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Investitionsrechnung - Annahmen des Modells der Kapitalmarktlinie

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Investitionsrechnung

Annahmen des Modells der Kapitalmarktlinie

Inhaltsverzeichnis

Nun sollten die Konsequenzen der Annahmen des Modells der Kapitalmarktlinie ausgeführt werden:

  1. Investoren sind risikoscheu. Daraus resultiert, dass das erhöhte Risiko nur dann akzeptiert wird, wenn die zu erwartende Rendite ebenfalls steigt. Vor allem werden Investitionen präferiert, deren Ertrag μ bei selben σ größer ist, oder umgekehrt, deren Risiko σ kleiner ist bei gleichem μ 

  2. Investoren haben alle die gleichen Erwartungen  im Hinblick auf die Investitionsrendite. Deshalb ist die Effizienzlinie für alle Investoren dieselbe. Darauf folgt allerdings nicht die Eindeutigkeit der Optimalität, weil verschiedene Investoren verschiedene optimale Mischungen der Wertpapiere A und B haben (abhängig von deren Indifferenzkurven).

  3. Es kann zu einem risikolosen Zinssatz rf beliebig viel Geld aufgenommen oder angelegt werden. Erst hierdurch existiert für alle Investoren ein- und dieselbe optimale Portefeuillemischung aus risikobehafteten Wertpapieren.

  4. Für Investitions- und Finanzierungsprojekte gibt es keine Transaktionskosten, keine Steuern und keine Marktbeschränkungen.

  5. Zudem herrscht Informationseffizienz, das heißt, dass die verfügbaren Informationen in den Marktpreisen berücksichtigt sind.

Tobin-Separationstheorem

Es gilt das sogenannte Tobin-Separationstheorem

Benannt nach dem Ökonom James Tobin, bezeichnet die Tobin-Separation eine Annahme des CAPM, dass im Kapitalmarktgleichgewicht der risikobehaftete Teil der Portfolios aller Investoren unabhängig von deren Risikopräferenz gleich strukturiert ist.

Merke

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Tobin-Separationstheorem:

  • Jeder Anleger teilt die risikobehafteten Wertpapiere so auf, dass sich das Marktportefeuille ergibt (Investition).
  • Anschließend nimmt er extra Geld auf oder legt Geld  zum risikolosen Zins (Finanzierung) an.

Investition und Finanzierung können also voneinander separiert (= getrennt) werden.

Optimale Aufteilung auf Marktportefeuille und Risikofreie Anlage im CAPM

Diese Annahmen werden durch das folgende Schema zusammengefasst:

Methode

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  1. Vorarbeit

     Bestimme Erwartungswerte, Standardabweichungen der Wertpapiere und den Korrelationskoeffizienten der Renditen.

  2. Bestimmung Marktportefeuille M aus Wertpapieren A und B

    1. Setze die beiden Renditen in die Bestimmungsgleichung der Rendite des Portefeuilles ein: 
      $\mu_{PF} = x_A \cdot \mu_A + x_B \cdot \mu_B $

    2. An Stelle von $\ x_B $ formuliere:
      $\ 1-x_A: \mu_{PF} = x_A \cdot \mu_A + (1 - x_A) \cdot \mu_B $

    3. löse die Gleichung nach dem Anteil $\ x_A $ der Aktie A auf

    4. Formuliere für die Varianz des Portefeuilles folgende Gleichung:
      $\sigma^2_{PF}=x^2_A \cdot \sigma^2_A + (1 - x_A)^2 \cdot \sigma^2_B + 2 \cdot x_A \cdot
      (1 - x_A) \cdot \sigma_A \cdot \sigma_B \cdot k_{A, B} $

    5. Setze hier für $\ x_A $ die Bestimmungsgleichung von oben so ein, dass der Erwartungswert des Portefeuilles als abhängige Größe erscheint

    6. Radiziere, so erhält man die Gleichung der Effizienzlinie

    7. Leite die Effizienzlinie nach dem Erwartungswert ab.

    8. Löse die Gleichung der Kapitalmarktlinie nach dem Risiko auf:
      $\sigma={\sigma_{PF} \over r_{PF}-r_f} \cdot \mu-r_f \cdot {\sigma_{PF} \over r_{PF}-r_f} $

    9. Bilde die Ableitung nach dem Erwartungswert, d.h. bilde $\ {d \sigma \over d \mu} $. Die Ableitung nach dem Risiko ergibt die Steigung der Kapitalmarktlinie.
      ACHTUNG: Im ($\ \sigma ,\ \mu $)-Diagramm, nicht im ($\ \mu,\ \sigma $)-Diagramm .

    10. Setze die zwei Steigungen gleich, die verbliebene Variable ist der Erwartungswert des Portefeuilles.

    11. Löse dies nach dem Erwartungswert des Portefeuilles auf.

    12. Setze diesen in die Effizienzlinie ein, man bekommt so den Erwartungswert und das Risiko des Marktportefeuilles.

    13. Setze den Erwartungswert des Marktportefeuilles ein, damit $\ x_A $ und $\ x_B $ berechnet und so die Zusammensetzung der beiden Wertpapiere A und B im Marktportefeuille bestimmt werden kann.

  3. Mischung nach der Risikoneigung

    Der Investor bewegt sich nun auf der Kapitalmarktlinie und nimmt Geld auf oder legt Geld an.

    1. Man setzt in die Bestimmungsgleichung der Kapitalmarktlinie die geforderte Verzinsung sowie den Erwartungswert des Marktportefeuilles ein und löst nach dem Risiko auf.

    2. Man setzt abschließend ein:
      geforderte Verzinsung = $\ E(MP) \cdot x_P + r_f \cdot (1 - x_P) $

    3. Löst nach $\ x_P $ auf, um den Anteil des Marktportefeuilles am Gesamtportefeuille zu bestimmen.

    4. Der Rest wird in die risikolosen Anlagen investiert.