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Wahrscheinlichkeitsrechnung - Zentraler Grenzwertsatz

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Wahrscheinlichkeitsrechnung

Zentraler Grenzwertsatz

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Die Aussage des Zentralen Grenzwertsatzes lässt sich in Worten dadurch beschreiben, dass die Summe von unabhängigen, identisch verteilten Zufallsvariablen Xi für immer größeres n sich beliebig genau durch eine Normalverteilung berechnen lässt, d.h. dass die Verteilung von $\sum _{i\;=\;1}^nX_i$ immer besser durch N(n·μ, σ·$\sqrt n$) beschrieben wird – hierbei bezeichnet μ den Erwartungswert von Xi, also μ = E(Xi), und σ die Standardabweichung von Xi, also σ = $\sqrt{\mathit{Var}(X_i)}$. Also:

Zentraler Grenzwertsatz

Merke

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Xi seien unabhängig, identisch verteilte Zufallsvariablen mit bekanntem Erwartungswert E(Xi) = μ und bekannter Varianz Var(Xi) = σ. Dann gilt, dass die standardisierte Zufallsvariable

Yn = $\frac{\sum _{i\;=\;1}^nX_i\;-\;n_{\mu }}{\sigma \sqrt n}$ =  $\frac{\overline X_n\;-\;\mu }{\sigma }$· $\sqrt n$ 

für wachsendes n immer besser durch die Standardnormalverteilung N(0,1) genähert werden kann. Anders ausgedrückt:

P(Yn ≤ x) $\genfrac{}{}{0pt}{0}{n\;\rightarrow \;\infty }{\rightarrow }$ Ф (x).

Die Zufallsvariable $\overline X_n$ wird standardisiert, weil die Grenzverteilung von $\sum _{i\;=\;1}^n\;$ Xi, nämlich N(n·μ, σ·$\sqrt n$), noch von der Anzahl n abhängig ist, was als nachteilig empfunden wird.
Die standardisierte Zufallsvariable Yn =$\frac{\sum _{i\;=\;1}^nX_i\;-\;n_{\mu }}{\sigma \sqrt n}$ hat diesen Nachteil nicht mehr, die Zufallsvariable N(0,1) ist unabhängig von n.

 

Der Zwecks des Zentralen Grenzwertsatzs ist es, obwohl die exakte Verteilung der einzelnen Xi unbekannt ist, es zu ermöglichen, einfach die entsprechende Normalverteilung zu nehmen, um Wahrscheinlichkeiten näherungsweise zu berechnen, da das Ergebnis  für immer größeres n brauchbar ist.

Beispiel

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Die aus dem vorigen Kapitel erwähnte Wählmarke wird n = 5 mal bzw. n = 15 mal geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass bei n – fachem Münzwurf höchstens 0,6·n mal schwarz fällt, und zwar

  1. exakt
  2. mit Hilfe des Zentralen Grenzwertsatzes.

Exakte Lösung mit der Binomialverteilung

Die einzelnen Xi sind binomialverteilt mit dem Erwartungswert μ = E(Xi) = 1· $1 \over 2$ = 0,5 und der Standardabweichung σ = $\sqrt{1\;\cdot \;\frac 1 2\;\cdot \;(1\;-\;\frac 1 2)}$ = 0,5.
Da die einzelnen Xi unabhängig voneinander sind, gilt $\sum _{i\;=\;1}^n\;$ Xi ~ B(n, $1 \over 2$) als exakte Verteilung.

Für n = 5 gilt also mit der B(5,$1 \over 2$) – Verteilung:

P($\sum _{i\;=\;1}^{5}\;$Xi ≤ 3) = P($\sum _{i\;=\;1}^{5}\;$Xi = 0) + P($\sum _{i\;=\;1}^{5}\;$Xi = 1) + ... + P($\sum _{i\;=\;1}^{5}\;$Xi = 3)

= $\left(\genfrac{}{}{0pt}{0}{5}0\right)$· $\left(\frac 1 2\right)^0$· $\left(1\;-\;\frac 1 2\right)^{5\;-\;0}$ +  $\left(\genfrac{}{}{0pt}{0}{5}1\right)$· $\left(\frac 1 2\right)^1$· $\left(1\;-\;\frac 1 2\right)^{5\;-\;1}$ + ... +  $\left(\genfrac{}{}{0pt}{0}{5}{3}\right)$· $\left(\frac 1 2\right)^{3}$· $\left(1\;-\;\frac 1 2\right)^{5\;-\;3}$

=$\left(\frac 1 2\right)^{5}$+5·$\left(\frac 1 2\right)^{5}$+10·$\left(\frac 1 2\right)^{5}$+10·$\left(\frac 1 2\right)^{5}$

= $\left(\frac 1 2\right)^{5}$ ·(1 + 5 + 10 +10)

= $\frac{26}{2^{5}}$ = 0,812

 

Approximative Lösung:

Approximativ – also mit Hilfe des Zentralen Grenzwertsatzes – rechnet man mit der entsprechenden Normalverteilung, die von n abhängig ist:

für n = 5: $\sum _{i\;=\;1}^{5}\;$ Xi ~ N(5·$\frac 1 2$;  $\sqrt{5}$· $\sqrt{0,25}$) = N(2,5; $\sqrt{1,25}$)

Für n = 5 rechnet man approximativ:

P($\sum _{i\;=\;1}^{5}\;$Xi ≤ 3) = P($\frac{\sum _{i\;=\;1}^{5}X_i\;-\;5\;\cdot \;\frac 1 2}{\frac 1 2\;\cdot \;\sqrt{5}}$ ${\leq}$  $\frac{3\;-\;2,5}{\frac 1 2\;\cdot \;\sqrt{5}}$)

= Ф($\frac {0,5} {\frac 1 2\;\cdot \;\sqrt{5}}$) = Ф (0,447) = 0,67364.

Die Abweichung zwischen dem exakten Wert – 0,812 und dem approximativen Ergebnis ist also 0,138.

 

Für n = 15 rechnet man analog. Zur Übung rechne doch ersteinmal für dich und klappe dann die Box auf.

Vertiefung

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Für n = 15

Exakte Lösung: 

P($\sum _{i\;=\;1}^{15}\;$ Xi ≤ 9) = P($\sum _{i\;=\;1}^{15}\;$ Xi = 0) + P($\sum _{i\;=\;1}^{15}\;$ Xi = 1) + ... + P($\sum _{i\;=\;1}^{15}\;$ Xi = 9)

=$\left(\genfrac{}{}{0pt}{0}{15}0\right)$· $\left(\frac 1 2\right)^0$· $\left(1\;-\;\frac 1 2\right)^{15\;-\;0}$ +  $\left(\genfrac{}{}{0pt}{0}{15}1\right)$· $\left(\frac 1 2\right)^1$· $\left(1\;-\;\frac 1 2\right)^{15\;-\;1}$  + ... +  $\left(\genfrac{}{}{0pt}{0}{15}9\right)$· $\left(\frac 1 2\right)^9$· $\left(1\;-\;\frac 1 2\right)^{15\;-\;9}$

=$\left(\frac 1 2\right)^{15}$+15·$\left(\frac 1 2\right)^{15}$+105·$\left(\frac 1 2\right)^{15}$+455·$\left(\frac 1 2\right)^{15}$+1365·$\left(\frac 1 2\right)^{15}$+3003·$\left(\frac 1 2\right)^{15}$+5005·$\left(\frac 1 2\right)^{15}$+6435· $\left(\frac 1 2\right)^{15}$+6435· $\left(\frac 1 2\right)^{15}$+5005·$\left(\frac 1 2\right)^{15}$

= $\left(\frac 1 2\right)^{15}$ ·(1 + 15+ 455 + 1365 + 3003 + 5005 + 6435 + 6435 + 5005)

= $\frac{27824}{2^{15}}$ = 0,849. Als exakte Wahrscheinlichkeit.

 

Approximative Lösung:

für n = 15: $\sum _{i\;=\;1}^{15}\;$ Xi ~ N(15·$\frac 1 2$;  $\sqrt{15}$· $\sqrt{0,25}$) = N(7,5; $\sqrt{3,75}$)

P($\sum _{i\;=\;1}^{15}\;$Xi ≤ 9) = Ф($\frac{9\;-\;7,5}{\frac 1 2\;\cdot \;\sqrt{15}}$) = Ф(0,775) = 0,7823.

Die Abweichung zwischen dem exaktem Wert 0,849 und dem approximativ richtigen ist nun lediglich noch –0,0667.

Wir sehen also, dass bei größerem n die Abweichung immer kleiner wird.

 

Zentraler Grenzwert

Video: Zentraler Grenzwertsatz