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Aufgaben 11 bis 15 zur Stichprobentheorie

WebinarTerminankündigung aus unserem Online-Kurs Volks- und Betriebswirtschaft:
 Am 12.01.2017 (ab 18:00 Uhr) findet unser nächstes Webinar statt.
Gratis-Webinar Grundbegriffe der Bilanzierung
- In diesem 60-minütigen Gratis-Webinar gibt Daniel Lambert einen Überblick über die zentralen Begriffe der Bilanzierung - hier im Besonderen dem Bilanzausweis.
[weitere Informationen] [Terminübersicht]

Aufgabe 11

Regelmäßig treffen sich Erwerbstätige aus zwei unterschiedlichen Großunternehmen A und B. Sie spielen zum Beispiel Fußball miteinander. Anschließend verbringen sie den Rest des Abends gemeinsam. Nun diskutieren sie über unterschiedliche Aspekte des täglichen Lebens. Auf einmal sagt ein Erwerbstätiger aus Unternehmen A, dass er anhand von 61 Erwerbstätigen aus dem Bereich Bereich B das monatliche Durchschnittseinkommen der Erwerbstätigen aus Unternehmen B schätzen könnte ?

  1. Entscheiden Sie, ob dies tatsächlich geht. Beide verständigen sich auf eine Zuverlässigkeit von

    95 %. Es ist bekannt, dass die Standardabweichung 300 € beträgt. Das Ziel ist letztendlich, dass das Durchschnittseinkommen auf 75 € genau geschätzt wird.

  2. Was ändert sich, wenn das Konfidenzniveau 99 % beträgt ?

Lösung

Wir bezeichnen mit das $\overline x$ Durchschnittseinkommen einer Stichprobe von Erwerbstätigen
aus Unternehmen B. Sei $\mu $ das tatsächliche durchschnittliche Einkommen dieser Erwerbstätigen.

Zu a):
Da das Konfidenzniveau in der Aufgabenstellung gegeben ist zu $1-\alpha =0,95\text<=>\alpha =0,05,$                      können    wir $1-\frac{\alpha } 2$    bestimmen zu 0,975. 

Das 0,975 -Fraktil der Standardnormalverteilung ist gegeben durch: $z_{0,975}=1,96.$

Das Einkommen auf plus minus 75 € genau geschätzt werden, d.h. L = 150.
Wir verwenden die Formel für den notwendigen Stichprobenumfang und erhalten:

$n\geqslant \left(\frac{2\sigma z} L\right)^2=\left(\frac{300\ast 1,96}{75}\right)^2=61,47.$

Also sind mindestens 62 Personen zu befragen, damit das Durchschnittseinkommen der Erwerbstätigen aus Unternehmen B auf $\pm 75\text €$ genau geschätzt werden kann.


Zu b): Nun ist das Konfidenzniveau gegeben durch:

$1-\alpha =0,99\text\alpha =0,01.$

Dann erhalten wir: $1-\frac{\alpha } 2=0,995.$
Aus einer Tabelle kann das 0,995-Fraktil der Standardnormalverteilng entnommen werden zu
2,57.

Durch Einsetzen in die Formel ergibt sich:

$n\geqslant \left(\frac{2\sigma z} L\right)^2=\left(\frac{300\ast 2,57}{75}\right)^2=105,68.$
Nun sind mindestens 106 Personen zu befragen, damit das Durchschnittseinkommen der Erwerbstätigen aus Unternehmen B auf $\pm 75\text €$ genau geschätzt werden kann.

Aufgabe 12

Ein Bauer stellt fest, dass in der Region, in der er seinen Bauernhof hat die Nachfrage nach Birnen enorm groß ist. Anfänglich hat er drei Birnenbäume. Aufgrund der großen Nachfrage nach Birnen, entschließt er sich seinem Nachbarn sechs Birnenbäume abzukaufen. Dabei bleiben die Bäume selbstverständich an ihrem Platz stehen. Der einzige Unterschied ist nun, dass der Ertrag der Bäume ihm gehört und vom Nachbarn nicht mehr geerntet werden darf. Aus langjähriger Erfahrung ist bekannt, dass die Erträge normalverteilt sind.

Im ersten und zweiten Jahr führt er genau Buch über den Ertrag der Bäume. Es ergab sich dabei folgende Stichprobe bei den neun Bäumen:

Baum

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Jahr u

32,5

33,5

34

35,5

34

32

33,5

32,5

34

Jahr v

33

34

34,5

38

37,5

35

35,5

38

36

Er sieht sofort, dass Abweichungen auftreten. Er weiß, dass die Jahre sich hinsichtlich der Witterung stark unterschieden haben  Um ganz sicher zu sein möchte er den entsprechenden Test durchführen. Führen Sie den entsprecheden Test durch, um zu entscheiden ob Witterungsverhältnisse verantwortlich für die Änderung des Ertrages sind. Das Signifikanzniveau beträgt 0,05.

Lösung

Hier geht es nun darum zu testen, ob Witterungsverhältnisse der Grund für die Ertragsänderung sind. Die Komponente Witterungsverhältniss können wir anhand der Differenz der jeweiligen Erträge darstellen, d.h.

Baum 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Jahr u 32,5 33,5 34 35,5 34 32 33,5 32,5 34
Jahr v 33 34 34,5 38 37,5 35 35,5 38

36

Differenz $d_i$ -0,5 -0,5 -0,5 -2,5 -3,5 -3 -2 -5,5 -2 -2,22

Da die Erträge (U,V) in den beiden Jahren von denselben Bäumen stammen liegen zwei verbundene Stichproben vor. Hatten nun die Witterungsverhältnisse Einfluß auf die Erträge, so wird $\mu _d$   ungleich null sein. Im anderen Fall wird $\mu _d$    gleich null sein.
Somit erhalten wir nach dieser Transformation zwei verbundene Stichproben mit

$\overline d=\overline x_1=\frac 1 9\sum _{i=1}^9d_i=-2,22\text{ }\text{ }\text{und}\text{ }\text{ }\overline x_2=0.$

Auswahl des richtigen Tests

1. Frage: Wie viele Stichproben liegen vor ?
Antwort: Es liegen nach Voraussetzung zwei verbundene Stichproben vor. Es wurden für zwei Jahre Stichproben von denselben Bäumen genommen.
Folgerung: Somit können wir uns sofort Schema c) zuwenden.

2. Frage: Betrifft die Hypothese einen Parameter oder eine Verteilung ?
Antwort: Die Hypothese bezieht sich auf die Erwartungswerte. 
Folgerung: Tests  3.4.1-3.4.5.

4. Frage: Wie sind die Grundgesamtheiten verteilt ?
Antwort: Die Grundgesamtheiten sind beide normalverteilt. 
Folgerung: Test  3.4.1 unter Vorbehalt.

5. Frage: Was soll verglichen werden ?
Antwort: Es sollen die jeweiligen Erwartungswerte verglichen werden, d.h.  $\mu _1=\mu _d\text{ }\text{und}\text{ }\mu _2.$
Folgerung: Definitiv Test  3.4.1

 1. Schritt:  Anwendungsvoraussetzungen

Diese sind, wie gerade festgestellt,  erfüllt..

 2. Schritt: Hypothesenwahl

    a)  $H_0:\mu _d=0$              gegen    $H_1:\mu _d\neq 0$ 

 3. Schritt: Signifikanzniveau

$\alpha =0,05.$

 4. Schritt: Testfunktionswert

$\text v=\frac{-2,22-0}{\sqrt{\frac 1{9-1}\sum _{i=1}^9(d_i-0-(\overline x_1-0))^2}}\sqrt 9$

$\text =\frac{-2,22-0}{\sqrt{\frac 1 8\sum _{i=1}^9(d_i+2,22)^2}}\sqrt 9=\frac{-2,22-0}{\sqrt{2,7569}}\ast \sqrt 9=-4,01.$

 5. Schritt:  Verwerfungsbereich


  a) $B=\text (-\infty ;-t_{0,975}\text )\cup \text (t_{0,975};\infty \text )=\text (-\infty ;-2,31\text )\cup \text (2,31;\infty \text )$

 6. Schritt: Testentscheidung

$H_0$  wird verworfen, da $\text v\in \mathit{B.}$

Interpretation

Auf einem Signifikanzniveau von fünf Prozent kann nicht signifikant gezeigt werden, dass die Witterungsverhältnisse der Grund für die unterschiedlichen Erträge sind.

Aufgabe 13

Nach einer Landtagswahl möchte man sofort eine Hochrechnung durchführen. Diesbezüglich werden 50000 Personen befragt. Dabei haben sich folgende Werte ergeben:

Von den insgesamt Befragten Personen gaben 30000 Personen an die Partei Q gewählt zu haben. Andererseits äußerten 20000 Wähler, dass sie mit der Partei Q vollkommen unzufrieden waren und sie somit dieser Partei nicht ihre Stimme gaben.

Von den aktuellen Befürwortern der Partei Q äußerten 15000, dass sie die Partei bei der letzten Wahl auch gewählt haben. Man erfuhr zudem, dass bei den 20000 Wählern, welche die Partei Q ablehnten, 10000 sie das vorherige mal gewählt haben.

Eine weitere Information ist die, dass man weiß, dass bei der vorherigen Landtagswahl 55 % der Wähler für Partei Q gestimmt haben. Berechnen Sie das 95 % -Konfidenzintervall für die Wahlprognose

  1. ohne Berücksichtigung der Sekundärinformation.

  2. mit Berücksichtigung der Sekundärinformation.

Lösung

Es liegt eine Zufallsstichprobe von n = 50000 vor. Das Wahlverhalten kann in folgender Tabelle dargestellt werden. Die Sekundärinformation ist gegeben durch: $P_X=55\text{\%}.$

$Y_i=0$       $Y_i=1$      
$X_i=0$      10000 15000 25000
$X_i=1$      10000 15000 25000
20000 30000 50000

Zu a):
Das 95 % -Konfidenzintervall für die Wahlprognose   $P_Y$   wird nun bestimmt:

Welches Kochrezept kann angewendet werden ?
Es ist nach dem Anteil eines dichotomen Merkmals in der Grundgesamtheit gefragt.
Das „Baumschema“ führt uns sofort zu Kochrezept 6.

1. Schritt: Das Konfidenzniveau ist gegeben durch:

2. Schritt: Dann ist:  $1-\frac{0,05} 2=0,975.$

3. Schritt: Das arithmetische Mittel ist gegeben durch:   $\frac{30000}{50000}=0,6.$

4. Schritt: Das 0,975-Fraktil z der N(0;1) Verteilung ist gegeben durch: z = 1,96.

  • Es liegt Fall a) vor, weil die Grundgesamtheit binomialverteilt ist.
  • Zudem gilt: 
    $50000\ast 0,6=30000\geqslant 5\text{ }\text{und}\text{ }30000\ast 0,6=30000\leqslant 49995.$


5. Schritt: Als Schätzung für die Standardabweichung erhält man den Wert

$\hat{\sigma }=\sqrt{\overline x(1-\overline x)}=\sqrt{0,6\ast (1-0,6)}\approx 0,49$                

6. Schritt: Die halbe Breite des Konfidenzintervalls ist gegeben durch:

$\frac{0,49\ast 1,96}{\sqrt{50000}}\approx 0,0042$

7. Schritt: Schließlich folgt für das Konfidenzintervall der vorliegenden Stichprobe:

$\mathit{KI}=[0,6-0,0042;0,6+0,0042]=[0,5958;0,60042]$

Zu b):
Wenn nun die bekannte Information X (der Wähleranteil lag bei der letzten Wahl bei     $P_X=0,55\text )$         ausgenutzt wird, so ergibt sich als Differenzenschätzer: $\hat{\overline Y}_D=0,6+(0,55-0,5)=0,65.$

Aus der sich ergebenden Verteilung von  $d_k=y_k-x_k$         kann die Varianz geschätzt werden. 
Die Größe $d_k=-1$      wird angenommen, wenn $Y=0\text{ }\text{und}\text{ }X=1.$ 
Anhand obiger Tabelle sehen wir, dass dies 10000 mal geschehen kann.
Genau so stellen wir fest, dass die Größe     $d_k=0$      dann angenommen wird, wenn X = 0 und Y = 0 oder wenn X = 1 und Y = 1. Also geschieht dies 10000+15000=25000 mal.
Letztlich wird uns auch klar, dass der Wert $d_k=1$    nur dann realisiert wird, wenn Y = 1 und X = 0,
d.h. 15000 mal.

Zusammenfassend schreiben wir dies in eine Tabelle auf:

$d_k$     -1 0 1
Häufigkeit 10000 25000 15000

Das Konfidenzintervall für den Schätzer $\hat{\overline Y}_D$   kann jetzt bestimmt werden.
Es ist ein Konfidenzintervall für die Wahlprognose gesucht. Die Grundgesamtheit ist beliebig verteilt mit  n = 50000. Also kann Kochrezept 5 angewendet werden. 

1. Schritt: Das Konfidenzniveau ist gegeben durch: 

$1-\alpha =95{\%}\text<=>\alpha =0,05$

2. Schritt: Dann ist: $1-\frac{0,05} 2=0,975.$

3. Schritt: Das 0,975-Fraktil z der N(0;1) Verteilung ist gegeben durch: z = 1,96.

Nach Voraussetzung gilt: $n\text > 30.$

4. Schritt: Das arithmetische Mittel ist gegeben durch:

$$\overline d=\frac{-1\ast 10000+0\ast 25000+1\ast 15000}{50000}=0,1.$$

Die Varianz in der Grundgesamtheit ist nicht bekannt, so das wir die Größe $\hat{\sigma }^2=\sum _{i=1}^{50000}\frac{(d_i-\overline d)^2}{50000-1}=\sum _{i=1}^{50000}\frac{(d_i-0,1)^2}{49999}$          berechnen.

Es ist  

$\begin{gathered}\hat{\sigma }^2=\sum _{i=1}^{1000}\frac{(d_i-0,1)^2}{1000-1}
=\frac{10000\ast (-1-0,1)^2+25000\ast (0-0,1)^2+15000\ast (1-0,1)^2}{49999}\\\text{ }
=\frac{12100+250+12150}{49999}\approx 0,49.\end{gathered}$

5. Schritt: Für die halbe Breite des Konfidenzintervalls erhalten wir:

$\frac{\sqrt{0,49}\ast 1,96}{\sqrt{50000}}\approx 0,0061.$

6. Schritt: Das Konfidenzintervall der vorliegenden Stichprobe ist somit:

$\mathit{KI}=[0,65-0,0061;0,65+0,0061]=[0,6439;0,6561]$

Aufgabe 14

An einer Schule soll eine Studie angefertigt werden. Die Stufe 11 hat dabei insgesamt sechs Klassen. Die uns interessierenden Informationen sind die Körpergröße und das Taschengeld.

Es haben sich folgende Werte für die Zahl der Schüler an der Schule in der entsprechenden Klasse der Stufe ergeben:

Klassse

Σ

Klasse 1

64

Klasse 2

75

Klasse 3

82

Klasse 4

87

Klasse 5

137

Klasse 6

114

Für die Körpergrößen in den einzelnen Klassen ergaben sich untenstehende Werte. Die Größe $\mathit{KL}_i1$ bezeichnet dabei den i-ten gezogenen Schüler in der ersten Klasse.

Lösung Aufgabe 14_Teil 1a

Für das Taschengeld hat man folgende Werte in Euro ermitteln können.

Lösung Aufgabe 14_Teil 1b

Aus Kostengründen können nicht mehr als 50 Schüler pro gewählter Schicht befragt werden. Wenn möglich wählen Sie die Werte der Körpergrößen so, dass sie sich untereinander unterscheiden. Das Ergebnis soll selbstverständlich optimal sein.

  1. Wie sind hier die Schichten zu wählen ?

  2. Ziehe eine geschichtete Stichprobe, wobei vorausgesetzt werden darf, dass größere Schichten einen

    größeren Anteil in der Stichprobe erhalten sollen.

  3. Bestimme den geschichteten Schätzer.

Führen Sie die Schritte von eins zu a), b) und c) auch für das Taschengeld durch. Hier gelten die gleichen Annahmen und Voraussetzungen wie bei eins.

Lösung

Zunächst müssen wir die einzelnen Werte aufsummieren, um weiter voranzukommen. Das heißt

Zu a)

Klasse

Σ

Klasse 1

64

Klasse 2

75

Klasse 3

82

Klasse 4

87

Klasse 5

137

Klasse 6

114

Σ

559

Zu b)

Für die Körpergrößen in den einzelnen Klassen ergaben sich untenstehende Werte.
Die Größebe $\mathit{KL}_i1$ zeichnet dabei den i-ten gezogenen Schüler in der 1 Klasse. 
Wir werden hier die Größe der jeweiligen Stichprobe $\mathit{KL}_i1$ ermitteln
Bei der weiteren Vorgehensweise müssen wir (aus kostengründen) vielleicht einige Schüler aus der Stichprobe rausnehmen. Diese Größen werden dann unterstrichen dargestellt. Es ist empfehlensert hier die proportionale Aufteilung zu wählen. Die entsprechenden Anteile der Stichproben sind in der 9 -ten Zeile berechnet. Das heißt die jeweilige Stichprobengröße

Aufgabe 14_b

Nun sind wir in der Lage den geschichteten Schätzer zu bestimmen. Er ist gegeben durch:

$\hat{\overline Y}_{\mathit{GS}}$
=$\frac 1{559}(64\ast 160,86+75\ast 161,38+82$
$\ast 168,75+87\ast 172,78+137\ast 173,54+114\ast 183,82)$
=171,73.

Zu 2:

Zu a): Die Schichten sind hier auch die Klassen.

Zu b):

Auch hier müssen wegen des Kostenfaktors vielleicht einige Schüler rausgenommen werden. Diese werden analog obigen Beispiels unterstrichen dargestellt. 
Auch hier wählen wir die proportionale Aufteilung. Die entsprechenden Anteile der Stichproben sind in der neunten Zeile berechnet. Das heißt die jeweilige Stichprobengröße.

Lösung Aufgabe 14a

Zu c):

Wir berechnen nach obigen Vorgehen den geschichteten Schätzer zu:

$\hat{\overline Y}_{\mathit{GS}}$
=$\frac 1{559}\left(64\ast 3,67+75\ast 4,13+82\ast 9,25+87\ast 7,67+137\ast 17,54+114\ast 9,82\right)$

=9,83

Aufgabe 15

Der Inhaber eines Supermarkts vermutet, dass der Supermarkt in Verruf geraten ist. Der Grund für diese Annahme ist, dass er an mehreren Orten an - dem man den Inhaber nicht kennt - hört, dass der betreffende Supermarkt schlecht sei in Bezug auf die Produkte und die Kundenbetreuung. Der Inhaber des Marktes entschließt sich eine Befragung seiner Kunden durchzuführen. Dazu werden die Kunden nach ihrem Einkauf höflich gefragt, ob die Produktpalette gut sei und ob die Kundenbetreuung gut sei. Diese Umfrage fand 31 Tage lang statt. Die ermittelten Werte wurden jeweils am ende der Ladenzeit notiert. Dabei ergaben sich folgende Werte für die unzufriedenen Kunden:

Die folgenden Zahlen sind so geordnet, dass die erste Zahl (von links nach rechts gelesen) sich auf den ersten Tag, die zweite Zahl auf den zweiten Tag beziehen u.s.w.

50

60

55

20

30

110

80

40

60

66

59

40

76

57

40

46

50

85

75

60

62

87

79

80

65

59

45

44

39

2

5

a) Die Untersuchung soll repräsentativ die Kundenzufriedenheit in den entsprechenden Supermärkten widerspiegeln.

b) Wie viele enttäuschte Kunden erwarten Sie pro Tag ?

c) Wie groß ist die Standardabweichung der Verteilung der Mittelwerte ?

Lösung

Zu a):

Zunächst stellen wir die Werte übersichtlich in einer Tabelle dar. Dann ergibt sich folgende Tabelle:

Lösung Aufgabe 15

Bezeichne nun $x_i$ die Zahl der am i-ten Tag unzufriedenen Kunden.

Dann wird sofort ersichtlich, dass   $\hat{\mu }=\frac 1{31}\sum _{i=1}^{31}x_i=\frac{1726}{31}=55,68.$

Zu b):

Die geschätzte Populationsvarianz ist dann gegeben durch:

$\hat{\sigma }^2=\frac 1{31-1}\sum _{i=1}^{32}(50-55,68)^2+(60-55,68)^2+...+(6-55,68)^2$

$\approx 547,49$

Zu c):

Der Standardfehler des Mittelwertes ist dann gegeben durch:

$\sigma _{\overline x}=\sqrt{\frac{\hat{\sigma }^2}{31}}\approx 4,2.$

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Autor: Daniel Lambert

Dieses Dokument Aufgaben 11 bis 15 zur Stichprobentheorie ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Stichprobentheorie.

Dipl.-Math. Dipl.-Kfm. Daniel Lambert gibt seit vielen Jahren Kurse zur Prüfungsvorbereitung. Er unterrichtet stets orientiert an alten Prüfungen und weiß aus langjähriger Erfahrung, wie sich komplexe Sachverhalte am besten aufbereiten und vermitteln lassen. Daniel Lambert ist Repetitor aus Leidenschaft seit nunmehr 20 Jahren.
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Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

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    • Einleitung zu Übersicht über auftretende Symbole
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    • Schätzfunktionen
      • Einleitung zu Schätzfunktionen
      • Aufgaben, Beispiele und Berechnungen zu Schätzfunktionen
    • Eigenschaften von Schätzfunktionen
      • Einleitung zu Eigenschaften von Schätzfunktionen
      • Aufgaben, Beispiele und Berechnungen zur Erwartungstreue
    • Asymptotische Erwartungstreue
    • Effizienz
    • Konsistenz
    • Konfidenzintervalle
      • Einleitung zu Konfidenzintervalle
      • Vorgehensweisen, Kochrezepte zur Bestimmung des entsprechenden Konfidenzintervalls
      • Anwendung der Kochrezepte auf Beispiele
      • Aufgaben, Berechnungen und Beispiele zu Konfidenzintervallen
      • Notwendiger Stichprobenumfang
  • Testtheorie
    • Einleitung zu Testtheorie
    • Signifikanztests bei einfachen Stichproben
    • Mehrstichprobentests bei unabhängigen Stichproben
    • Tests bei zwei verbundenen Stichproben
    • Fehlerarten
    • Hypothesenauswahl
      • Einleitung zu Hypothesenauswahl
      • Funktionsweise eines Tests am Beispiel des Einstichproben-Gaußtests
    • Testverteilungen
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      • Einleitung zu Differenzenschätzung
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    • Einleitung zu Regressionsrechnung (Regressionsschätzer)
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