Zentraler Grenzwertsatz

Die Aussage des Zentralen Grenzwertsatzes lässt sich in Worten dadurch beschreiben, dass die Summe von unabhängigen, identisch verteilten Zufallsvariablen X_i für immer größeres n sich beliebig genau durch eine Normalverteilung berechnen lässt, d.h. dass die Verteilung von $\sum _{i\;=\;1}^nX_i$ immer besser durch N(n·μ, σ·$\sqrt n$) beschrieben wird – hierbei bezeichnet μ den Erwartungswert von X_i, also μ = E(X_i), und σ die Standardabweichung von X_i, also σ = $\sqrt{\mathit{Var}(X_i)}$. Also:

Zentraler Grenzwertsatz

Merke

Beispiel

Exakte Lösung mit der Binomialverteilung

Die einzelnen X_i sind binomialverteilt mit dem Erwartungswert μ = E(X_i) = 1·½ = 0,5 und der Standardabweichung σ = $\sqrt{1\;\cdot \;\frac 1 2\;\cdot \;(1\;-\;\frac 1 2)}$ = 0,5. Da die einzelnen X_i unabhängig voneinander sind, gilt $\sum _{i\;=\;1}^n\;$ X_i ~ B(n, 1/2) als exakte Verteilung.

Für n = 10 rechnet man also mit der B(10,1/2) – Verteilung:

P($\sum _{i\;=\;1}^{10}\;$ X_i ≤ 6) = P($\sum _{i\;=\;1}^{10}\;$ X_i = 0) + P($\sum _{i\;=\;1}^{10}\;$ X_i = 1) + ... + P($\sum _{i\;=\;1}^{10}\;$ X_i = 6)

= $\left(\genfrac{}{}{0pt}{0}{10}0\right)$· $\left(\frac 1 2\right)^0$· $\left(1\;-\;\frac 1 2\right)^{10\;-\;0}$ +  $\left(\genfrac{}{}{0pt}{0}{10}1\right)$· $\left(\frac 1 2\right)^1$· $\left(1\;-\;\frac 1 2\right)^{10\;-\;1}$  + ... +  $\left(\genfrac{}{}{0pt}{0}{10}6\right)$· $\left(\frac 1 2\right)^6$· $\left(1\;-\;\frac 1 2\right)^{10\;-\;6}$

= $\left(\frac 1 2\right)^{10}$ + 10· $\left(\frac 1 2\right)^{10}$ + 45· $\left(\frac 1 2\right)^{10}$ + 120· $\left(\frac 1 2\right)^{10}$ + 210· $\left(\frac 1 2\right)^{10}$ + 252· $\left(\frac 1 2\right)^{10}$ + 210· $\left(\frac 1 2\right)^{10}$

= $\left(\frac 1 2\right)^{10}$ ·(1 + 10 + 45 + 120 + 210 + 252 + 210)

= $\frac{848}{2^{10}}$

= 0,828.

Für n = 20 gilt analog

P($\sum _{i\;=\;1}^{20}\;$X_i ≤ 12) = P($\sum _{i\;=\;1}^{10}\;$X_i = 0) + P($\sum _{i\;=\;1}^{10}\;$X_i = 1) + ... + P($\sum _{i\;=\;1}^{10}\;$X_i = 12)

= $\left(\genfrac{}{}{0pt}{0}{20}0\right)$· $\left(\frac 1 2\right)^0$· $\left(1\;-\;\frac 1 2\right)^{20\;-\;0}$ +  $\left(\genfrac{}{}{0pt}{0}{20}1\right)$· $\left(\frac 1 2\right)^1$· $\left(1\;-\;\frac 1 2\right)^{20\;-\;1}$ + ... +  $\left(\genfrac{}{}{0pt}{0}{20}{12}\right)$· $\left(\frac 1 2\right)^{12}$· $\left(1\;-\;\frac 1 2\right)^{20\;-\;12}$

= $\left(\frac 1 2\right)^{20}$ ·(1 + 20 + 190 + 1.140 + 4.845 + 15.504 + 38.760 + 77.520 + 125.970 + 167.960 + 184.756 + 167.960 + 125.970)

= $\frac{910.596}{2^{20}}$ = 0,8684

als exakte Wahrscheinlichkeit.

Approximative Lösung

Approximativ – d.h. mit Hilfe des Zentralen Grenzwertsatzes – rechnet man mit der entsprechenden Normalverteilung, die von n abhängig ist:

für n = 10: $\sum _{i\;=\;1}^{10}\;$ X_i ~ N(10·$\frac 1 2$;  $\sqrt{10}$· $\sqrt{0,25}$) = N(5; $\sqrt{2,5}$)

für n = 20: $\sum _{i\;=\;1}^{20}\;$ X_i ~ N(20·$\frac 1 2$;  $\sqrt{20}$· $\sqrt{0,25}$) = N(10; $\sqrt{5}$)

also für n = 10:

P($\sum _{i\;=\;1}^{10}\;$X_i ≤ 6) = P($\frac{\sum _{i\;=\;1}^{10}X_i\;-\;10\;\cdot \;\frac 1 2}{\frac 1 2\;\cdot \;\sqrt{10}}$ ${\leq}$  $\frac{6\;-\;5}{\frac 1 2\;\cdot \;\sqrt{10}}$)

= Ф($\frac 1{\frac 1 2\;\cdot \;\sqrt{10}}$) = Ф (0,6325) = 0,736.

Die Abweichung zwischen dem exakten Wert – 0,828 und dem approximativen Ergebnis ist also 0,092.

Für n = 20 rechnet man approximativ

P($\sum _{i\;=\;1}^{20}\;$X_i ≤ 12) = Ф($\frac{12\;-\;10}{\frac 1 2\;\cdot \;\sqrt{20}}$) = Ф(0,8944) = 0,8133.

Die Abweichung zwischen dem wahren Wert 0,8684 und dem approximativ richtigen ist nun lediglich noch –0,0551. Bei größerem n wird diese Abweichung daher immer kleiner.

Zentraler Grenzwert