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Investitionsprogramme bei unterschiedlichen Konsumpräferenzen

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Im Rahmen der nun folgenden Analyse wird die Aufteilung eines Anfangsvermögens in Investition und Konsum betrachtet und zusätzlich die Finanzierung dieser Wünsche durch den Kapitalmarkt. Für das Verständnis ist die Herleitung der sog. Realinvestitionskurve maßgeblich.

Herleitung der Realinvestitionskurve

Herleitung der Realinvestitionskurve
Abb. 18: Realinvestitionskurve

Beispiel

Beispiel 32:
Das Anfangsvermögen eines Investors beträgt $\ W_0 = 50\ € $. Ein Investor hat einen Rückfluss aus Investitionsbeträgen über $\ R(I)=6 \cdot \sqrt{5 \cdot I} $ . Stelle die Realinvestitionskurve graphisch dar. Wie viel mehr Rückfluss bringt eine zusätzlich investierte – marginal kleine - Investitionseinheit?

Ein investierter Betrag von z.B. I = 5 € liefert einen Rückfluss eine Periode später von $\ R(5)= 6 \cdot \sqrt{5 \cdot 5}= 6 \cdot 5 = 30\ € $. Ein Betrag von I = 20 € hingegen bedeutet $\ R(20)= 6 \cdot \sqrt{5 \cdot 20} = 6 · \sqrt{100} = 6 \cdot 10 = 60\ € $ in der späteren Periode.

Bruttorendite der Investition

Ihre Steigung lässt sich berechnen nach dem Investitionsvolumen, d.h. $\ {d R(I) \over d I} $.

Im vorliegenden Falle ist $\ {d R(I) \over d I} = {15 \over \sqrt{5 \cdot I}} $.

Im folgenden etwas ausführlicher:
$ R(I)=6 \cdot \sqrt{5 \cdot I} $

$R´(I)= {d \over dx} \cdot 6 \cdot \sqrt{5 \cdot I}$

$=6 \cdot \sqrt{5} \cdot {d \over dx}(\sqrt{I})$

$=6 \cdot \sqrt{5} \cdot {1 \over 2 \cdot \sqrt{I}}$

$={3 \cdot \sqrt{5} \over \sqrt{I}}$

$={3 \cdot 5 \over \sqrt{5 \cdot I}}$

$={15 \over \sqrt{5 \cdot I}}$

Merke

Diesen Ausdruck $\ {d R(I) \over d I} $ bezeichnet man als Bruttorendite der Investition. Er gibt an, wie viel mehr Rückfluss in der späteren Periode zurück fließt, wenn 1 € zusätzlich (genauer: ein infinitesimal kleiner zusätzlich) investiert wird.

Angenommen es ist I = 5 €, dann beträgt der Rückfluss, wie oben ausgerechnet R (5) = 30 €. Wenn nun 1 € mehr eingesetzt wird, investiert man 6 €, der Rückfluss beträgt folglich $\ R(6)= 6 \cdot \sqrt{5 \cdot 6} = 6 \cdot \sqrt{30}=6 \cdot 5,48 = 32,86\ € $, die Vermehrung beträgt also 2,86 €. Dies gibt auch die Bruttorendite an der Stelle

I = 5 an: $\ {d R(I) \over d I}= {15 \over \sqrt{5 \cdot 5}}=3 $.

Die Tatsache, dass 3 € und 2,86 € nicht exakt übereinstimmen liegt darin begründet, dass wir nicht einen infinitesimal kleinen Geldbetrag investiert haben, sondern direkt 1 ganzen € zusätzlich. Angenommen, es ist I = 20. Dann ist der Rückfluss R (20) = 60 € bei I = 21 € ist R (21) = 61,48 €. Die Bruttorendite ist $\ {d R(I) \over d I} = {15 \over \sqrt{5 \cdot 21}}=1,46\ € $. Auch hier ist, wie oben erwähnt, die Veränderung des Betrags nicht exakt, aber ungefähr richtig.

Merke

Man sieht also, dass die Bruttorendite mit steigender Investition erst abnimmt. Dies liegt ökonomisch daran, dass zuerst jene Investitionen mit hohem internem Zinsfuß durchgeführt werden, danach jene mit geringem internem Zinsfuß usw. Die Kurve der Rückzahlungen in Abhängigkeit vom Investitionsvolumen steigt demnach nur degressiv an.

Wenn man die Kurve der Rückzahlung an der Ordinate spiegelt, so erhält man hieraus die Realinvestitionskurve, nur in anderer Darstellung.

Der Unterschied ist, dass auf der Abszisse der rechten Abbildung Konsumbeträge, also C, statt Investitionsbeträge stehen.

Wenn ein bestimmter Betrag I0 investiert wird, so wird dies in der linken Abbildung von links nach rechts gelesen - in der rechten hingegen von rechts nach links, nämlich ausgehend vom Vermögen $\ W_0 $. Der erzielbare Rückfluss in t = 1 ist beide Male derselbe, nämlich $\ R (I_0) $. Die rechte Darstellung hat allerdings einen entscheidenden Vorteil – sie stellt zusätzlich noch Konsumwünsche in t = 0 und t = 1 dar, abgebildet durch $\ C_0 $ auf der Abszisse und $\ C_1 $ auf der Ordinate. Wir wählen deshalb im Folgenden nur noch jene Darstellung.

Es sei $\ W_0 = 50\ € $ wie im Beispiel gewählt. Wenn $\ I_0 = 5\ € $ investiert werden, dann fließen in der Periode später 30 € zurück, Es verbleiben also heute (in t = 0) dann 50 – 5 = 45 € zum Konsum.

Bei I = 20 € Investitionen sind es hingegen immerhin 60 € Rückfluss eine Periode später. Es verbleiben heute, d.h. in t = 0, nur noch 50 – 20 = 30 € zum Konsum.

Der Punkt $\ W_0 $ ist der maximale verfügbare Rückfluss in der Gegenwart. Dieser kommt dadurch zustande, dass heute, genauer in t = 0, dass investiert wird und nichts konsumiert wird: $\ C_0 = 0 $ und $\ I_0 = W_0 $. Die Frage nach dem optimalen Konsumplan für heute und morgen ist abhängig von den persönlichen Präferenzen. Hierbei sind zwei Unterscheidungen möglich:

Bestimmung des optimalen Konsumplans

  • Person G gibt heute extrem wenig aus, investiert im Gegenzug sehr viel und hat morgen viel Geld für den möglichen Konsum zur Verfügung.

  • Person S hingegen lebt sehr stark im heute: er konsumiert in t = 0 sehr viel, investiert deswegen sehr wenig und hat morgen folglich sehr wenig Geld für den Konsum in t = 1 zur Verfügung.

Die Person G hat eine sehr hohe Zukunftspräferenz. Die Nutzenindifferenzkurve, die den geometrischen Ort der Konsumentscheidengen von heute und morgen, also von $\ C_0 $ und $\ C_1 $ angibt, die denselben Nutzen stiften, hat eine sehr geringe Steigung - die Kurve ist recht flach. Im Gegenzug auf einen € weniger Gegenwartskonsum ist die Person bereit, entspricht die im Bild gezeigt Strecke, mehr an Zukunftskonsum zu akzeptieren, um das weniger an Gegenwartskonsum auszugleichen. Da G der Gegenwartskonsum sowieso nicht so wichtig ist, verzichtet er freigiebig. Das Austauschverhältnis $\ {d C_1 \over d C_0} $, welches angibt, wie viel mehr Zukunftskonsum $\ C_1 $ notwendig ist um 1 € (genauer: einen unendlich kleinen €) weniger Zukunftskonsum hin zu nehmen, wenn der Nutzen gleich bleiben soll, heißt marginale Zeitpräferenzrate. Diese ist bei der Person G betragsmäßig recht gering.

Bei Person S ist es genau anders: die Nutzenindifferenzkurve hat betragsmäßig eine sehr große Steigung. Da S sehr stark auf Gegenwartskonsum bedacht ist, ist er nur bereit auf 1 € heute zu verzichten, wenn er dafür in der Zukunft sehr viel mehr ausgeben kann, der Pfeil auf der Ordinate ist sehr viel länger als bei G. Die Zeitpräferenzrate ist höher, die Kurve deswegen steiler .

Realinvestitionskurve und Nutzenindifferenzkurven

Wie lautet nun das optimal reale Investitionsvolumen für einen Investor? Dafür trägt man die Realinvestitionskurve und einige Nutzenindifferenzkurven ab. Der Nutzen ist im Punkt T maximal für die gegebene Realinvestitionskurve, deshalb liegt das optimale Investitionsvolumen in $\ I^* $, der optimale Konsum in $\ C^*_0 $.

Was aber soll man tun, wenn zwei unterschiedliche Personen an Investitionsentscheidungen beteiligt sind, so wie in der folgenden Abbildung?

Unterschiedliche Personen an Investitionsentscheidung beteilligt
Abb. 19: Unterschiedliche Personen an Investitionsentscheidung beteilligt

Unterschiedliche Konsumwünschen wg. unterschiedl. Präferenzen
Abb. 20: Unterschiedliche Konsumwünschen wg. unterschiedl. Präferenzen

Die Person S würde den Tangentialpunkt $\ S^* $ wählen und also lediglich $\ I_S $ investieren, den Rest $\ C^2_0 $ konsumieren. Die Person G hingegen investiert viel mehr, nämlich $\ I_G $ und konsumiert deutlich weniger, nämlich lediglich den Betrag von $\ C^G_0 $.

Lückentext
Bitte die Lücken im Text sinnvoll ausfüllen.
Dass die Bruttorendite mit steigender Investition erst abnimmt, liegt ökonomisch daran, dass zuerst jene Investitionen mit hohem Zinsfuß durchgeführt werden, danach jene mit geringem internem Zinsfuß usw.
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Kommentare zum Thema: Investitionsprogramme bei unterschiedlichen Konsumpräferenzen

  • Maren Nebeling schrieb am 20.02.2014 um 13:38 Uhr
    Hallo Valentin. Vielen Dank für dein Feedback. Wir haben die Berechnung der Ableitung von R(I) nun ergänzt. Viele Grüße!
  • Valentin Heimes schrieb am 18.02.2014 um 18:04 Uhr
    Wie kommt man auf die 15 im Zähler der Bruttorendite ?
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Autor: Daniel Lambert

Dieses Dokument Investitionsprogramme bei unterschiedlichen Konsumpräferenzen ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Investitionsrechnung.

Dipl.-Math. Dipl.-Kfm. Daniel Lambert gibt seit vielen Jahren Kurse zur Prüfungsvorbereitung. Er unterrichtet stets orientiert an alten Prüfungen und weiß aus langjähriger Erfahrung, wie sich komplexe Sachverhalte am besten aufbereiten und vermitteln lassen. Daniel Lambert ist Repetitor aus Leidenschaft seit nunmehr 20 Jahren.
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