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Wahrscheinlichkeitsrechnung - Kombinationen ohne Wiederholung

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Wahrscheinlichkeitsrechnung

Kombinationen ohne Wiederholung

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Methode

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 So ist es z.B. beim Kartenspiel gleichgültig, in welcher Reihenfolge die Karten ausgegeben werden, die der Spieler hinterher in der Hand hält – es kommt lediglich auf die Karten selbst an. So ist (Pik 10, Herzbube, Karo Ass) in der Hand eines Kartenspielers das gleiche wie (Herzbube, Pik 10, Karo Ass). Statt eines k-Tupels interessieren hier also lediglich k-elementige Teilmengen einer Obermenge mit n Elementen. Diese heißen dann Kombinationen k. Ordnung von n Elementen ohne Wiederholung. Es gibt hierfür $$\dbinom{n}{k} = {n! \over {k! \cdot (n-k)!}} $$ viele verschiedene Möglichkeiten.

Merke

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 Die Zahl $ \dbinom{n}{k} $ (sprich „n über k“) nennt man Binomialkoeffizient.

Beispiel

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Studenten und Professor stoßen auf die Statistik an. Die Studenten Britta, Daniel und Klara bestehen – nach dem Besuch des richtigen Repetitoriums – mit großem Erfolg ihre Statistik-Klausur und gehen deshalb mit ihrem Professor einen trinken. Jeder hält ein Glas in der Hand und jeder stößt mit jedem an.

Wie oft klirren die Gläser?

Es müssen zweielementige Teilmengen aus einer vierelementigen Obermenge gebildet werden, wobei es auf die Reihenfolge nicht ankommt (denn wichtig ist, dass die Gläser klirren, nicht hingegen, ob z.B. Britta mit Klara oder Klara mit Britta anstößt). Es handelt sich um Kombinationen zweiter Ordnung von vier Elementen ohne Wiederholung. Hierfür gibt es $\dbinom{4}{2} = {4! \over {2! \cdot (4-2)!}} = 6 $ Möglichkeiten. Diese lauten explizit:

(B,D), (B,K), (B,P)

Britta (B) stößt mit jedem der anderen anwesenden Personen an, nämlich mit Daniel (B,D), Klara (B,K) und dem Professor (B,P)

(D,K), (D,P)

Daniel stößt nur noch mit Klara und dem Professor an, da er mit Britta vorher schon angestoßen hatte

(K,P) 

Klara prostet lediglich noch dem Professor zu, denn sie hat bereits mit Daniel und Britta angestoßen.

Beispiel

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Gegeben sei eine Urne mit fünf Kugeln. Wir ziehen zweimal ohne Zurücklegen. Wie viele Möglichkeiten existieren? Wie lauten diese explizit?

Es liegt eine Kombination k = 2. Ordnung von n = 5 Elementen ohne Wiederholung vor. Hierfür existieren $\dbinom{5}{2} = {5! \over {2! \cdot (5-2)!}} = 10 $ unterschiedliche Möglichkeiten. Beschriftet man die Kugeln mit A,B,C,D,E, so lauten die zehn Möglichkeiten:

(A,B), (A,C), (A,D), (A,E)

(B,C), (B,D), (B,E)

(C,D), (C,E)

(D,E).

Beispiel

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 Wie viele Möglichkeiten existieren beim bekannten Samstags-Lotto, genau k = 1, 2, 3, 4, 5 bzw. 6 Richtige zu ziehen?

Die Anzahl der Möglichkeiten, 6 Zahlen aus 49 möglichen auszuwählen, ist $\dbinom{49}{6}= 13.983.816 $.

Will man 5 Richtige haben, so existieren hierfür $\dbinom{6}{5} \cdot \dbinom{43}{1} = 6·43 = 258 $ Möglichkeiten, denn es gibt $\dbinom{6}{5}= 6 $ Möglichkeiten, fünf vorgegebene Zahlen in dem 6-Tupel zu erhalten. Außerdem gibt es für die sechste Zahl des 6-Tupels, die nicht aus den fünf vorgegebenen Zahlen stammen soll, noch von den verbliebenen 43 Zahlen insgesamt $\dbinom{43}{1} = 43$ Möglichkeiten. Also erhält man insgesamt die behaupteten 6·43 = 258 Kombinationen.

  • für genau 4 Richtige erhält man aus denselben Überlegungen  $\dbinom{6}{4} \cdot \dbinom{43}{2} =13.545 $ Möglichkeiten,

  • für genau 3 Richtige entsprechend  $\dbinom{6}{3} \cdot \dbinom{43}{3} = 246.820 $,

  • für genau 2 Richtige analog  $\dbinom{6}{2} \cdot \dbinom{43}{4} = 1.851.150$ und

  • für genau einen Richtigen genau so  $\dbinom{6}{1} \cdot \dbinom{43}{5} = 5.775.588$.

Merke

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  • Es handelt sich also um ein Ziehen ohne Zurücklegen. Wenn B gezogen wird, dann bleibt die Kugel B außerhalb der Urne, d.h. das Ereignis (B,B) ist unmöglich.

  • Darüber hinaus zieht man ohne Beachten der Reihenfolge. Damit ist es unerheblich, ob zuerst A und dann B oder umgekehrt gezogen wird: (A,B) und (B,A) sind dasselbe Ereignis.

Man kann sich die Anwendbarkeit der Kombinationen k. Ordnung ohne Wiederholung mit folgendem Spruch merken:

Merke

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Die Anzahl der Möglichkeiten, aus einer n-elementigen Obermenge k-elementige Teilmengen zu bilden (ohne Beachten der Reihenfolge, Ziehen ohne Zurücklegen) beträgt $\dbinom{n}{k}$ .

Video

Video: Kombinationen ohne Wiederholung