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Deskriptive Statistik

Arithmetisches Mittel

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Ein weiteres Lagemaß ist das arithmetische Mittel.

Auf den metrischen Skalen sind alle numerischen Operationen, also addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren, erlaubt (wenngleich nicht immer sinnvoll – so ist $\ {20°C \over 10°C} = 2 $ keine sinnvolle Aussage, wie wir bei der Intervallskala gesehen hatten. Erst ab der Verhältnisskala ist auch die Division ohne Probleme anwendbar). Man wählt deshalb als Mittelwert auf den metrischen Skalen das arithmetische Mittel $\ \overline x $ mit $$\ \overline x = {1 \over n} (x_1+x_2+...+x_n) $$ Dieses gewöhnliche arithmetisches Mittel wird auch als ungewogenes arithmetisches Mittel bezeichnet.

Beispiel

Beispiel 36 - Arithmetisches Mittel:
Die Körpergrößen von fünf Personen lauten 1,80 m, 1,70 m, 1,75 m, 1,89 m, 1,90 m.
Die mittlere Körpergröße ist dann $$\ \overline x={1 \over n} \sum_{i=1}^n x_i = {1 \over 5} \cdot (1,8 + 1,7 + 1,75 + 1,89 + 1,9) = 1,808 m $$

Formel arithmetisches Mittel

Es gibt zwei Varianten des arithmetischen Mittels, die unterschiedlich aussehen, es aber nicht sind:

  • Das ungewogene arithmetische Mittel
    $$\ \overline x= {1 \over n} \sum_{i=1}^n x_i $$ Jeder einzelne Beobachtungswert geht gleichstark (jeweils mit $\ {1 \over n} $ gewichtet) in das arithmetische Mittel $\ \overline x $ ein.
  • Das gewogene arithmetische Mittel
    $$\ \overline x = \sum_{j=1}^m f(a_j) \cdot a_j= {1 \over n} \cdot \sum_{j=1}^m h(a_j) \cdot a_j $$
    Diese Formel wird benutzt, wenn einzelne Beobachtungswerte, also einzelne $\ x_i $, mehrfach vorkommen.

Video zum arithmetischen Mittel

Video: Arithmetisches Mittel

Beispiel gewogenes arithmetisches Mittel berechnen

Beispiel

Beispiel 37:
Es soll das arithmetische Mittel der folgenden Zahlen ausgerechnet werden:
2, 3, 4, 3, 7, 8, 3, 2, 7, 7, 7, 9, 10, 8, 11.

Mit dem ungewogenen arithmetischen Mittel wird jeder Beobachtungswert xi gleich gewichtet. Es ist $\ x_1 = 2, x_2 = 3, x_3 = 4, ... , x_{15} = 11 $.
Man rechnet also $$\ \overline x= {1 \over n} \sum_{j=1}^n x_i= {1 \over 15} \sum_{i=1}^{15} x_i= {1 \over 15}(2 + 3 + 4 + ... + 8 + 11) = 6,067 $$

Beim gewogenen arithmetischen Mittel hingegen erfolgt eine Gewichtung. Man rechnet nicht mehr mit den Beobachtungswerten xi – die mehrfach auftreten können – sondern mit den Merkmalsprägungen aj, die zwar mehrfach vorkommen können, aber immer unterschiedlich sind. So ist hier $\ a_1 = 2, a_2 = 3, a_3 = 4, a_4 = 7, a_5 = 8, a_6 = 9, a_7 = 10, a_8 = 11 $

j 1 2 3 4 5 6 7 8
$\ a_j $ 2 3 4 7 8 9 10 11
$\ h(a_j)   $ 2 3 1 4 2 1 1 1
$\ f(a_j)   $ 2/15 3/15 1/15 4/15 2/15 1/15 1/15 1/15

Der Wert $\ a_4 = 7 $ tritt viermal auf, deshalb ist die absolute Häufigkeit $\ h(a_4) = h(7) = 4 $. Die relative Häufigkeit lautet demnach
$\ f(a_4)=f(7)= {1 \over n} \cdot h(7) = {1 \over 15} \cdot 4= {4 \over 15} $.
Man fasst also Werte zusammen, die gleich sind und kann dadurch das arithmetische Mittel schneller ausrechnen:
$$\ \overline x= {1 \over n} \sum_{j=1}^m h(a_j)\cdot a_j = {1 \over 15} \cdot (2 \cdot 2+3 \cdot 3+1 \cdot 4+4 \cdot 7+...+1 \cdot 11)= {91 \over 15} = 6.067 $$ bzw. $$\ \overline x= \sum_{j=1}^m f(a_j)\cdot a_j= {2 \over 15} \cdot 2 + {3 \over 15} \cdot 3+...+{1 \over 15} \cdot 11=6,067 $$

Merke

Merke:
  • Die Anzahl m der (unterschiedlichen) Merkmalsausprägungen $\ a_j $ (hier m=8) ist stets kleiner oder gleich der Anzahl n der (nicht unbedingt unterschiedlichen) Beobachtungswerte $\ x_i $ (hier n=15).
  • Wenn alle Beobachtungswerte vorliegen, ist es lediglich ein geringerer Rechenaufwand, das gewogene arithmetische Mittel zu rechnen.

Eigenschaften des arithmetischen Mittels

Achtung:
Das arithmetische Mittel ist anfälliger für Ausreißer als es der Median oder der Modus ist. Dies zeigt folgendes Beispiel

Beispiel 38:
Eine Sekretärin sollte folgende Rechnungsbeträge in den Computer eingeben: 100 €, 200 €, 100 €, 300 € und 350€. Statt der letzten Zahl hängt sie fälschlicherweise eine Null zuviel an, schreibt also 3.500 €. Wie verändern sich die einzelnen Mittelwerte?
Die geordnete Urliste sollte eigentlich 100, 100, 200, 300, 350 sein, in Wahrheit ist sie aber nun 100, 100, 200, 300, 3.500. Der Modus und der Median bleiben gleich bei 100 € und bei 200 €, sie verändern sich also nicht durch den statistischen Ausreißer. Lediglich das arithmetische Mittel $\ \overline x $ ändert sich von vorher $\ \overline x = 210 € $ auf nunmehr $\ \overline x = 840 € $.

Das arithmetische Mittel zeichnet sich aus durch die

  • Ersatzwerteigenschaft, die
  • Nulleigenschaft und eine
  • Optimalitätseigenschaft.

Im einzelnen:
Ersatzwerteigenschaft bedeutet, dass $$\ {n \cdot \overline x} = \sum_{i=1}^n x $$ gilt, was unmittelbar aus der Definition des arihmetischen Mittels hervorgeht. Wenn man also das $\ \overline x $ mit dem Umfang n der statistischen Masse multipliziert, dann erhält man die Merkmalssumme $\ \sum_{i=1}^n x $. Für das Beispiel 36 der Körpergrößen rechnet man diese Gleichheit nach: $\ {n \cdot \overline x}= {5 \cdot 1,8} =9 $ und $\ \sum_{i=1}^n x_i = 1,8 + 1,7 + 1,75 + 1,85 + 1,9 = 9 $.

Nulleigenschaft sagt aus, dass $$\ \sum_{i=1}^n (x_i - \overline x) =0 $$ was klar wird aus der Rechnung $\ \sum_{i=1}^n (x_i - \overline x)= \sum_{i=1}^n x_i - \sum_{i=1}^n \overline x = n \cdot {1 \over n} \cdot \sum_{i=1}^n x_i- n \cdot \overline x = {n \cdot \overline x} - {n \cdot \overline x}=0 $.
Die positiven und die negativen Abweichungen vom arithmetischen Mittel heben sich also gegenseitig auf. Für das Beispiel 36 der Körpergrößen heißt dies $\ \sum_{i=1}^n (x_i- \overline x) $
$\ = (1,8 – 1,8) + (1,7-1,8) + (1,75-1,8) + (1,85 - 1,8) + (1,9 – 1,8) = 0 + (-0,1) + (-0,05) + 0,05 + 0,1 = 0. $

Optimalitätseigenschaft besagt, dass $$\ \sum_{i=1}^n (x_i-m)^2 $$ Min!, wenn $\ m= \overline x $. Die Summe der quadrierten Abweichungen der Beobachtungswerte $\ x_i $ von einem beliebigen Punkt $\ m $ wird minimal, wenn dieser Punkt das arithmetische Mittel $\ \overline x $ ist. Auch hier wieder das Beispiel 36 der Körpergrößen: wählt man z.B. $\ m = 1 $, dann ist die Summe der quadrierten Abweichungen $\ \sum_{i=}^n (x_i-m)^2 =(1,8-1)^2+(1,7-1)^2+...+(1,9-1)^2=3,225 $ , für $\ m= 2 $ hingegen erhält man $\ \sum_{i=1}^n (x_i-m)^2=0,225 $ , für $\ m= \overline x =1,8 $ schließlich ist die Summe der Abweichungsquadrate $\ \sum_{i=1}^n (x_i-m)^2=0,025 $ , und das ist unter den gegebenen Ergebnissen (und unter allen möglichen) minimal . Die Zahl 0,025 wird nicht unterschritten, kein anderes m liefert einen kleineren Wert.