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Grundlagen der Mikroökonomie - Gewinnmaximierung mit einem variablen Faktor

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Grundlagen der Mikroökonomie

Gewinnmaximierung mit einem variablen Faktor

Die Gewinnmaximierung mit einem variablen Faktor soll hier anhand eines Beispiels erklärt werden.

Beispiel:

In diesem praktischen Beispiel gehen wir von folgenden Informationen aus:
$\ f(x_1; x_2) = 3x_1^{3/4} \cdot x_2^{1/2} $
$\ x_2 = {\bar x_2} = 9 $
$\ p = 4 $
$\ w_1 = 9 $
$\ w_2 = 12 $

Der zweite Faktor ist hier fix und mit 9 vorgegeben.

Da hier unser Ziel die Gewinnmaximierung ist, definieren wir zuerst die Gewinnfunktion, die anschließend maximiert wird.
Der Gewinn ist definiert als Umsatz minus Kosten: G = U-K
Ausführlicher entspricht dies Preis mal Absatzmenge (Umsatz) minus den Kosten für die benötigten Inputfaktoren.
$\ G = p \cdot y - w_1 \cdot x_1 - w_2 \cdot x_2 $
"p" ist der Verkaufspreis für das Endprodukt. "$\ w_1 $ " und "$\ w_2 $" sind die Kosten für die Inputfaktoren.

Setzen wir die gegebenen Informationen in die Zielfunktion ein: $\ G = 4 \cdot 3x_1^{3/4} \cdot 9^{1/2} - 9 \cdot x_1 - 12 \cdot 9 $
Vereinfacht: $\ G = 36 \cdot x_1^{3/4} - 9x_1 - 108 $
Unser fixer Faktor $\ x_2 $ ist bereits vollständig aus der Gleichung herausgefallen. Da er nicht verändert werden kann, ist er für die Optimierung unwichtig.

Der nächste Schritt ist die Ableitung der Zielfunktion nach dem variabeln Inputfaktor:
$\ {{dG} \over {dx_1}}= 27 \cdot x_1^{-1/4} - 9 = 0  $ => $\ 27 \cdot x_1^{-1/4} = 9 $
Die letzte Gleichung ist besonders wichtig. Ohne Zahlenwerte sähe sie so aus: $\ p \cdot MP1 = w_1 $
Da wir die Produktionsfunktion nach $\ x_1 $ abgeleitet haben, haben wir das Grenzprodukt für 1 erhalten. Dieses Grenzprodukt, bewertet mit dem Preis, nennt man Wertgrenzprodukt. Es gibt an, wieviel zusätzlicher Umsatz mit einer weiteren Einheit von $\ x_1 $ erreicht wird. Im Optimum, welches wir ja suchen, entspricht dieses Wertgrenzprodukt den Kosten einer zusätzlichen Einheit von $\ x_1 $.
Teilen wir die Funktion noch durch "p", erhalten wir die vorher bestimmte Optimalitätsbedingung: $\ MP1 = {w_1 \over p} $

Merke

Im Optimum muss der zusätzliche Wert einer weiteren eingesetzten Einheit gleich sein mit ihren Kosten. Wird weniger eingesetzt, ist das Wertgrenzprodukt geringer als die Kosten. Durch die Ausweitung der Produktion sinkt das Wertgrenzprodukt infolge des Gesetzes abnehmender Grenzerträge ab und erreicht damit ein Gleichgewicht mit den Kosten.

Um für unser Beispiel die optimale Menge von $\ x_1 $ zu errechnen, brauchen wir nur noch die Gleichung aufzulösen, da nur noch eine Unbekannte vorhanden ist.

$\ 27 \cdot x_1^{-1/4} = 9 $
$\ x_1^{-1/4} = {9 \over 27} $
$\ x_1^{-1/4} = {1 \over 3} $
$\ x_1 = ({1 \over 3})^ {-4} = 81 $

Das Unternehmen maximiert seinen Gewinn, wenn es 81 Einheiten des Inputfaktors $\ x_1 $ einsetzt.