Aufgaben 51 bis 55 zur Stichprobentheorie

Schichten bieten eine bessere Übersicht der einzelnen Gruppen. Die Unterschiede innerhalb der Gruppen sind allerdings auf Grund des Schichtungsprinzips minimal, wodurch eine Einheitlichkeit in der Gruppe entstehen kann. Eine Reduktion des zufälligen Fehlers geht damit gleichermaßen einher. Zu sehen ist damit auch, dass es zu einer Minimierung des Versuchungsfehlers kommt, da sich dieser aus dem systematischen und zufälligen Fehler zusammensetzt. Anhand der genannten Schlussfolgerung wird deutlich, dass die offensichtlichen Unterschiede zwischen den Schichten zu sehen sind. Demnach sind die Antwortmöglichkeit d) 2 - 5 richtig.

Die richtige Antwort lautet d) 18 Schichten.
Zu begründen sei diese Antwort damit: Die Schichtung wird für ein Geschlecht (m) vorgenommen, welche gleichermaßen für das andere gilt. Es resultieren für das männliche Geschlecht neun Schichten, demnach 2 * 9 = 18 Schichten.

Richtig ist Antwort a), denn ausschließlich der Würfel sorgt durch das erzeugen einer Zufallszahl für eine zufällige Einteilung in die jeweiligen Gruppen.
Alle anderen Antwortmöglichkeiten unterliegen einem bestimmten System bei der Zuteilung in Gruppen. So basieren Gruppenzuteilungen häufig auf unbewussten oder subjektiven Einflüssen, weswegen die Antworten b) und c) auszuschließen sind.
Statistische Erfahrungswerte zeigten bereits in der Vergangenheit, dass die Zahl 7 zu den beliebtesten Zahlen zählt und aus diesem Grund am häufigsten gewählt wird, wenn eine Zahl zwischen eins und acht zu wählen ist. Demnach kann ebenso Antwort d) ausgeschlossen werden.

Zu a):
Mit Hilfe des Baumschemas gelangen wir zu Schema 5.

1. Das Konfidenzniveau liegt bei:  $1-\alpha =95{\%}<=>\alpha =5{\%}.$

2. Demnach $1-\frac{0,05} 2=0,975.$

3. Die Bestimmung des 0,975-Fraktils z der N(0,1) -Verteilung z liegt vor durch: z= 1,96.

4. Gegeben ist $\overline x=80000\text{€}.$
Es wird $\hat{\sigma }=20000\text{€}$ verwendet, weil die Varianz in der Grundgesamtheit nicht bekannt ist.

5. Die halbe Breite des Konfidenzintervalls wird berechnet, d.h.

$\frac{20000\ast 1,96}{\sqrt{125}}$         =3506,15.

6. Schlussendlich resultiert das Konfidenzintervall für die gegebene Stichprobe zu:

$\mathit{KI}=\left[80000-3506,15;80000+3506,15\right]=[76493,85;83506,15]$

Zu b):
Wir können problemlos feststsellen, dass der Erwartungswert der Grundgesamtheit (N) vorliegt durch: $\mu =\frac{\mathit{Summe}\mathit{aller}\mathit{Einkommen}} N.$

Festzuhalten wäre dies folgendermaßen:

$\mathit{Summe}\mathit{aller}\mathit{Enkommen}=N\frac{\mathit{Summe}\mathit{aller}\mathit{Einkommen}} N=N\mu$
 
Die Schätzfunktion für $N\mu $   kann direkt für    $N\overline X$ gegeben werden.

Eindeutig gilt:

$E(N\overline x)=NE(\overline x)=N\mu \text{ }\text{und}\text{ }\mathit{VAR}(N\overline x)=N^2\mathit{VAR}(\overline x)=N^2\frac{\sigma ^2} n.$

Das arithmetische Mittel ist $\overline x$      

Die Schätzfunktion ist nach dem zentralen Grenzwertsatz ansatzweise

$\left(N\ast \mu ;\frac{N\ast s}{\sqrt n}\right)$        - normalverteilt.

Von Interesse ist das Kofidenzintervall für $N\mu $   bei normalverteilter Grundgesamtheit und bekannter Varianz.

Somit sei Schema 1 anzuwenden.

Demnach folgt für das Konfidenzintervall für $N\mu$   zum Konfidenzniveau 95 %

1. $1-\alpha =95{\%}<=>\alpha =5{\%}.$

2. $1-\frac{\alpha } 2=0,975.$

3. Das 0,975-Fraktil z der Standardnormalverteilung ist  z = 1,96.

4. Zu bestimmen ist das arithmetische Mittel zu

$N\overline x=25000\ast 80000$                 =2000000000.

5. $\frac{\sigma Nz}{\sqrt n}=20000\ast 25000\frac{1,96}{\sqrt{125}}$                      =87653864,72.

6. $\mathit{KI}=\left[2000000000-87653864,72;2000000000-87653864,72\right]$              
=[1912346135,28;2087653864,72].

Zu c):
Das Schema 6 hilft dabei, das $\gamma $  des zu versteuernden Einkommens unter 60000 €  in der Grundgesamtheit zu bestimmen.

1. $1-\alpha =95{\%}.$

2. $1-\frac{5{\%}} 2=0,975.$

3. $\overline x=\frac{25}{125}=0,2$          nach Voraussetzung.

4. Das 0,975-Fraktil der Standardardnormalverteilung liegt vor durch z= 1,96.

Demnach gilt:  $n\overline x=125\ast 80000\geqslant 5\text{ }\text{und}\text{ }125\ast 80000\leqslant 80000-5=79995.$

5. $\hat{\sigma }=\sqrt{0,2(1-0,2)}=0,4.$    

6.  $\frac{\hat{\sigma }z}{\sqrt n}=\frac{0,4\ast 1,96}{\sqrt{125}}$        =0,07.

7. Wir bekommen für das Konfidenzintervall der gegebenen Stichprobe:

KI=[0,2-0,07;0,2+0,07] =[0,13;0,27].  

Für die berücksichtigten Einkommen unter 60000 € liegt der Anteil zwischen 13 % und 27 % vor.


Zu d):
Die Zahl beträgt insgesamt $N\gamma $ für die zu versteuernden Einkommen unter 60000€ .

Mittels der Funktion $N\overline X$ kann dieser Wert geschätzt werden.  Gemäß des zentralen Grenzwertsatzes ist diese Funktion approximativ $N\left(N\overline X;N\sqrt{\frac{\overline X(1-\overline X)} n}\right).$
Bei einem 5%-igen Signifikanzniveau ergibt sich das Konfidenzintervall für $N\gamma :$

$\mathit{KI}=[N\ast \overline x-z\ast N\sqrt{\frac{\overline x(1-\overline x)} n};N\ast \overline x+z\ast N\sqrt{\frac{\overline x(1-\overline x)} n}]$

$\mathit{KI}=[25000\ast 0,2-1,96\ast 25000\ast 0,07;25000\ast 0,2+1,96\ast 25000\ast 0,07]$       
= [1570;8430].

Die Gesamtzahl befindet sich zwischen 1570 und 8430 für die zu versteuernden Einkommen unter 60000 €.

Zu empfehlen sei selbstverständlich der Chi-quadrat-Unabhängigkeitstest.
Zugunsten einer besseren Übersicht, werden die einzelnen Werte in einer Tabelle wie folgt angeordnet:

Wahl des richtigen Tests

1. Wie viele Stichproben sind gegeben?
-> Es sind nach Voraussetzung zwei verbundene Stichproben gegeben.
Die Interessensgebiete hängen maßgeblich vom Geschlecht ab.
-> Folglich ist Schema c) anzuwenden.

2. Bezieht sich die Hypothese auf einen Parametervergleich von Verteilungen oder auf die Abhängigkeit der beiden Merkmale X und Y?
-> Die Hypothese betrifft die Abhängigkeit der beiden Merkmale X und Y.
-> Folglich können die Tests 3.4.4  und 3.4.5  in Erwägung gezogen werden.

3. Was genau ist zu testen?
-> Getestet werden soll die Unabhängigkeit von X und Y.
-> Folglich ist der Test 3.4.4 anzuwenden.

1. Anwendungsvoraussetzungen

Diese sind gegeben, da es sich bei beiden um beliebig verteilte Grundgesamtheiten handelt.

2. Wahl der Hypothese

$H_0:$    Es liegt eine Unabhängigkeit der beiden Merkmale von Geschlecht X und Interesse Y der Grundgesamtheit vor.

$H_1:$    Es liegt eine Abhängigkeit beider Merkmale vor.

3. Signifikanzniveau

$\alpha =5{\%}.$

4. Kontingenztabelle

Die zugehörige Kontingenztabelle lautet:

Für die Prüfgröße v erhalten wir somit:

$\begin{gathered}v=\frac{(20-37)^2}{37}+\frac{(100-64,75)^2}{64,75}+\frac{(30-24,67)^2}{24,67}+\frac{(10-18,5)^2}{18,5}+\frac{(25-40,1)^2}{40,1}\\\text{ }\text +\frac{(40-23)^2}{23}+\frac{(5-40,25)^2}{40,25}+\frac{(10-15,33)^2}{15,33}+\frac{(20-11,5)^2}{11,5}+\frac{(40-24,91)^2}{24,91} \end{gathered}$

= 98,46

5. Verwerfungsbereich

Gegeben sind zwei Merkmale, männlich und weiblich.
Es handelt sich um fünf Ausprägungen, bei denen die Interessen von Politik bis Sport gehen.
Demnach: k = 5 und l = 2.

$B=\text (x_{1-\alpha };\infty \text ).$

Es ist x das Fraktil der $\chi _{0,95}^2((5-1)(2-1))=\chi ^2(4)$                  -Verteilung.

Demnach $B=\text (9,49;\infty \text ).$

6.  Testentscheidung

Auf Grund von $98,46=v\in \mathit{B.}$ wird $H_0$ verworfen.

7. Deutung:

Auf der Grundlage eines 5%-igen Signifikanzniveaus konnte nicht verdeutlicht werden, dass die beiden Merkmale Geschlecht X und Interesse Y der Grundgesamtheit unabhängig sind. Demnach wird schlussgefolgert, dass Geschlecht X und Interesse Y abhängig zueinander sind.