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Makroökonomie - Grenzproduktivität im Totalmodell

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Makroökonomie

Grenzproduktivität im Totalmodell

Diese gibt an, wie stark sich der Output bewegt, wenn ein Input um eine unendlich kleine (= infinitesimale) Mengeneinheit erhöht wird. Man berechnet sie als partielle Ableitung der Produktionsfunktion nach der fraglichen Variable.

Beispiel

Die Produktionsfunktion sei $Y = N^{0,5}*K^{0,3}$.

a) Berechne die Grenzproduktivitäten der Arbeit und des Kapitals.

b) Mache die Aussagen der Grenzproduktivitäten klar anhand des Falls $N = 4$ und $K = 10$.

c) Warum stimmt das Ergebnis nur ungefähr und nicht exakt?

a) Die Grenzproduktivität der Arbeit, also die partielle Ableitung nach der Arbeit, beträgt $ \frac {dY}{dN}= 0,5 N^{-0,5}*K^{0,3}$. 

Jene nach dem Kapital ist $ \frac {dY}{dK}= 0,3 N^{0,5}*K^{-0,7}$.

Wenn nun konkret $N = 4 ME$ Arbeit und $K = 10 ME$ eingesetzt werden, so erhält man einen Output von$Y=4^{0,5}*10^{0,3}=2*1,9953=3,9905 ME $. Die Grenzproduktivität der Arbeit an der Stelle (N,K) = (4,10) ist

$ \frac {dY}{dN} = 0,5 N^{-0,5}*K^{0,3}= 0,5* 4^{-0,5}*10^{0,3}= 0,4988.$

b) Wenn schließlich der Faktor N (und nur dieser!) um eine Mengeneinheit erhöht wird, so geht man von der Kombination (N,K) = (5,10) aus und erhält durch Einsetzen in die Produktionsfunktion den Output 

$Y = 5^{0,5} * 10^{0,3}= 4,4615$.

Also gilt: durch Erhöhen des Faktors N um eine ME von N = 4 auf N = 5 steigt der Output von $Y = 3,9905$ auf$ Y = 4,4615 ME$ an. Dies ist eine Erhöhung um $4,4615 – 3,9905 = 0,4710 ME$.

c) Dies ist aber nur ungefähr gleich 0,4988!

Man erhält also nur ungefähr (!) die Grenzproduktivität, weil das Wort infinitesimal nicht beachtet wurde. Wir hatten die Arbeit N um eine ganze ME erhöht, nicht um eine unendlich kleine! Wenn man dies zusätzlich beachtet, erhält man eine Veränderung von exakt 0,4988 ME.