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Investitionsrechnung - Annahmen des Modells der Kapitalmarktlinie

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Investitionsrechnung

Annahmen des Modells der Kapitalmarktlinie

Inhaltsverzeichnis

Die Annahmen des Modells der Kapitalmarktlinie und ihre Konsequenzen seien an dieser Stelle erläutert:

  1. Die Investoren sind risikoscheu. Dies bedeutet, dass zusätzliches Risiko nur dann akzeptiert wird, wenn die erwartete Rendite steigt. Insbesondere wird eine Investition bevorzugt, die bei gleichem $\ \sigma $ ein höheres $\ \mu $ oder bei gleichem $\ \mu $ ein geringeres $\ \sigma $ aufweist.
  2. Die Investoren haben homogene Erwartungen bzgl. der Investitionsrenditen. Es existiert deswegen für alle Investoren ein- und dieselbe Effizienzlinie. Die Optimalität ist hierdurch aber noch nicht eindeutig, denn unterschiedliche Investoren haben unterschiedliche optimale Zusammensetzungen aus zwei Wertpapieren (in Abhängigkeit der Lage ihrer Indifferenzkurven).
  3. Es kann zu einem risikolosen Zinssatz $\ r_f $ beliebig viel Geld aufgenommen oder angelegt werden. Erst hierdurch existiert für alle Investoren ein- und dieselbe optimale Portefeuillemischung aus risikobehafteten Wertpapieren.
  4. Es existieren für die Investitions- und Finanzierungsprojekte keine Transaktionskosten, keine Steuern und keine Marktbeschränkungen.
  5. Es muss außerdem Informationseffizienz bestehen, d.h. die verfügbaren Informationen sind in den Marktpreisen berücksichtigt.

Tobin-Separationstheorem

Es gilt das sogenannte Tobin-Separationstheorem

Die Tobin-Separation ist nach dem US-amerikanischen Ökonom James Tobin benannt. Die Tobin-Separation bezeichnet eine Annahme des CAPM, in der unterstellt wird, dass im Kapitalmarktgleichgewicht der riskante Teil der Portfolios aller Investoren unabhängig von deren Risikopräferenz identisch strukturiert ist.

Merke

Tobin-Separationstheorem
  • Jeder Anleger mischt die risikobehafteten Wertpapiere so, dass sich das Marktportefeuille ergibt (Investition). 
  • Danach nimmt er zusätzlich Geld auf oder legt Geld an – zum risikolosen Zins (Finanzierung).

Merke

Investition und Finanzierung sind also separierbar (= trennbar) voneinander.

Optimale Aufteilung auf Marktportefeuille und Risikofreie Anlage im CAPM

Diese Annahmen werden durch das folgende Schema zusammengefasst:

1. Vorarbeit 

Bestimme die Erwartungswerte, die Standardabweichungen der beiden Wertpapiere und den Korrelationskoeffizienten der Renditen.

2. Bestimmung Marktportefeuille M aus Wertpapieren A und B

a) setze die beiden Renditen in die Bestimmungsgleichung der Rendite des Portefeuilles ein: $\ \mu_{PF} = x_A \cdot \mu_A + x_B \cdot \mu_B $

b) schreibe statt $\ x_B $ vielmehr $\ 1-x_A: \mu_{PF} = x_A \cdot \mu_A + (1 - x_A) \cdot \mu_B $

c) löse diese Gleichung auf nach dem Anteil $\ x_A $ der Aktie A

d) stelle die Formel auf für die Varianz des Portefeuilles $\ \sigma^2_{PF}=x^2_A \cdot \sigma^2_A + (1 - x_A)^2 \cdot \sigma^2_B + 2 \cdot x_A \cdot (1 - x_A) \cdot \sigma_A \cdot \sigma_B \cdot k_{A, B} $

e) setze hier für $\ x_A $ die Bestimmungsgleichung von oben ein, so dass der Erwartungswert des Portefeuilles als abhängige Größe erscheint

f) ziehe die Wurzel.
Man erhält die Gleichung der Effizienzlinie

g) Bilde die Ableitung der Effizienzlinie nach dem Erwartungswert

h) Schreibe die Gleichung der Kapitalmarktlinie hin und löse diese nach dem Risiko auf $\ \sigma={\sigma_{PF} \over r_{PF}-r_f} \cdot \mu-r_f \cdot {\sigma_{PF} \over r_{PF}-r_f} $

i) Bilde die Ableitung nach dem Erwartungswert, d.h. bilde $\ {d \sigma \over d \mu} $. Die Ableitung nach dem Risiko gibt die Steigung der Kapitalmarktlinie an – allerdings nicht im ($\ \mu,\ \sigma $)-Diagramm, sondern im-Diagramm.

j) Setze die beiden Steigungen gleich, die einzige verbliebene Variable ist der Erwartungswert des Portefeuilles

k) löse dies nach diesem Portefeuille-Erwartungswert auf

l) setze diesen in die Effizienzlinie ein, man erhält also Erwartungswert und Risiko des Marktportefeuilles

m) setze den Erwartungswert des Marktportefeuilles ein, um $\ x_A $ und $\ x_B $ auszurechnen und damit die Zusammensetzung der beiden Wertpapiere A und B in das Marktportefeuille.


3. Mischung nach der Risikoneigung
Der Investor bewegt sich nun auf der Kapitalmarktlinie und nimmt Geld auf oder legt Geld an.

a) Man setzt in die Bestimmungsgleichung der Kapitalmarktlinie die geforderte Verzinsung sowie den Erwartungswert des Marktportefeuilles ein und löst nach dem Risiko auf.

b) schließlich setzt man ein:

geforderte Verzinsung = $\ E(MP) \cdot x_P + r_f \cdot (1 - x_P) $

c) und löst nach $\ x_P $ auf. Man erhält den Anteil des Marktportefeuilles am Gesamtportefeuille.

d) Der Rest geht in die risikolosen Anlage.