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Theorie des Unternehmens > Gewinnmaximierung:

Gewinnmaximierung mit einem variablen Faktor

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Die Gewinnmaximierung mit einem variablen Faktor soll hier anhand eines Beispiels erklärt werden.

Beispiel:

In diesem praktischen Beispiel gehen wir von folgenden Informationen aus:
$\ f(x_1; x_2) = 3x_1^{3/4} \cdot x_2^{1/2} $
$\ x_2 = {\bar x_2} = 9 $
$\ p = 4 $
$\ w_1 = 9 $
$\ w_2 = 12 $

Der zweite Faktor ist hier fix und mit 9 vorgegeben.

Da hier unser Ziel die Gewinnmaximierung ist, definieren wir zuerst die Gewinnfunktion, die anschließend maximiert wird.
Der Gewinn ist definiert als Umsatz minus Kosten: G = U-K
Ausführlicher entspricht dies Preis mal Absatzmenge (Umsatz) minus den Kosten für die benötigten Inputfaktoren.
$\ G = p \cdot y - w_1 \cdot x_1 - w_2 \cdot x_2 $
"p" ist der Verkaufspreis für das Endprodukt. "$\ w_1 $ " und "$\ w_2 $" sind die Kosten für die Inputfaktoren.

Setzen wir die gegebenen Informationen in die Zielfunktion ein: $\ G = 4 \cdot 3x_1^{3/4} \cdot 9^{1/2} - 9 \cdot x_1 - 12 \cdot 9 $
Vereinfacht: $\ G = 36 \cdot x_1^{3/4} - 9x_1 - 108 $
Unser fixer Faktor $\ x_2 $ ist bereits vollständig aus der Gleichung herausgefallen. Da er nicht verändert werden kann, ist er für die Optimierung unwichtig.

Der nächste Schritt ist die Ableitung der Zielfunktion nach dem variabeln Inputfaktor:
$\ {{dG} \over {dx_1}}= 27 \cdot x_1^{-1/4} - 9 = 0  $ => $\ 27 \cdot x_1^{-1/4} = 9 $
Die letzte Gleichung ist besonders wichtig. Ohne Zahlenwerte sähe sie so aus: $\ p \cdot MP1 = w_1 $
Da wir die Produktionsfunktion nach $\ x_1 $ abgeleitet haben, haben wir das Grenzprodukt für 1 erhalten. Dieses Grenzprodukt, bewertet mit dem Preis, nennt man Wertgrenzprodukt. Es gibt an, wieviel zusätzlicher Umsatz mit einer weiteren Einheit von $\ x_1 $ erreicht wird. Im Optimum, welches wir ja suchen, entspricht dieses Wertgrenzprodukt den Kosten einer zusätzlichen Einheit von $\ x_1 $.
Teilen wir die Funktion noch durch "p", erhalten wir die vorher bestimmte Optimalitätsbedingung: $\ MP1 = {w_1 \over p} $

Merke

Im Optimum muss der zusätzliche Wert einer weiteren eingesetzten Einheit gleich sein mit ihren Kosten. Wird weniger eingesetzt, ist das Wertgrenzprodukt geringer als die Kosten. Durch die Ausweitung der Produktion sinkt das Wertgrenzprodukt infolge des Gesetzes abnehmender Grenzerträge ab und erreicht damit ein Gleichgewicht mit den Kosten.

Um für unser Beispiel die optimale Menge von $\ x_1 $ zu errechnen, brauchen wir nur noch die Gleichung aufzulösen, da nur noch eine Unbekannte vorhanden ist.

$\ 27 \cdot x_1^{-1/4} = 9 $
$\ x_1^{-1/4} = {9 \over 27} $
$\ x_1^{-1/4} = {1 \over 3} $
$\ x_1 = ({1 \over 3})^ {-4} = 81 $

Das Unternehmen maximiert seinen Gewinn, wenn es 81 Einheiten des Inputfaktors $\ x_1 $ einsetzt.

Multiple-Choice
Wie errechnet sich das Wertgrenzprodukt?
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Kommentare zum Thema: Gewinnmaximierung mit einem variablen Faktor

  • Katrin Latsch schrieb am 30.03.2016 um 08:37 Uhr
    Lieber Thomas, danke für deine Nachricht. Bei der Rechnung handelt es sich um ein ganz normales PDF-Format. Versuch doch vielleicht mal, die Rechnung über einen anderen Rechner zu öffnen, sollte auch das nicht klappen, schick uns einfach eine kurze Nachricht an support@wiwiweb.de, dann schicken wir dir die Rechnung gerne nochmal zu. Liebe Grüße Katrin
  • Thomas Kaufmann schrieb am 29.03.2016 um 17:08 Uhr
    Ich weiß nicht woran es liegt aber bei mir öffnet sich die Rechnung nicht. Da stehen nur die Befehle zur Eingabe aber die Mal-Zeichen usw. erscheinen nicht und somit ist die Rechnung für mich nur schwer nachzuvollziehen. Könnte mal danach geguckt werden ?
  • Batuhan schrieb am 18.02.2015 um 00:15 Uhr
    Ich verstehe die Formel "p*MP1=w1" noch nicht ganz. MP1 ist doch = 2,25*x1^(1/-4) , oder nicht? Und das multipliziert mit dem preis würde 9 ergeben. Das passt aber nicht zur 27, die da laut umgestellter Zielfunktion stehen müsste.
  • Lukas Linnig schrieb am 29.07.2014 um 00:04 Uhr
    Hallo Barbara, hallo Daniel, vielen Dank, die Werte wurden geändert. Liebe Grüße!
  • Barbara Nohl schrieb am 09.03.2014 um 10:06 Uhr
    Richtig, die 9^"1/3" sind falsch und müssten durch ^"1/2" ersetzt werden. Ansonsten komme ich rechnerisch auch nicht auf die vorgegebene Lösung.
  • Daniel Jacobson schrieb am 25.02.2014 um 01:15 Uhr
    Oben steh G = 4 * 3 x1^3/4 * 9^1/3 Daraus wird im nächsten Schritt: 36 * x1^3/4. Aber hätte es dazu nicht 9^1/2 lauten müssen, damit 4*3*3 (Wurzel 9) = 36 ergibt. Bei der gegebenen Formel müsste man doch die 3. Wurzel auf 9 ziehen?!
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