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Kombinationen ohne Wiederholung

WebinarTerminankündigung aus unserem Online-Kurs Volks- und Betriebswirtschaft:
 Am 12.01.2017 (ab 18:00 Uhr) findet unser nächstes Webinar statt.
Gratis-Webinar Grundbegriffe der Bilanzierung
- In diesem 60-minütigen Gratis-Webinar gibt Daniel Lambert einen Überblick über die zentralen Begriffe der Bilanzierung - hier im Besonderen dem Bilanzausweis.
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Methode

 So ist es z.B. beim Kartenspiel gleichgültig, in welcher Reihenfolge die Karten ausgegeben werden, die der Spieler hinterher in der Hand hält – es kommt lediglich auf die Karten selbst an. So ist (Pik 10, Herzbube, Karo Ass) in der Hand eines Kartenspielers das gleiche wie (Herzbube, Pik 10, Karo Ass). Statt eines k-Tupels interessieren hier also lediglich k-elementige Teilmengen einer Obermenge mit n Elementen. Diese heißen dann Kombinationen k. Ordnung von n Elementen ohne Wiederholung. Es gibt hierfür $$\dbinom{n}{k} = {n! \over {k! \cdot (n-k)!}} $$ viele verschiedene Möglichkeiten.

Merke

 Die Zahl $ \dbinom{n}{k} $ (sprich „n über k“) nennt man Binomialkoeffizient.

Beispiel

Studenten und Professor stoßen auf die Statistik an. Die Studenten Britta, Daniel und Klara bestehen – nach dem Besuch des richtigen Repetitoriums – mit großem Erfolg ihre Statistik-Klausur und gehen deshalb mit ihrem Professor einen trinken. Jeder hält ein Glas in der Hand und jeder stößt mit jedem an.

Wie oft klirren die Gläser?

Es müssen zweielementige Teilmengen aus einer vierelementigen Obermenge gebildet werden, wobei es auf die Reihenfolge nicht ankommt (denn wichtig ist, dass die Gläser klirren, nicht hingegen, ob z.B. Britta mit Klara oder Klara mit Britta anstößt). Es handelt sich um Kombinationen zweiter Ordnung von vier Elementen ohne Wiederholung. Hierfür gibt es $\dbinom{4}{2} = {4! \over {2! \cdot (4-2)!}} = 6 $ Möglichkeiten. Diese lauten explizit:

(B,D), (B,K), (B,P)

Britta (B) stößt mit jedem der anderen anwesenden Personen an, nämlich mit Daniel (B,D), Klara (B,K) und dem Professor (B,P)

(D,K), (D,P)

Daniel stößt nur noch mit Klara und dem Professor an, da er mit Britta vorher schon angestoßen hatte

(K,P) 

Klara prostet lediglich noch dem Professor zu, denn sie hat bereits mit Daniel und Britta angestoßen.

Beispiel

Gegeben sei eine Urne mit fünf Kugeln. Wir ziehen zweimal ohne Zurücklegen. Wie viele Möglichkeiten existieren? Wie lauten diese explizit?

Es liegt eine Kombination k = 2. Ordnung von n = 5 Elementen ohne Wiederholung vor. Hierfür existieren $\dbinom{5}{2} = {5! \over {2! \cdot (5-2)!}} = 10 $ unterschiedliche Möglichkeiten. Beschriftet man die Kugeln mit A,B,C,D,E, so lauten die zehn Möglichkeiten:

(A,B), (A,C), (A,D), (A,E)

(B,C), (B,D), (B,E)

(C,D), (C,E)

(D,E).

Beispiel

 Wie viele Möglichkeiten existieren beim bekannten Samstags-Lotto, genau k = 1, 2, 3, 4, 5 bzw. 6 Richtige zu ziehen?

Die Anzahl der Möglichkeiten, 6 Zahlen aus 49 möglichen auszuwählen, ist $\dbinom{49}{6}= 13.983.816 $.

Will man 5 Richtige haben, so existieren hierfür $\dbinom{6}{5} \cdot \dbinom{43}{1} = 6·43 = 258 $ Möglichkeiten, denn es gibt $\dbinom{6}{5}= 6 $ Möglichkeiten, fünf vorgegebene Zahlen in dem 6-Tupel zu erhalten. Außerdem gibt es für die sechste Zahl des 6-Tupels, die nicht aus den fünf vorgegebenen Zahlen stammen soll, noch von den verbliebenen 43 Zahlen insgesamt $\dbinom{41}{1} = 43$ Möglichkeiten. Also erhält man insgesamt die behaupteten 6·43 = 258 Kombinationen.

  • für genau 4 Richtige erhält man aus denselben Überlegungen  $\dbinom{6}{4} \cdot \dbinom{43}{2} =13.545 $ Möglichkeiten,

  • für genau 3 Richtige entsprechend  $\dbinom{6}{3} \cdot \dbinom{43}{3} = 246.820 $,

  • für genau 2 Richtige analog  $\dbinom{6}{2} \cdot \dbinom{43}{4} = 1.851.150$ und

  • für genau einen Richtigen genau so  $\dbinom{6}{1} \cdot \dbinom{43}{5} = 5.775.588$.

Merke

  • Es handelt sich also um ein Ziehen ohne Zurücklegen. Wenn B gezogen wird, dann bleibt die Kugel B außerhalb der Urne, d.h. das Ereignis (B,B) ist unmöglich.

  • Darüber hinaus zieht man ohne Beachten der Reihenfolge. Damit ist es unerheblich, ob zuerst A und dann B oder umgekehrt gezogen wird: (A,B) und (B,A) sind dasselbe Ereignis.

Man kann sich die Anwendbarkeit der Kombinationen k. Ordnung ohne Wiederholung mit folgendem Spruch merken:

Merke

Die Anzahl der Möglichkeiten, aus einer n-elementigen Obermenge k-elementige Teilmengen zu bilden (ohne Beachten der Reihenfolge, Ziehen ohne Zurücklegen) beträgt $\dbinom{n}{k}$ .

Video

Video: Kombinationen ohne Wiederholung

Multiple-Choice

In einer Naturaltauschwirtschaft existieren vier Güter. Wieviele relative Preise, also Austauschverhältnisse zwischen ihnen, existieren? 

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Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Kommentare zum Thema: Kombinationen ohne Wiederholung

  • Maren Nebeling schrieb am 09.06.2015 um 11:26 Uhr
    Hallo, vielen Dank für die Hinweise. Die Lösungen waren richtig, jedoch wurden die Zahlen im Binomialkoeffizient vertauscht. Ich habe den Text nun verbessert. Schöne Grüße
  • Max Mustermann schrieb am 08.06.2015 um 22:48 Uhr
    Das BSP Samstags-Lotto enthält in einigen Binomialkoeffizienten bzw. deren Lösungen Fehler. Siehe Teilaufgabe mit 5 Richtigen aus 49. lg, André
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Autor: Daniel Lambert

Dieses Dokument Kombinationen ohne Wiederholung ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Dipl.-Math. Dipl.-Kfm. Daniel Lambert gibt seit vielen Jahren Kurse zur Prüfungsvorbereitung. Er unterrichtet stets orientiert an alten Prüfungen und weiß aus langjähriger Erfahrung, wie sich komplexe Sachverhalte am besten aufbereiten und vermitteln lassen. Daniel Lambert ist Repetitor aus Leidenschaft seit nunmehr 20 Jahren.
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    Ein Kursnutzer am 23.07.2015:
    "Weiter so!! viele Grüße aus Nürnberg"

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    Ein Kursnutzer am 08.06.2015:
    "Ich finde, dass Herrn Lambert eine große Gabe hat, schwierige Sachverhalte einfach und strukturiert wiederzugeben. Man gewinnt außerdem den Eindruck, dass er Spaß an der Erklärung hat und an wichtiger Stelle die Fokussierung mit Witz und Präzision in der Wortwahl den Stoff einleuchtend vermittelt. Ich würde mal sagen, das war ein ganz schön dickes LOB! :-) Danke! "

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    Ein Kursnutzer am 19.01.2015:
    "Super toll , besser als ein Buch"

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