300 0,3
3 1.000 1.400 0,4 1.050 0,05
4 1.000 800 -0,2 1.000 0


Dann ermittelt man die erwarteten Renditen $\ E(R_j) $ 

$$\ \begin{align} E(R_j)& = \sum_{i=1}^4 w_i · r_i \\ & = 0,4 \cdot 0,3 + 0,3 \cdot 0,2 + 0,15 \cdot 0,4 + 0,15 \cdot (-2) \\ & = 0,21 \\ & = 21\ \% \end{align} $$ und
$$\ \begin{align} E(R_M)& = 0,4 \cdot 0,1 + 0,3 \cdot 0,3 + 0,15 \cdot 0,05 + 0,15 \cdot 0 \\ & = 0,1375 \\ & = 13,75\ \% \end{align} $$ Schließlich ermittelt man die Standardabweichungen der Renditen

$$\ \begin{align} \sigma^2_j & = \sum_{i=1}^4 w_i \cdot r^2_i -E(r_j)^2 \\ & = 0,4 \cdot 0,32 + 0,3 \cdot 0,22 + 0,15 \cdot 0,42 + 0,15 \cdot (-0,2)^2 - 0,212 \\ & = 0,0339 \end{align} $$ also $$\ \sigma_j = 0,1841 = 18,41\ \% $$ und genauso $\ \sigma^2_M = 0,01247 $, d.h. $\ \sigma_M = 0,1117 = 11,17\ \% $.

Die Covarianz zwischen der Rendite der Investition und des Marktportefeuilles ist

$\ \begin{align} Cov(r_j, r_M) & = \sum_{i=1}^4 w_i \cdot r^j_i \cdot r^M_i - E(r_j) \cdot E(r_M)\\ & = 0,4 \cdot 0,3 \cdot 0,1 + \ldots + 0,15 \cdot (-0,2) \cdot 0 – 0,29 \cdot 0,1375 \\ & = 0,004125 \end{align} $

Der Korrelationskoeffizient zwischen den beiden Renditen ist dann $$\ k_{jM} = {Cov(r_j, r_M) \over \sigma_j \cdot \sigma_M}= {0,004125 \over 0,1841 \cdot 0,1117} = 0,2006 $$

Der $\ \beta $-Faktor ist

$$\ \beta = {Cov(r_j, r_M) \over \sigma_M^2}={0,004125 \over 0,01247} = 0,3308 $$ Die Wertpapierlinie lautet $\ r_j = r_f + (r_M – r_f) \cdot \beta = 0,08 + (0,1375 – 0,06) \cdot \beta $,

also $\ r_j = 0,08 + 0,0575 \cdot \beta $.

Die Gleichgewichtsrendite ist also

$$\ \begin{align} r_j & = r_f + {r_M`-`r_f \over \sigma_M} \cdot k_{jM} \cdot \sigma_j \\ & = 0,08 + {0,1375-0,08 \over 0,1117} \cdot 0,2006 \cdot 0,1841 \\ & = 0,08 + 0,5148 \cdot 0,037 \\ & = 0,099 = 9,9\ \% \end{align} $$
oder
$$\ \begin{align}rj & = r_f + (r_M – r_f) \cdot \beta \\ &= 0,08 + (0,1375 – 0,08) \cdot 0,3308 \\ &= 0,08 + 0,0575 \cdot 0,3308 \\ &= 0,099 = 9,9 \% \end{align} $$

Merke

  • Das Beta gibt an, um wie viel das systematische Risiko der Investition j höher liegt als das Marktportefeuillerisiko. Mit $\ \beta = 0,3308 $ ist die Einzelinvestition sehr viel „konservativer“ als das Marktportefeuille (d.h. das Risiko ist geringer ).
  • Der risikoangepasste Kalkulationszins (= risikoangepasste Mindestrendite) von $\ r_j = 9,9\ \% $ ist das „Ergebnis“ des Modells der Wertpapierlinie insofern, als dass er verglichen wird mit der erwarteten Rendite der Investition j von $\ E(r_j) = 21\ \% $.

Die Investition j ist also insgesamt positiv.

Aufwendungen und Grundkosten
Abb. 17: Wertpapierlinie

Zusammenfassung CAPM

Video: Capital Asset Pricing Modell: Die Wertpapierlinie

Die Wertpapierlinie ist der eigentliche Kern des Capital Asset Pricing Modells (CAPM. Ziel ist, Risikoprämien und letztlich den Preis der einzelnen Wertpapiere zu bestimmen, die im gesamten Investmentfonds enthalten sind.