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Stichprobentheorie - Aufgaben 21 bis 25 zur Stichprobentheorie

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Stichprobentheorie

Aufgaben 21 bis 25 zur Stichprobentheorie

Aufgabe 21

Das Signifikanzniveau wird auch Überschreitungswahrscheinlichkeit genannt. Wenn Sie nun eine bildliche Darstellung dieser Überschreitungswahrscheinlichkeit vor Augen haben, versuchen Sie folgende Fragen zu beantworten:                                                                                                                            

Für das Ausmaß einer Prüfgröße sei die einseitige Überschreitungswahrscheinlichkeit bekannt. Sie habe die Größe 2,5 % .


a) Für welche Prüfverteilungen kann daraus die Überschreitungswahrscheinlichkeít für eine zweiseitige
Hypothesenprüfung sofort bestimmt werden ?
b) Bestimmen Sie nun aus dem obigen Wert die Überschreitungswahrscheinlichkeít im Falle, dass eine
normalverteilte Prüfgröße vorliegt.

Lösung

Zu a):
Dies geht einzig bei symmetrischen Prüfverteilungen. Nur dort kann die zweiseitige Überschreitungswahrscheinlichkeit direkt aus der einseitigen Überschreitungswahrscheinlichkeit ermittelt werden. Dies geht somit bei folgenden Verteilungen:
Normalverteilungen und t-Verteilungen.


Zu b):
Die zweiseitige Überschreitungswahrscheinlichkeít berechnet sich zu 2,5% + 2,5% = 5%.

Aufgabe 22

In einer Grundgesamtheit sei ein Merkmal X näherungsweise normalverteilt. Wir stellen uns nun vor, dass wir unendlich viele Stichproben der Größe n = 121 ziehen.                                                    

Anschließend bestimmen wir für jede der Stichproben den Mittelwert.

a) Was ist dann für die Verteilung der Stichprobenmittelwerte zu erwarten.
b) Durch welche Größen wird bezüglich a) die Breite des Konfidenzintervalls bestimmt ? 

Lösung

Zu a):
Wir haben uns für das Ziehen von Stichproben vom Umfang $n=121$ entschlossen und zudem ist das Merkmal X in der Population normalverteilt, so dass die Stichprobenmittelwerte auch normalverteilt sind. Dies gilt wegen der Reproduktionseigenschaft der Normalverteilung.


Zu b):
Die Breite des Konfidenzintervalls ist für Stichprobenmittelwerte abhängig

  • vom Signifikanzniveau (Konfidenzniveau) für das Konfidenzintervall. Das Signifikanzniveau hat natürlich eine direkte Auswirkung auf den Verwerfungsbereich.  
  • von der Standardabweichung $\sigma .$
  • von dem Stichprobenumfang n.

Aufgabe 23

Die Körpergröße ist bei erwachsenen Menschen aus einer bestimmten Region annährend normalverteilt. Es wird eine Stichprobe vom Umfang n = 235 gezogen. Diese umfaßt sowohl Männer als auch Frauen. Dabei ergab sich für die Größe ein Durchschnittswert von 182 cm und eine Standardabweichung von acht cm.

a) In welchem Bereich wird der Mittelwert der Grundgesamtheit aufgefunden werden können, mit einer
Wahrscheinlichkeit von 99% ?

Lösung

Zu a):
Wir schauen uns das „Baumschema“ an. Dieses führt uns sofort zu dem Lambert – Kochrezept 5.
Es ist nach Voraussetzung n > 30.

1. Schritt: Das Konfidenzniveau beträgt: $1-\alpha =99\text{\%}.$

Dann nimmt das Signifikanzniveau den Wert ein Prozent an, d.h. $\alpha =0,01.$

2. Schritt:  $1-\frac{\alpha } 2=1-\frac{0,01} 2=0,995.$

3. Schritt: Das 0,995- Fraktil der  N(0;1)-Verteilung ist gegeben durch: z = 2,57.

4. Schritt: Das arithmetische Mittel ist gegeben zu:  $\overline x=182.$
               Die Standardabweichung ist gegeben zu:  $\sigma =\hat{\sigma }=8.$

5. Schritt: Die halbe Breite des Konfidenzintervalls ist dann: $\frac{8\ast 2,57}{\sqrt{235}}$   =1,34.

6. Schritt: Schließlich ergibt sich das Konfidenzintervall zu:

$\mathit{KI}=\left[182-1,34;182+1,34\right]=[180,66;183,34]$

Der Populationsmittelwert ist mit 99 % Wahrscheinlichkeit zwischen 180,66 und 183,34 aufzufinden.

Aufgabe 24

Bekannt sei die Verteilung eines Merkmals in einer Grundgesamtheit.  Diese sei $N(\mu ;\sigma )-\text{verteilt}.$

Dasselbe Merkmal wird nun in einer Stichprobe der Größe n gezogen. Es ergeben sich die Werte: $\overline x\text{und s .}$

a) Welche Möglichkeiten stehen zur Verfügung, um zu entscheiden, ob die Stichprobe bezüglich des Mittelwertes als Zufallsstichprobe aus der Grundgesamtheit angesehen werden kann ?

Lösung

Zum Beispiel könnten folgende Möglichkeiten angewendet werden:

  • Vergleich des Stichprobenmittelwertes mit dem Populationsmittelwert.

Aufgabe 25

Ein Unternehmen V verkauft Produkte nur an Großabnehmer. Dies deswegen, weil es dann seine Produkte zu vergünstigten Preisen anbieten kann. Um dort also einen Einkauf tätigen zu können müssen folgende Voraussetzungen erfüllt sein:

a) Die gekaufte Menge muss entsprechend groß sein.
b) Es ist nötig sich bei diesem Unternehmen als Kunde zu registrieren.
                                                                                                                                                                 

Somit weiß das Unternehmen V, dass es jetzt genau 8000 Kunden hat. Nun werden n = 46 Kunden über ihre Kauferfahrung befragt. Da das Unternehmen einen Interessenschwerpunkt hat, werden folgende Antwortmöglichkeiten angeboten: Die Wartezeit zur Bearbeitung eines Auftrags ist zu groß.

1 = stimme vollkommen zu bis hin zu 4= stimme überhaupt nicht zu.
                                                                                                                                                                      Anhand einer Stichprobe ergibt sich der Mittelwert 1,6 und eine Standardabweichung von 0,85.                      

Wie wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % die Entscheidung aller 8000 Kunden ausfallen ?                             

Es kann vorausgesetzt werden, dass die Stichprobe ein repräsentatives Abbild aller Kunden ist.

Lösung

Letztendlich ist ein Schätzwert für den Mittelwert aller Kunden gesucht.
Wir schauen uns das Baumschema an und stellen fest, dass das Lambert-Kochrezept 5 uns weiterhilft.

1. Schritt: Das Konfidenzniveau ist gegeben durch:

$1-\alpha =95{\%}<=>\alpha =5{\%}.$

2. Schritt: $1-\frac{\alpha } 2=1-\frac{0,05} 2=0,975.$

3. Schritt: Das 0,975-Fraktil der Standardnormalverteilung ist: z=1,96.

4. Schritt: $\overline x=1,6\text{ }\text{und}\text{ }\hat{\sigma }=0,85.$

5. Schritt: Die halbe Breite des Konfidenzintervalls ist gegeben durch:

$\frac{\hat{\sigma }z}{\sqrt n}=\frac{0,85\ast 1,96}{\sqrt{46}}$           = 0,25.

6. Schrittt: Als Konfidenzintervall ergibt sich:

KI=[1,6-0,25;1,6+0,25]=[1,35; 1,625].

Der Mittelwert aller Befragten würde also zwischen 1,35 und 1,625 liegen.