Mathematische Grundlagen

Der erste Einstieg in die Mikroökonomie ist getan! Für die weiteren Teile benötigen wir allerdings ein wenig mathematische Grundlagen, allerdings wirklich nur etwas. Außerdem bleiben wir auf einem einfachen Niveau. Deshalb ist dieser Exkurs nicht immer mathematisch hoch korrekt. Er soll nur praktisch sein für die Mikroökonomie.

Die Funktion

Eine Funktion stellt eine Beziehung zwischen Zahlen her. Für eine Zahl x wird durch eine Rechenregel ein Wert y zugeordnet. Beispiele wären:

oder ganz allgemein

Im letzten Fall ist die Rechenregel unbekannt. Der Wert x wird als unabhängige Variable bezeichnet, wohingegen y die abhängige Variable ist.

Eine inverse Funktion ist die Umkehrung der eigentlichen Funktion. Die unabhängige Variable wird zur abhängigen und umgekehrt. Für die vorangenannten Beispiele wären dies:

Lineare Funktionen

Die meisen Funktionen mit denen wir arbeiten werden, sind lineare Funktionen. Allgemein haben sie die Form:

a und b sind Konstanten. Beispiele für lineare Funktionen sind:

Eine andere Form linearer Funktionen lautet:

Eine einfache Umformung nach y führt zur einfachen Form:

Diese Form und auch die Umformung werden wir im zweiten Kapitel häufiger benötigen.

Achsenabschnitt und Steigung bei linearen Funktionen

Die Achsenabschnitte bei linearen Funktionen lassen sich leicht errechnen. In der Form y = ax + b wird, um den vertikalen Achsenabschnitt zu errechnen, x gleich Null gesetzt. Dementsprechend lautet er immer b. Der horizontale Achsenabschnitt wird errechnet, indem y gleich Null gesetzt wird. Allgemein lautet es:

Die Steigung der Funktion ist die erste Ableitung nach x. Sie lässt sich aber auch in der Konstante a ablesen. Ist a negativ, dann ist die Funktion fallend, bei positiven Werten ist sie steigend. Für die zweite Form linearer Funktionen
ax + by = c sind die Werte nach der Umformung auch leicht abzulesen.

Die Schreibweise Δx (Δ ist der griechische Buchstabe Delta) steht für die Veränderung von x. Ändert sich x von $\ x_1 $  zu $\ x_2 $ , dann ist die Veränderung von x einfach: Δx = $\ x_2 -  x_1 $ 

Später werden wir hauptsächlich sehr kleine Veränderungen betrachten. Solche Änderungen werden als marginal bezeichnet.

Steht ein Wert zwischen zwei senkrechte Strichen, z.B. |x|, heißt dies, dass der "Betrag von x" betrachtet wird, also nur der absolute (positive) Wert.

Marginale Veränderungen lassen sich auch durch die erste Ableitung einer Funktion bestimmen. Eine einfache Funktion mit einer Variablen abzuleiten, sollte eigentlich keine allzu große Übung darstellen. Im späteren Kurs werden auch nur einfache Funktionen auftauchen, so dass wir hier auf komplexere Dinge wie Produktregel und Kettenregel verzichten können. Zur Vertiefung werden im folgenden Video anhand von Beispielen die ersten Ableitungen verschiedener Funktionen gebildet.

Lernvideo

Ableitungen

Hier nochmal die allgemeine Ableitung von

Die additive Konstante b fällt weg.

Folgende Umformungen sollen in diesem Zusammenhang noch erwähnt werden, später werden sie noch interessant: