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Makroökonomie - Grenzproduktivität im Totalmodell

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Makroökonomie

Grenzproduktivität im Totalmodell

Diese gibt an, wie stark sich der Output bewegt, wenn ein Input um eine unendlich kleine (= infinitesimale) Mengeneinheit erhöht wird. Man berechnet sie als partielle Ableitung der Produktionsfunktion nach der fraglichen Variable.

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen Die Produktionsfunktion sei $Y = N^{0,5}*K^{0,3}$.

a) Berechne die Grenzproduktivitäten der Arbeit und des Kapitals.

b) Mache die Aussagen der Grenzproduktivitäten klar anhand des Falls $N = 4$ und $K = 10$.

c) Warum stimmt das Ergebnis nur ungefähr und nicht exakt?

a) Die Grenzproduktivität der Arbeit, also die partielle Ableitung nach der Arbeit, beträgt $ \frac {dY}{dN}= 0,5 N^{-0,5}*K^{0,3}$. 

Jene nach dem Kapital ist $ \frac {dY}{dK}= 0,3 N^{0,5}*K^{-0,7}$.

Wenn nun konkret $N = 4 ME$ Arbeit und $K = 10 ME$ eingesetzt werden, so erhält man einen Output von$Y=4^{0,5}*10^{0,3}=2*1,9953=3,9905 ME $. Die Grenzproduktivität der Arbeit an der Stelle (N,K) = (4,10) ist

$ \frac {dY}{dN} = 0,5 N^{-0,5}*K^{0,3}= 0,5* 4^{-0,5}*10^{0,3}= 0,4988.$

b) Wenn schließlich der Faktor N (und nur dieser!) um eine Mengeneinheit erhöht wird, so geht man von der Kombination (N,K) = (5,10) aus und erhält durch Einsetzen in die Produktionsfunktion den Output 

$Y = 5^{0,5} * 10^{0,3}= 4,4615$.

Also gilt: durch Erhöhen des Faktors N um eine ME von N = 4 auf N = 5 steigt der Output von $Y = 3,9905$ auf$ Y = 4,4615 ME$ an. Dies ist eine Erhöhung um $4,4615 – 3,9905 = 0,4710 ME$.

c) Dies ist aber nur ungefähr gleich 0,4988!

Expertentipp

Hier klicken zum Ausklappen Man erhält also nur ungefähr (!) die Grenzproduktivität, weil das Wort infinitesimal nicht beachtet wurde. Wir hatten die Arbeit N um eine ganze ME erhöht, nicht um eine unendlich kleine! Wenn man dies zusätzlich beachtet, erhält man eine Veränderung von exakt 0,4988 ME.