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Modell der Kapitalmarktlinie - Beispiel zur Tobin-Separation

WebinarTerminankündigung:
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Folgende Aufgabe möge das Vorgehen der Tobin-Separation ein wenig erhellen.

Beispiel

Beispiel 30:
Rudi Ratlos, seinerzeit BWL-Student und gerade im Examensstress, hat $100.000 €$ geerbt, die er nun anlegen möchte. Da er sich sowieso gerade mit dem Capital Asset Pricing Model befaßt, möchte er die frisch gelernte Theorie nun anwenden. Er trägt folgende Informationen zusammen:

Zum einen könnte er in eine festverzinsliche, risikolose Anlage zu $5 %$ investieren. Darüber hinaus bietet sein Anlageberater („ein ganz gerissener Fuchs“, so Rudi Ratlos) ihm die Aktie der Profit AG an, die eine erwartete Rendite von $10 %$ bei einer Varianz von 9 besitzt. Seine Freundin hatte beim intensiven Zeitungsstudium von der Bescheiden AG gelesen, deren Aktie eine erwartete Rendite von $8 %$ bei einer Varianz von 4 besitzt.

Die Renditen der Profit und der Bescheiden AG hängen nun aber zusammen: der Korrelationskoeffizient zwischen den beiden beträgt $0,4$.

Rudi möchte nun bei möglichst geringem Risiko eine erwartete Rendite von $7 %$ erzielen. Wie teilt er nach dem CAPM sein Geld auf die drei Anlagealternativen auf? Welches Risiko verbleibt ihm bei einem Erwartungswert der Rendite von $7 %$?

Vorgehen bei der Tobin-Separation

Wir bezeichnen mit A die Aktie der Profit AG und mit B jene der Bescheiden AG. Es gilt dann: $\ \mu_A = 10,\ \mu_B = 8,\ \sigma_A= 3,\ \sigma_B = 2,\ k_{A, B} = 0,4,\ r_f = 5 $.

Die Aufteilung nach dem CAPM nach dem Annahmen der Tobin-Separation erfolgt in zwei Schritten:

Bestimmung des Marktportefeuilles

1. Schritt: Bestimmung Marktportefeuill $\ P^* $ aus Aktien A und B

$\ \mu_P = 10x_A + 8x_B = 10x_A + 8(1 – x_A) = 2x_A + 8 \Leftrightarrow 2x_A = \mu_P – 8 \Leftrightarrow x_A = \mu_P – 4 $.

Hierbei ist $\ \mu_P $ der Erwartungswert des Portefeuilles aus A und B sowie $\ x_A $ der Anteil der Aktie der Profit AG am Portefeuille. Dann gilt natürlich $\ x_B = 1 - x_A $ als Anteil der Aktie der Bescheiden AG am Portefeuille $\ P^* $, das aus den Aktien A und B besteht.

Nun wird die Varianz des Aktienportefeuilles in Abhängigkeit vom Anteil des Anteils der Aktie der Profit AG berechnet:

$\ \sigma^2_P=x^2_A \sigma^2_A+x^2_B \sigma^2_B+2x_A x_B \sigma_A \sigma_B k_{A,B} $
$\ 9x^2_A+4x^2_B+2x_A x_B \cdot 3 \cdot 2 \cdot 0,4 $ $\ 9x^2_A+4(1-x_A)^2+2x_A(1-x_A) \cdot 3 \cdot 2 \cdot 0,4 $
$\ 9x^2_A+4-8x_A+4x^2_A+4,8x_A-4,8^2_A $
$\ 8,2x^2_A-3,2x_A+4 $

Varianz des Aktienportefeuilles 

Dann wird in die Formel für die Varianz des Aktienportefeuilles eingesetzt:

$$\ \sigma^2_A=8,2 \cdot ({1 \over 2} \cdot \mu_P-4)^2 - 3,2 \cdot ({1 \over 2} \cdot \mu_P-4)+4=2,05 \cdot \mu^2_P-34,4 \cdot \mu_P+148 $$ $$\ \Rightarrow \sigma_P= \sqrt{2,05 \mu^2_P- 34,4 \mu_P+148} $$ Nun: $\ P^* $ liegt auch auf der Kapitalmarktlinie, die Tangente an die Effizienzlinie ist.

Deshalb muß man zunächst die Kapitalmarktlinie hinschreiben: Es gilt daher

$$\ \mu_{\overline P}= r+ {\mu_P-r \over \sigma_P} \cdot \sigma_{\overline P} \Leftrightarrow \sigma_{\overline P}={ \sigma_P \over \mu_P-r} \cdot \mu_{\overline P}-{r \cdot \sigma_P \over \mu_P-r} $$ Hier bezeichnet das Portefeuille, das zum einen aus dem Aktienportefeuille (also aus A und B) und zum anderen aus der risikolosen Anlage besteht.

Steigung der Kapitalmarktlinie

Alsdann ist die Steigung der Kapitalmarktlinie gleich der partiellen Ableitung der o.e. Streuung von P nach dem Erwartungswert, d.h.: $$\ {d \sigma_P \over d \mu_P}={\sigma_P \over \mu_P-r} $$

Also: $$\ {4,1 \mu_P-34,4 \over 2 \cdot \sqrt{2,05 \mu^2_P-34,4 \mu_P+148}}={\sqrt{2,05 \mu^2_P-34,4 \mu_P +148} \over \mu_P-r} $$ $$\ \Leftrightarrow (4,1 \mu_P – 34,4)( \mu_P – 5) = (2,05 \mu^2_P-34,4 \mu_P+148)\cdot 2 $$

Nach langer Rechnerei erhält Rudi Ratlos schließlich

$\ \mu_P = 8,92086 \Rightarrow \sigma_P = \sqrt{2,05 \cdot 8,92086^2 - 34,4 \cdot 8,92086+148}=2,065 $. Dies sind der Erwartungswert für die Rendite des Aktienportefeuilles sowie ihre Streuung.

$\ x_A ={1 \over 2} \cdot 8,92086 – 4 = 0,46043 \Rightarrow x_B = 1 – 0,46043 = 0,53957 $.

Dadurch erhält man aber auch die Anteile der Aktien A und B:

2. Schritt: Mischung nach der Risikoneigung:

Rudi Ratlos möchte nun genau $7 %$ als Rendite für sein Portefeuille haben, das nicht nur aus den Aktien A und B, sondern auch aus der risikolosen Anlage zu $r = 5 %$ besteht. Also:

$$\ \mu_{\overline P}=r+{\mu_P-r \over \sigma_P} \cdot \sigma_{\overline P} \Leftrightarrow 7=5+{8,92086-5 \over 2,065} \cdot \sigma_{\overline P}=5+1,8987 \cdot \sigma_{\overline P} \Leftrightarrow \sigma_{\overline P} =1,0534 $$.

Damit läßt sich nun endlich durchstoßen:

Aktienportefeuille und risikolose Anlage

Das Portefeuille besteht insgesamt aus dem Aktienportefeuille und der risikolosen Anlage:

$$\ 7 = 8,92086x_P + 5(1 – x_P) = 3,92086x_P + 5 \Leftrightarrow x_P = 0,510092 $$

Also gehen $51,0092 %$ der $100.000$ € ins Aktienportefeuille, der Rest dann entsprechend in die risikolose Anlage. Mithin werden $51.009,20 €$ ins Aktienportefeuille und 48.990,80 € in die risikolose Anlage gesteckt.

Genauer:
$23.486,17€$ werden in A investiert, $27.523,03€$ in die Aktie B und $48.990,8€$ in das festverzinsliche Wertpapier.

Lückentext
Bitte die Lücken im Text sinnvoll ausfüllen.
Im ersten Schritt der Tobin- bildet man zunächst das Marktportefeuille. Hiernach schaut man auf die individuellen Präferenzen.
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Hinweis:

Bitte füllen Sie alle Lücken im Text aus. Möglicherweise sind mehrere Lösungen für eine Lücke möglich. In diesem Fall tragen Sie bitte nur eine Lösung ein.

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Autor: Daniel Lambert

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Dipl.-Math. Dipl.-Kfm. Daniel Lambert gibt seit vielen Jahren Kurse zur Prüfungsvorbereitung. Er unterrichtet stets orientiert an alten Prüfungen und weiß aus langjähriger Erfahrung, wie sich komplexe Sachverhalte am besten aufbereiten und vermitteln lassen. Daniel Lambert ist Repetitor aus Leidenschaft seit nunmehr 20 Jahren.
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