Das Kartell

Für die Oligopolisten ist der beste Weg zur Gewinnmaximierung, Absprachen mit den Konkurrenten zu treffen. Diese können dann bestimmen, wer wie viel produziert und so den Wettbewerb untereinander verhindern.
Für die Konsumenten ist das allerdings von Nachteil, denn dann wird sich der Zusammenschluss von Unternehmen, auch Kartell genannt, wie ein Monopolist verhalten, mit den bereits im vorherigen Kapitel angesprochenen Ergebnissen. Durch das Monopol wird zuwenig auf dem Markt angeboten und der Preis bleibt sehr hoch.
Aus diesem Grund versucht der Staat auch, Kartelle zu verhindern, etwa durch Gesetze gegen Wettbewerbsabsprachen oder Kartellämtern, die über den Wettbewerb wachen.

Wie gehen wir das nun rechnerisch an?
Im Prinzip ist es einfach, wir müssen nur die bereits bekannte Gewinnfunktion aus dem Monopol etwas modifizieren.

Die übliche Funktion sieht so aus: $\ G = P \cdot Y - K $. Nur hier haben wir zwei Unternehmen, die wie ein Monopol zusammenarbeiten. Deshalb setzen sich die Kosten aus den Kosten beider Unternehmen zusammen und auch die angebotene Menge ist die Summe der Menge beider Unternehmen. Deshalb gilt $\ Y = y_1+y_2 $. Dieser Ausdruck ist der Schlüssel zum Ganzen. Wir ersetzen in der normalen Gewinnfunktion des Monopols Y einfach durch diesen Term und spalten die Kosten in die Kosten beider Unternehmen für ihre eigene Menge $\ y_1 $ bzw. $\ y_2 $.

Berechnung des Gewinns im Kartell

Wir erhalten dann: $\ G = (500-2[y_1+y_2]) \cdot (y_1+y_2)-25y_1 - y_2^2 $

Die erste Klammer gibt uns den Preis in Abhängigkeit von der gesamten Marktmenge an. Der Preis multipliziert mit der Marktmenge ergibt den Umsatz. Davon werden schließlich noch die Kosten der jeweils produzierten Menge abgezogen.

Der rechnerische Weg sieht nun so aus:

1. Gewinnfunktion soweit wie möglich ausmultiplizieren
2. Einmal nach $\ y_1 $ und einmal nach $\ y_2 $ ableiten und die Ergebnisse jeweils gleich Null setzen
3. Mit den beiden Funktionen jeweils y1 und y2 bestimmen, mit welcher Funktion ist egal. Eine der Funktionen in die andere einsetzen, um so eine Unbekannt zu eliminieren und die angebotene Menge eines der Unternehmen zu bestimmen
4. Diese Menge dann in die andere der beiden Funktionen einsetzen und so die angebotene Menge des anderen Unternehmens bestimmen

Die Lösung errechnet sich nun wie folgt:

1. $\ G = (500-2[y_1+y_2]) \cdot (y_1+y_2)-25y_1 - y_2^2 $
         $= (500-2y_1-2y_2)(y_1+y_2)-25y_1-y_2^2 $
         $= 500y_1-2y_1^2-2y_1y_2+500y_2-2y_1y_2-2y_2^2-25y_1-y_2^2 $
         $= 475y_1-4y_1y_2-2y_1^2+500y_2-3y_2^2 $
   
   
2. $ {\partial G \over \partial y_1}= 475-4y_2-4y_1\stackrel{!}{=}0 $
   $ \Leftrightarrow 475-4y_2=4y_1 $
   $ \Leftrightarrow 118,75-y_2=y_1 $
   
   $ {\partial G \over \partial y_2}=-4y_1+500-6y_2\stackrel{!}{=}0 $
   $ \Leftrightarrow -4y_1+500=6y_2 $
   $ \Leftrightarrow {250 \over 3}- {2\over 3}y_1=y_2 $
   
   
3. $ 118,75-({250 \over 3}- {2\over 3}y_1)=y_1 $
   $ \Leftrightarrow 118,75{250 \over 3}- {2\over 3}y_1=y_1 $
   $ \Leftrightarrow {425 \over 12}= {1 \over 3}y_1 $
   $ \Leftrightarrow 106,25=y_1 $
   
   
4. $ {250 \over 3}-{2 \over 3}\cdot106,25=y_2 $
   $ \Leftrightarrow 12,5= y_2 $

Die Ergebnisse hier lauten somit:  $\ y_1 = 106,25 $ und $\ y_2 = 12,5 $.