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Zentraler Grenzwertsatz

WebinarTerminankündigung:
 Am 08.12.2016 (ab 18:00 Uhr) findet unser nächstes Webinar statt.
Gratis-Webinar Diskrete und stetige Verteilungen in der Wahrscheinlichkeitsrechnung
- In diesem 60-minütigen Gratis-Webinar gehen wir darauf ein, welche diskreten und stetigen Verteilungen Sie in der Prüfung beherrschen müssen.
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Die Aussage des Zentralen Grenzwertsatzes lässt sich in Worten dadurch beschreiben, dass die Summe von unabhängigen, identisch verteilten Zufallsvariablen Xi für immer größeres n sich beliebig genau durch eine Normalverteilung berechnen lässt, d.h. dass die Verteilung von $\sum _{i\;=\;1}^nX_i$ immer besser durch N(n·μ, σ·$\sqrt n$) beschrieben wird – hierbei bezeichnet μ den Erwartungswert von Xi, also μ = E(Xi), und σ die Standardabweichung von Xi, also σ = $\sqrt{\mathit{Var}(X_i)}$. Also:

Zentraler Grenzwertsatz

Methode

Xi seien unabhängig, identisch verteilte Zufallsvariablen mit bekanntem Erwartungswert E(Xi) = μ und bekannter Varianz Var(Xi) = σ. Dann gilt, dass die standardisierte Zufallsvariable
Yn = $\frac{\sum _{i\;=\;1}^nX_i\;-\;n_{\mu }}{\sigma \sqrt n}$ =  $\frac{\overline X_n\;-\;\mu }{\sigma }$· $\sqrt n$ für wachsendes n immer besser durch die Standardnormalverteilung N(0,1) approximiert werden kann, anders ausgedrückt:
P(Yn ≤ x) $\genfrac{}{}{0pt}{0}{n\;\rightarrow \;\infty }{\rightarrow }$ Ф (x).

Merke

Merke

  • Man standardisiert die Zufallsvariable $\overline X_n$, da die Grenzverteilung von $\sum _{i\;=\;1}^n\;$ Xi, nämlich N(n·μ, σ·$\sqrt n$), noch von der Anzahl n abhängig ist, was als störend empfunden wird. Die standardisierte Zufallsvariable Yn =$\frac{\sum _{i\;=\;1}^nX_i\;-\;n_{\mu }}{\sigma \sqrt n}$ hat diesen Nachteil nicht mehr, die Zufallsvariable N(0,1) ist unabhängig von n.

  • Der Sinn des Zentralen Grenzwertsatzs ist: obwohl die exakte Verteilung der einzelnen Xi unbekannt ist, so ist es doch möglich, einfach die entsprechende Normalverteilung zu nehmen, um Wahrscheinlichkeiten approximativ zu berechnen, denn das Ergebnis ist für immer größeres n brauchbar.

Beispiel

Beispiel

Wir werfen die o.e. faire Münze aus Beispiel 8.1 n = 10 mal bzw. n = 20 mal. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass bei n – fachem Münzwurf höchstens 0,6×n mal Kopf fällt, und zwar

  • exakt

  • mit Hilfe des Zentralen Grenzwertsatzes.

Exakte Lösung mit der Binomialverteilung

Die einzelnen Xi sind binomialverteilt mit dem Erwartungswert μ = E(Xi) = 1·½ = 0,5 und der Standardabweichung σ = $\sqrt{1\;\cdot \;\frac 1 2\;\cdot \;(1\;-\;\frac 1 2)}$ = 0,5. Da die einzelnen Xi unabhängig voneinander sind, gilt $\sum _{i\;=\;1}^n\;$ Xi ~ B(n, 1/2) als exakte Verteilung.

Für n = 10 rechnet man also mit der B(10,1/2) – Verteilung:

P($\sum _{i\;=\;1}^{10}\;$ Xi ≤ 6) = P($\sum _{i\;=\;1}^{10}\;$ Xi = 0) + P($\sum _{i\;=\;1}^{10}\;$ Xi = 1) + ... + P($\sum _{i\;=\;1}^{10}\;$ Xi = 6)

= $\left(\genfrac{}{}{0pt}{0}{10}0\right)$· $\left(\frac 1 2\right)^0$· $\left(1\;-\;\frac 1 2\right)^{10\;-\;0}$ +  $\left(\genfrac{}{}{0pt}{0}{10}1\right)$· $\left(\frac 1 2\right)^1$· $\left(1\;-\;\frac 1 2\right)^{10\;-\;1}$  + ... +  $\left(\genfrac{}{}{0pt}{0}{10}6\right)$· $\left(\frac 1 2\right)^6$· $\left(1\;-\;\frac 1 2\right)^{10\;-\;6}$

= $\left(\frac 1 2\right)^{10}$ + 10· $\left(\frac 1 2\right)^{10}$ + 45· $\left(\frac 1 2\right)^{10}$ + 120· $\left(\frac 1 2\right)^{10}$ + 210· $\left(\frac 1 2\right)^{10}$ + 252· $\left(\frac 1 2\right)^{10}$ + 210· $\left(\frac 1 2\right)^{10}$

= $\left(\frac 1 2\right)^{10}$ ·(1 + 10 + 45 + 120 + 210 + 252 + 210)

= $\frac{848}{2^{10}}$

= 0,828.

Für n = 20 gilt analog

P($\sum _{i\;=\;1}^{20}\;$Xi ≤ 12) = P($\sum _{i\;=\;1}^{10}\;$Xi = 0) + P($\sum _{i\;=\;1}^{10}\;$Xi = 1) + ... + P($\sum _{i\;=\;1}^{10}\;$Xi = 12)

= $\left(\genfrac{}{}{0pt}{0}{20}0\right)$· $\left(\frac 1 2\right)^0$· $\left(1\;-\;\frac 1 2\right)^{20\;-\;0}$ +  $\left(\genfrac{}{}{0pt}{0}{20}1\right)$· $\left(\frac 1 2\right)^1$· $\left(1\;-\;\frac 1 2\right)^{20\;-\;1}$ + ... +  $\left(\genfrac{}{}{0pt}{0}{20}{12}\right)$· $\left(\frac 1 2\right)^{12}$· $\left(1\;-\;\frac 1 2\right)^{20\;-\;12}$

= $\left(\frac 1 2\right)^{20}$ ·(1 + 20 + 190 + 1.140 + 4.845 + 15.504 + 38.760 + 77.520 + 125.970 + 167.960 + 184.756 + 167.960 + 125.970)

= $\frac{910.596}{2^{20}}$ = 0,8684

als exakte Wahrscheinlichkeit.

Approximative Lösung

Approximativ – d.h. mit Hilfe des Zentralen Grenzwertsatzes – rechnet man mit der entsprechenden Normalverteilung, die von n abhängig ist:

für n = 10: $\sum _{i\;=\;1}^{10}\;$ Xi ~ N(10·$\frac 1 2$;  $\sqrt{10}$· $\sqrt{0,25}$) = N(5; $\sqrt{2,5}$)

für n = 20: $\sum _{i\;=\;1}^{20}\;$ Xi ~ N(20·$\frac 1 2$;  $\sqrt{20}$· $\sqrt{0,25}$) = N(10; $\sqrt{5}$)

also für n = 10:

P($\sum _{i\;=\;1}^{10}\;$Xi ≤ 6) = P($\frac{\sum _{i\;=\;1}^{10}X_i\;-\;10\;\cdot \;\frac 1 2}{\frac 1 2\;\cdot \;\sqrt{10}}$ ${\leq}$  $\frac{6\;-\;5}{\frac 1 2\;\cdot \;\sqrt{10}}$)

= Ф($\frac 1{\frac 1 2\;\cdot \;\sqrt{10}}$) = Ф (0,6325) = 0,736.

Die Abweichung zwischen dem exakten Wert – 0,828 und dem approximativen Ergebnis ist also 0,092.

Für n = 20 rechnet man approximativ

P($\sum _{i\;=\;1}^{20}\;$Xi ≤ 12) = Ф($\frac{12\;-\;10}{\frac 1 2\;\cdot \;\sqrt{20}}$) = Ф(0,8944) = 0,8133.

Die Abweichung zwischen dem wahren Wert 0,8684 und dem approximativ richtigen ist nun lediglich noch –0,0551. Bei größerem n wird diese Abweichung daher immer kleiner.

Zentraler Grenzwert

Video: Zentraler Grenzwertsatz

Xi seien unabhängig, identisch verteilte Zufallsvariablen mit bekanntem Erwartungswert E(Xi) = μ und bekannter Varianz Var(Xi) = σ.
Multiple-Choice

Welche der folgenden Aussagen kommt der Wahrheit am nächsten?

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Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

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Autor: Daniel Lambert

Dieses Dokument Zentraler Grenzwertsatz ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Dipl.-Math. Dipl.-Kfm. Daniel Lambert gibt seit vielen Jahren Kurse zur Prüfungsvorbereitung. Er unterrichtet stets orientiert an alten Prüfungen und weiß aus langjähriger Erfahrung, wie sich komplexe Sachverhalte am besten aufbereiten und vermitteln lassen. Daniel Lambert ist Repetitor aus Leidenschaft seit nunmehr 20 Jahren.
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    "Weiter so!! viele Grüße aus Nürnberg"

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    Ein Kursnutzer am 08.06.2015:
    "Ich finde, dass Herrn Lambert eine große Gabe hat, schwierige Sachverhalte einfach und strukturiert wiederzugeben. Man gewinnt außerdem den Eindruck, dass er Spaß an der Erklärung hat und an wichtiger Stelle die Fokussierung mit Witz und Präzision in der Wortwahl den Stoff einleuchtend vermittelt. Ich würde mal sagen, das war ein ganz schön dickes LOB! :-) Danke! "

  • Gute Bewertung für Wahrscheinlichkeitsrechnung

    Ein Kursnutzer am 19.01.2015:
    "Super toll , besser als ein Buch"

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