Aufgaben 51 bis 55 zur Stichprobentheorie

Wenn Schichten vorliegen, so ist eine bessere Übersicht über die Gruppen gegeben.
Des Weiteren sind die Unterschiede in den Gruppen minimal (Schichtungsprinzip). Es kann Homogenität in den Gruppen erreicht werden (Schichtungsprinzip). Dadurch kommt es auch zu einer Reduzierung des zufälligen Fehlers. Dann ist sofort ersichtlich, dass der Versuchsfehler insgesamt reduziert wird, da sich dieser aus dem systematischen und zufälligen Fehler zusammensetzt.
Wenn wir die obigen Feststellungen uns anschauen sehen wir sofort, dass selbstverständlich Unterschiede zwischen den Schichten besser erkennbar werden.
Also sind die Antworten  zwei bis fünf richtig.
Die richtige Antwort ist d).

Die richtige Lösung ist d). Also ergeben sich bei diesen Kriterien 18 Schichten.

Anschaulich kann dies folgendermaßen dargestellt werden: Es wird hier die
Schichtung für ein Geschlecht (w) dargestellt. Die für das andere sieht genauso aus.

Für das weibliche Geschlecht ergeben sich neuen Schichten und somit insgesamt 2 * 9 = 18 Schichten.

Nur der Würfel (oder erzeugen einer Zufallszahl) sorgt für eine zufällige Einteilung in die entsprechende Gruppe.
Also Antwortmöglichkeit a).
Bei allen anderen Vorgehensweisen handelt es sich mehr um eine Zuteilung nach einem zugrundeliegenden System.
Etwaige „Gruppenzuteiler“ oder zukünftige Gruppenzugehörige unterliegen (unbewußten) subjektiven Einflüßen.
Daher sind die Antworten b) und c) falsch.
Aus statistischen Beobachtungen weiß man, dass die Zahl sieben am Häufigsten gewählt wird, wenn man eine Person auffordert eine Zahl zwischen eins und acht zu wählen. Deswegen ist auch d) falsch.

Zu a):
Wir schauen uns das „Baumschema“ an und stellen fest, dass hier das Lambert-Kochrezept  5  angewendet werden kann.

1. Schritt: Das Konfidenzniveau beträgt:  $1-\alpha =95{\%}<=>\alpha =5{\%}.$

2. Schritt: Also $1-\frac{0,05} 2=0,975.$

3. Schritt: Bestimmung des 0,975-Fraktils z der N(0,1) -Verteilung. z ist gegeben durch: z= 1,96.

4. Schritt: Gegeben $\overline x=80000\text{€}.$
Da die Varianz in der Grundgesamtheit nicht  bekannt ist, wird $\hat{\sigma }=20000\text{€}$ verwendet.

5. Schritt:.Berechnung der halben Breite des Konfidenzintervalls, d.h.

$\frac{20000\ast 1,96}{\sqrt{125}}$         =3506,15.

6. Schritt: Abschließend ergibt sich das Konfidenzintervall für die vorliegende Stichprobe zu:

$\mathit{KI}=\left[80000-3506,15;80000+3506,15\right]=[76493,85;83506,15]$

Zu b):
Zunächst stellen wir ohne jegliche Schwierigkeiten fest, dass der Erwartungswert der Grundgesamtheit (N) gegeben ist durch: $\mu =\frac{\mathit{Summe}\mathit{aller}\mathit{Einkommen}} N.$

Dies können wir natürlich folgendermaßen schreiben:

$\mathit{Summe}\mathit{aller}\mathit{Enkommen}=N\frac{\mathit{Summe}\mathit{aller}\mathit{Einkommen}} N=N\mu$
 
Die Schätzfunktion für $N\mu $   kann sofort angegeben werden zu:    $N\overline X.$

Es gilt offensichtlich:

$E(N\overline x)=NE(\overline x)=N\mu \text{ }\text{und}\text{ }\mathit{VAR}(N\overline x)=N^2\mathit{VAR}(\overline x)=N^2\frac{\sigma ^2} n.$

Dabei ist: $\overline x$    das arithmetische Mittel.  

Also ist die Schätzfunktion nach dem zentralen Grenzwertsatz näherungsweise

$\left(N\ast \mu ;\frac{N\ast s}{\sqrt n}\right)$        - normalverteilt.

Wir interessieren uns für ein Kofidenzintervall für $N\mu $   bei normalverteilter Grundgesamtheit und bekannter Varianz.

Wir können somit das Lambert-Kochrezept 1 anwenden.

Also folgt für das Konfidenzintervall für $N\mu$   zum Konfidenzniveau 95 %.

1. Schritt: $1-\alpha =95{\%}<=>\alpha =5{\%}.$

2. Schritt:  $1-\frac{\alpha } 2=0,975.$

3. Schritt: Das 0,975-Fraktil z der Standardnormalverteilung ist  z = 1,96.

4. Schritt: Wir ermitteln das arithmetische Mittel zu

$N\overline x=25000\ast 80000$                 =2000000000.

5. Schritt: $\frac{\sigma Nz}{\sqrt n}=20000\ast 25000\frac{1,96}{\sqrt{125}}$                      =87653864,72.

6. Schritt:

$\mathit{KI}=\left[2000000000-87653864,72;2000000000-87653864,72\right]$              
=[1912346135,28;2087653864,72].

Zu c):
Der Anteil $\gamma $  des zu versteuernden Einkommens unter 60000 €  in der Grundgesamtheit kann mittels des Lambert-Kochrezepts 6 ermittelt werden.

1. Schritt: $1-\alpha =95{\%}.$

2. Schritt: $1-\frac{5{\%}} 2=0,975.$

3. Schritt: $\overline x=\frac{25}{125}=0,2,$          nach Voraussetzung.

4. Schritt: Das 0,975-Fraktil der Standardardnormalverteilung ist gegeben durch z= 1,96.

Es gilt:  $n\overline x=125\ast 80000\geqslant 5\text{ }\text{und}\text{ }125\ast 80000\leqslant 80000-5=79995.$

5. Schritt:  $\hat{\sigma }=\sqrt{0,2(1-0,2)}=0,4.$    

6.  Schritt: $\frac{\hat{\sigma }z}{\sqrt n}=\frac{0,4\ast 1,96}{\sqrt{125}}$        =0,07.

7. Schritt: Nun erhalten wir für das Konfidenzintervall der vorliegenden Stichprobe:

KI=[0,2-0,07;0,2+0,07] =[0,13;0,27].  

Der Anteil der zu berücksichtigten Einkommen unter 60000 € liegt zwischen 13 % und 27 %.


Zu d):
Insgesamt beträgt sie Zahl der zu versteuernden Einkommen unter 60000€  in der Grundgesamtheit:  $N\gamma .$
Dieser Wert kann geschätzt werden durch die Funktion $N\overline X.$   Diese Funktion ist nach dem zentralen Grenzwertsatz approximativ $N\left(N\overline X;N\sqrt{\frac{\overline X(1-\overline X)} n}\right).$
Zum Signifikanzniveau 5% ergibt sich für das  Konfidenzintervall für $N\gamma :$

$\mathit{KI}=[N\ast \overline x-z\ast N\sqrt{\frac{\overline x(1-\overline x)} n};N\ast \overline x+z\ast N\sqrt{\frac{\overline x(1-\overline x)} n}]$

$\mathit{KI}=[25000\ast 0,2-1,96\ast 25000\ast 0,07;25000\ast 0,2+1,96\ast 25000\ast 0,07]$       
= [1570;8430].

Die Gesamtzahl der zu versteuernden Einkommen unter 60000 € liegt zwischen 1570 und 8430.

Natürlich ist der Chi-quadrat-Unabhängigkeitstest sehr empfehlenswert.

Zur besseren Übersicht ordnen wir die einzelnen Werte in einer Tabelle an, so dass

Auswahl des richtigen Tests

1. Frage: Wie viele Stichproben liegen vor ?
Antwort: Es liegen nach Voraussetzung zwei verbundene Stichproben vor.
Das Interesse zu den Gebieten hängt nun mal vom Geschlecht ab.

Folgerung: Das heißt Schema c).

2. Frage: Betrifft die Hypothese einen Parametervergleich von Verteilungen oder bezieht sie sich auf die Abhängigkeit der beiden Merkmale X und Y ?
Antwort: Die Hypothese  bezieht sich auf die Abhängigkeit der beiden Merkmale X und Y.
Folgerung: Es kommen Tests 3.4.4  und 3.4.5  in Betracht.

3. Frage: Was soll getestet werden ?
Antwort: Es soll getestet werden, ob X und Y unabhängig sind.
Folgerung: Test 3.4.4.

1. Schritt: Anwendungsvoraussetzungen

Da beide Grundgesamtheiten beliebig verteilt sind, sind sämtliche Voraussetzungen erfüllt.

2. Schritt: Hypothesenwahl

$H_0:$    Die beiden Merkmale Geschlecht X und Interesse Y der Grundgesamtheit sind unabhängig.

$H_1:$    Die beiden Merkmale sind abhängig.

3. Schritt: Signifikanzniveau

$\alpha =5{\%}.$

4. Schritt: Kontingenztabelle

Die zugehörige Kontingenztabelle lautet:

Dann erhalten wir für die Prüfgröße v:

$\begin{gathered}v=\frac{(20-37)^2}{37}+\frac{(100-64,75)^2}{64,75}+\frac{(30-24,67)^2}{24,67}+\frac{(10-18,5)^2}{18,5}+\frac{(25-40,1)^2}{40,1}\\\text{ }\text +\frac{(40-23)^2}{23}+\frac{(5-40,25)^2}{40,25}+\frac{(10-15,33)^2}{15,33}+\frac{(20-11,5)^2}{11,5}+\frac{(40-24,91)^2}{24,91} \end{gathered}$

= 98,46

5. Schritt: Verwerfungsbereich

Es liegen zwei Merkmale vor, nämlich männlich und weiblich.
Die Ausprägungen gehen von Politik bis hin zu Sport. Also insgesamt fünf.
Das heißt: k = 5 und l = 2.

$B=\text (x_{1-\alpha };\infty \text ).$

Es ist x das Fraktil der $\chi _{0,95}^2((5-1)(2-1))=\chi ^2(4)$                  -Verteilung.

Also $B=\text (9,49;\infty \text ).$

6. Schritt: Testentscheidung

$H_0$       wird verworfen, da  $98,46=v\in \mathit{B.}$

Interpretation:

Auf einem Signifikanzniveau von fünf Prozent kann nicht gezeigt werden, dass  die beiden Merkmale Geschlecht X und Interesse Y der Grundgesamtheit unabhängig sind. Wir akzeptieren, dass Geschlecht X und Interesse Y abhängig sind.