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Wahrscheinlichkeitsrechnung - Kombinationen ohne Wiederholung

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Wahrscheinlichkeitsrechnung

Kombinationen ohne Wiederholung

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Methode

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Beim Kartenspiel ist es bspw. egal, in welcher Abfolge die Karten verteilt werden, die der Spieler später in Händen hat. Einzig die Karten selbst sind von Bedeutung. Für einen Kartenspieler ist (Pik 10, Herzbube, Karo Ass) auf der Hand das gleiche wie (Herzbube, Pik 10, Karo Ass). Anstelle eines k-Tupels sind hier nur k-elementige Teilmengen von einer Obermenge mit n Elementen interessant. Diese nennt man Kombinationen k. Ordnung von n Elementen ohne Wiederholung.
Es gibt hierfür $\dbinom{n}{k} = {n! \over {k! \cdot (n-k)!}} $ viele verschiedene Möglichkeiten.

Merke

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 Die Zahl $ \dbinom{n}{k} $ (sprich „n über k“) heißt Binomialkoeffizient.

Beispiel

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Die Studierenden Nora, Paulina und Robin gehen mit ihrem Tutor einen trinken, um auf die mit großem Erfolg bestandene Statistik-Klausur anzustoßen und sich für die gute Vorbereitung beim Tutor zu bedanken. Jeder von ihnen hat ein Getränk in der Hand und jeder stößt mit jedem an.

Wie oft klingen die Gläser?

Aus einer vierelementigen Obermenge muss eine zweielementige Teilmengen gebildet werden,wofür die Abfolge irrelevant ist (denn relevant ist, dass die Gläser klingen, jedoch nicht, ob z.B. Nora mit Paulina oder Nora mit Robin anstößt). Es handelt sich um Kombinationen zweiter Ordnung von vier Elementen ohne Wiederholung. Dafürgibt es $\dbinom{4}{2} = {4! \over {2! \cdot (4-2)!}} = 6 $ Möglichkeiten. Diese sind konkret:

(N,R), (N,P), (N,T)

Nora(N) stößt mit jedem der Personen an und zwar mit Robin (N,R), Paulina (N,P) und dem Tutor (N,T)

(R,P), (R,T)

Robin prostet nur noch Paulina und dem Tutor zu, weil er zuvor schon mit Nora angestoßen hatte

(P,T) 

Paulina stößt einzig mit dem Tutor an, sie hat ja schon mit Robin und Nora angestoßen.

Beispiel

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Gegeben ist eine Beutel mit fünf Kugeln. Wir ziehen zweimal ohne eine zurückzulegen. Wie viele verschiedene Möglichkeiten existieren? Wie heißen diese konkret?

Es liegt eine Kombination k = 2; Ordnung von n = 5 Elementen ohne Wiederholung vor. Es gibt dafür $\dbinom{5}{2} = {5! \over {2! \cdot (5-2)!}} = 10 $ verschiedene Möglichkeiten. Beschriftet man die Kugeln mit den Zahlen von 1-5, so sind die zehn Optionen:

(1,2), (1,3), (1,4), (1,5)

(2,3), (2,4), (2,5)

(3,4), (3,5)

(4,5).

Beispiel

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Wie viele Optionen bestehen beim bekannten Lotto-Spiel 6 aus 49, exakt k = 1, 2, 3, 4, 5 bzw. 6 Richtige zu ziehen?

Die Anzahl der Möglichkeiten, 6 Zahlen von 49 möglichen zuwählen, ist $\dbinom{49}{6}= 13.983.816 $.

Möchte man 5 Richtige haben, so gibt es dafür $\dbinom{6}{5} \cdot \dbinom{43}{1} = 6·43 = 258 $ Möglichkeiten, weil $\dbinom{6}{5}= 6 $ Möglichkeiten existieren, fünf vorgegebene Zahlen in dem 6-Tupel zu erhalten. Zudem gibt es für die sechste Zahl des 6-Tupels, die nicht aus den fünf vorgegebenen Zahlen stammen soll, noch von den verbliebenen 43 Zahlen insgesamt $\dbinom{43}{1} = 43$ Möglichkeiten. So kommt man unterm Strich auf die proklamierten 6·43 = 258 Möglichkeiten.

  • für exakt 4 Richtige kommt man auf die selbe Weise auf $\dbinom{6}{4} \cdot \dbinom{43}{2} =13.545 $ Kombinationen,

  • für genau 3 Richtige auf $\dbinom{6}{3} \cdot \dbinom{43}{3} = 246.820 $,

  • für exakt 2 Richtige auf dem gleichen Weg $\dbinom{6}{2} \cdot \dbinom{43}{4} = 1.851.150$ und

  • für einen Richtigen ebenso auf $\dbinom{6}{1} \cdot \dbinom{43}{5} = 5.775.588$.

Merke

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  • Es handelt sich also um ein Ziehen ohne Zurücklegen. Wird z.B. die 5 gezogen, bleibt die Kugel 5 außerhalb der Urne, daraus folgt,dass das Ereignis (5,5) nicht möglich ist.

  • Außerdem zieht man ohne Beachten der Reihenfolge. Daher ist es egal, ob zuerst 13 und dann 5 oder andersherum gezogen wird: (13,5) und (5,13) sind das gleiche Ereignis.

Die Anwendbarkeit der Kombinationen k. einer Ordnung ohne Wiederholung kann man sich mit diesem Merksatz einprägen:

Merke

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Die Anzahl der möglichen Kombinationen, aus einer n-elementigen Obermenge k-elementige Teilmengen zu bilden (ohne Beachten der Reihenfolge, Ziehen ohne Zurücklegen) beträgt $\dbinom{n}{k}$ .

Video

Video: Kombinationen ohne Wiederholung