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Investitionsrechnung

Investitionsprogramme bei unterschiedlichen Konsumpräferenzen

In diesem Kapitel wollen wir uns mit der Realinvestitionskurve befassen, deren Verständnis wichtig ist für die Analyse der Aufteilung eines Anfangsvermögens in Investition und Konsum und darüber hinaus die Finanzierung dieser Wünsche durch den Kapitalmarkt.

Herleitung der Realinvestitionskurve

 

Beispiel

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Beispiel 32:

Das Anfangsvermögen eines Investors beträgt $\ W_0 = 100\ € $. Ein Investor hat einen Rückfluss aus Investitionsbeträgen über $\ R(I)= 4 \cdot \sqrt{10 \cdot I} $ . Stelle die Realinvestitionskurve graphisch dar. Wie viel mehr Rückfluss bringt eine zusätzlich investierte – marginal kleine - Investitionseinheit?

 

Ein investierter Betrag von z.B. I = 10 € liefert einen Rückfluss eine Periode später von
$\ R(10)= 4 \cdot \sqrt{10 \cdot 10}= 4 \cdot 10 = 40\ € $.

Ein Betrag von I = 40 € hingegen bedeutet eine Periode später
$\ R(40)= 4 \cdot \sqrt{10 \cdot 40} = 4 · \sqrt{400} = 4 \cdot 20 = 80\ € $

Bruttorendite der Investition

Ihre Steigung lässt sich berechnen nach dem Investitionsvolumen, d.h. $\ {d R(I) \over d I} $.

Im vorliegenden Falle ist $\ {d R(I) \over d I} = {20 \over \sqrt{10 \cdot I}} $.

Im Folgenden etwas ausführlicher:

$\begin {align} R(I) & =4 \cdot \sqrt{10 \cdot I}
\\ R'(I) & = {d \over dx} \cdot 4 \cdot \sqrt{10 \cdot I}
\\& =4 \cdot \sqrt{10} \cdot {d \over dx}(\sqrt{I})
\\& =4 \cdot \sqrt{10} \cdot {1 \over 2 \cdot \sqrt{I}}
\\& ={2 \cdot \sqrt{10} \over \sqrt{I}} & | \cdot \sqrt{10}
\\& ={2 \cdot 10 \over \sqrt{10 \cdot I}}
\\& ={20 \over \sqrt{10 \cdot I}} \end {align}$

Merke

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Diesen Ausdruck $\ {d R(I) \over d I} $ bezeichnet man als Bruttorendite der Investition. Er gibt an, wie viel mehr Rückfluss in der späteren Periode zurückfließt, wenn 1 € zusätzlich (genauer: ein infinitesimal kleiner zusätzlich) investiert wird.

Nehmen wir mal an  I = 10 €, so ist der Rückfluss R (10) = 40 €. Investiert man nun 1 € mehr, also insgesamt 11€, so beläuft sich der Rückfluss auf:

$\ R(11)= 4 \cdot \sqrt{10 \cdot 11} = 4 \cdot \sqrt{110} =4 \cdot 10,49 = 41,95\ € $

Die Vermehrung beträgt also 1,95 €. Dies gibt auch die Bruttorendite für I = 10 an:

$\ {d R(I) \over d I}= {20 \over \sqrt{10 \cdot 10}}=2 $.

Der Umstand, dass 2 € nicht genau mit den 1,95€ übereinstimmt liegt daran, dass wir einen ganzen Euro mehr investiert haben, anstelle eines infinitesimal kleinen Geldbetrags.

Bei einer theoretischen Investition von bspw. I= 40 € liegt der Rückfluss R(40)= 80 €, bei I = 41€ liegt R(41)= 80,99 €

Die Bruttorendite ist $\ {d R(I) \over d I} = {20 \over \sqrt{10 \cdot 41}}=0,9877\ € $.

Auch hier ist, wie oben erwähnt, die Veränderung des Betrags nicht exakt, aber ungefähr richtig.

Merke

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Es ist zu erkennen, dass die Bruttorendite mit wachsendem Investitionsvolumen abnimmt. Ökonomisch hat dies den Hintergrund, dass erst die Investitionen mit großem internen Zinsfuß durchgeführt werden, anschließend die mit kleinem internen Zinsfuß. Der Graph der Rückzahlung in Abhängigkeit vom Investitionsvolumen steigt also lediglich degressiv an.

Spiegelt man die Kurve der Rückzahlung an der Ordinate, erhält man daraus die Realinvestitionskurve, lediglich in einer anderen Darstellung. Diese unterscheiden sich nur durch die Auftragung auf x-Achse. Links sind die Investitionsbeträge I aufgetragen gegen R(I), in der Grafik rechts sind die Konsumbeträge C gegen R(I) aufgetragen.

Herleitung der Realinvestitionskurve
Abb18.

Wird ein konkreter Betrag I0 investiert, hier bspw. 10€, so liest man dies in der linken Grafik von links nach rechts. In der rechten Grafik verhält es sich genau umgekehrt, dort wird ausgehend vom Vermögen W0 von rechts nach links abgelesen. Der Rückfluss in t = 1 ist in beiden Fällen R(I0). Die Grafik rechts hat hingegen den Vorteil, dass es außerdem auch noch die Konsumwünsche für t = 0 und t = 1 darstellt, auf der x-Achse mit C0 und auf der y-Achse mit C1. Darum werden wir fortan nur noch diese Darstellungsform nutzen.

Kehren wir zu unserem Beispiel zurück, so sei W0= 100€. Investieren wir davon I0= 10€, dann erhalten wir in der Folgeperiode 40€ zurück, in t = 0 bleiben somit 100€ - 10€ = 90€ für den Konsum über.

Investieren wir jedoch I = 40€ fließen sogar 80€ zurück, somit verbleiben damit in t = 0 lediglich 100€ - 40€ = 60 € für den Konsum.

Am Punkt W0 ist der maximal mögliche Rückfluss in der Gegenwart. Hier wurde der gesamte Etat aus t=0 investiert wurde, also W0 = I0. Dies bedeutet umgekehrt, dass nichts mehr konsumiert weden kann C0 = 0. Stellt sich also die Frage nach dem optimalen Konsumplan für heute und morgen. Dieser ist abhängig von den persönlichen Vorlieben, wobei zwei Optionen unterschieden werden:

Bestimmung des optimalen Konsumplans

  1. Person A ist heute (t=0) nicht sehr konsumfreudig und investiert dafür sehr viel. Somit hat sie morgen in t=1 viel Budget für möglichen zukünftigen Konsum.

  2. Im Gegensatz steht dazu Person B, die viel im Heute (t=0) konsumiert, aber deshalb auch deutlich weniger investiert und ergo weniger Budget für möglichen zukünftigen Konsum in t=1 hat.

Person G besitzt eine hohe Zukunftspräferenz. Bedeutet, dass die Nutzenindifferenzkurve von A (zeigt die Konsumentscheidung von C0 und C1 an), eine sehr geringe Steigung hat, also relativ flach verläuft. Für einen Euro weniger Gegenwartskonsum ist die Person bereit, entsprechend der im Bild gezeigten Strecke, mehr an Zukunftskonsum zu akzeptieren, um das weniger an Gegenwartskonsum auszugleichen.
Weil für die Person G Konsum heute nicht so wichtig ist, verzichtet diese gern. Das Austauschverhältnis $\ {d C_1 \over d C_0} $, das Auskunft darüber gibt, wie viel mehr an C1 notwendig ist, um 1€ weniger Gegenwartskonsum zu akzeptieren nennt sich marginale Zeitpräferenzrate, bei Person G ist diese betragsmäßig relativ klein.

Bei Person S verhält es logischerweise andersherum: Die Nutzenindifferenzkurve steigt hier sehr stark. Da sich S sehr stark auf den Konsum heute fixiert, ist sie in der Gegenwart nur bereit auf 1 € zu verzichten, wenn sie dafür in der Zukunft sehr viel mehr konsumieren kann, der Pfeil auf der Ordinate ist sehr viel länger als bei G. Die Zeitpräferenzrate ist höher, die Kurve daher steigt sie mehr.

Realinvestitionskurve und Nutzenindifferenzkurven

Wie ist jetzt das optimale Realinvestitionsvolumen für einen Investor? Dazu bildet man die Realinvestitionskurve zusammen mit einigen Nutzenindifferenzkurven des jeweiligen Investors ab. Der Nutzen der Realinvestitionskurve ist im Punkt T maximal, darum liegt das optimale Investitionsvolumen I* und folglich der optimale Konsum in C0.

In der folgenden Grafik sind jedoch zwei unterschiedliche Personen an der Investitionsentscheidung beteiligt. Wie soll dann hier eine Entscheidung getroffen werden?

Unterschiedliche Personen an Investitionsentscheidung beteiligt
Abb.19: Unterschiedliche Personen an Investitionsentscheidung beteiligt
Unterschiedliche Konsumwünschen wg. unterschiedl. Präferenzen
Abb. 20: Unterschiedliche Konsumwünschen wg. unterschiedl. Präferenzen

Person G würde sich für den Punkt G* entscheiden und somit I*(G) investieren und C0(G) konsumieren, wohingegen Person S sich für den Tangentialpunkt S* entscheiden würde. Er investiert deutlich weniger nämlich I*(S) und konsumiert mehr C0(S).