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Stichprobentheorie - Aufgaben 26 bis 30 zur Stichprobentheorie

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Stichprobentheorie

Aufgaben 26 bis 30 zur Stichprobentheorie

Aufgabe 26

In einem Unternehmen soll die „sich selbst verschaffene Motivation“ am Arbeitsplatz der Beschäftigten getestet werden. Deswegen werden folgende Antwortmöglichkeiten vorgegeben.
                                                                                                                                                                                      1 = es wird keine „sich selbst verschaffene Motivation“ aufgebracht bis hin zu 6 = es wird maximal „sich selbst verschaffene Motivation“ an den Tag gelegt.
                                                                                                                                                                                         Da die Beschäftigten abwechselnd in zwei Bereichen tätig sind ergeben sich folgende Werte:

  • Bereich 1:  $\overline x_{\mathit{B1}}=3,9\text{ }s_{\mathit{B1}}=0,7$
  • Bereich 2:  $\overline x_{\mathit{B2}}=4,1\text{ }s_{\mathit{B2}}=1,2.$


a) Wie groß ist der Standardfehler, wenn das Ergebnis auf alle 3000 Beschäftigten verallgemeinert
wird. Das Signifikanzniveau betrage ein Prozent. In den Bereichen arbeiten je 47 Beschäftigte.
b) Welche Kriterien müssen erfüllt sein, damit ein t-Test durchgeführt werden kann ?
Tipp: Dieser („andere“) t-Test sollte etwas ganz bestimmtes berücksichtigen.

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Lösung

Zu a):
Hier ist nun eine getrennte Rechnung für den Bereich eins und Bereich zwei durchzuführen.
Das Baumschema führt uns wieder zu dem Lambert-Kochrezept 5 für beide Konfidenzintervalle.

Bereich 1:

1. Schritt: Das Konfidenzniveau ist gegeben durch:

$1-\alpha =99{\%}<=>\alpha =1{\%}.$

2. Schritt: $1-\frac{\alpha } 2=1-\frac{0,01} 2=0,995.$

3. Schritt: Das 0,995-Fraktil der Standardnormalverteilung ist:  $z=2,58.$

4. Schritt:  $\overline x_{\mathit{B1}}=3,9,\text{ }\hat{\sigma }_{\mathit{B1}}  =0,7.$

5. Schritt: Die halbe Breite des Konfidenzintervalls ist gegeben durch:

$\frac{\hat{\sigma }_{\mathit{B1}}z}{\sqrt n}=\frac{0,7\ast 2,58}{\sqrt{47}}$          =0,26.

6. Schritt: Als Konfidenzintervall ergibt sich:

KI=[3,9-0,26;3,9+0,26]=[3,64; 4,16].

 
Bereich 2:

1. Schritt: Das Konfidenzniveau ist gegeben durch:
$1-\alpha =99{\%}<=>\alpha =1{\%}.$

2. Schritt: $1-\frac{\alpha } 2=1-\frac{0,01} 2=0,995.$

3. Schritt: Das 0,995-Fraktil der Standardnormalverteilung ist:
$z\approx 2,58.$

4. Schritt: 

$\overline x_{\mathit{B2}}=4,1,\text{ }\hat{\sigma }_{\mathit{B2}}=1,2.$

5. Schritt: Die halbe Breite des Konfidenzintervalls ist gegeben durch:

$\frac{\hat{\sigma }_{\mathit{B2}}z}{\sqrt n}=\frac{1,2\ast 2,58}{\sqrt{47}}$          =0,45.

6. Schritt: Als Konfidenzintervall ergibt sich:

KI=[4,1-0,45;4,1+0,45]=[3,65; 4,55].


Zu b): Es liegen zwei verschiedene Variablen aus -Bereich A und Bereich B- einer Stichprobe vor.
Es kann begründet davon ausgegangen werden, dass die ermittelten Ergebnisse eine Wirkung aufeinander ausüben. Eine höhere Motivation im Bereich A könnte durch schlechtere Erfahrungen im Bereich B zustandekommen. An dieser Stelle können wir auf jeden Fall sagen, dass nicht zwei unabhängige Stichproben vorliegen. Also müßte ein t-Test für abhängige Stichproben herangezogen werden.

Aufgabe 27

An einem Gymnasium wurden 83 Schüler gefragt, ob die Lehrer zu streng sind. Anschließend wollte man von den Schülern wissen, ob sie dies auch sein würden, falls sie einen entsprechenden Beruf ausüben sollten. Folgende Skala wurde zur Bewertung ausgelegt:
                                                                                                                                                                        

1 = vollkommene Ablehnung des Verhaltens der Lehrer bis hin zu 6 = gänzliche Zustimmung für das Verhalten der Lehrer.
                                                                                                                                                                               Die gleiche Frage ist auch den Schülern einer Realschule vorgelegt worden. Hier hat man auch 83 Schüler  gefragt. Es ergaben sich folgende konkreten Werte:

  • Schüler des Gymnasiums (1) (Ich würde mich genauso verhalten):  $\overline x_1=1,4\text{ }s_1=0,62$
  • Schüler der Realschule  (2) (Ich würde mich genauso verhalten): 
    $\overline x_2=3,3\text{ }s_2=1,3.$

                                                                                                                                                                       

Nun stellt sich die Frage, ob der Unterschied der Mittelwerte signifikant ist ? Das Signifikanzniveau beträgt ein Prozent. Des Weiteren sind die Grundgesamtheiten normalverteilt.
                                                                                                                                                                       

Bei anstehenden Rundungen zum Schluß soll bei Werten kleiner als 50 nach unten abgerundet werden und ansonsten nach oben. Sie können verwenden, dass $t_{0,995}(100)=2,62.$

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Lösung

Auswahl des richtigen Tests

1. Frage: Wie viele Stichproben liegen vor ?
Antwort: Es liegen nach Voraussetzung zwei einfache Stichproben vom Umfang $n_1=83\text{ }\text{und}\text{ }n_2=83$                  vor.
Entweder Gymnasialschüler oder Realschüler.
Folgerung: Das heißt Schema b).

2. Frage: Betrifft die Hypothese einen Parameter oder eine Verteilung ?
Antwort: Die Hypothese  bezieht sich auf die Parameter „Mittelwerte“.
Folgerung: Es kommen Tests  3.3.1 bis  3.3.5  in Betracht, unter Berücksichtigung der vorherigen Feststellungen.

3. Frage: Was soll verglichen werden ?
Antwort: Es sollen die Mittelwerte verglichen werden.
Folgerung: Tests 3.3.1-3.3.4.

4. Frage: Wie sind die beiden Grundgesamtheiten verteilt ?
Antwort: Die beiden Grundgesamtheiten sind normalverteilt.
Folgerung: Also Tests 3.3.1 oder 3.3.2.

5. Frage: Sind die Standardabweichungen bekannt ?
Antwort: Nein.
Folgerung: Test 3.3.2.

1. Schritt: Anwendungsvoraussetzungen.

Es ist noch zu prüfen, ob Fall I oder Fall II vorliegt. Alle anderen Voraussetzungen sind erfüllt. Da $n_1=n_2$            liegt Fall II vor.

2. Schritt: Hypothesenwahl

a) $H_0:\mu _1=\mu _2$            gegen         $H_1:\mu _1\neq \mu _2.$                                                                                               

3. Schritt: Signifikanzniveau

$\alpha =0,01$

4. Schritt:Testfunktionswert

$\text v=\frac{1,4-3,3}{\sqrt{\frac{(83-1)\ast 0,38+(83-1)\ast 1,69}{83+83-2}\frac{83+83}{83\ast 83}}}=\frac{-1,9}{\sqrt{\frac{31,16+138,6}{164}\frac{166}{6889}}}$                                =-12,03.

5. Schritt: Verwerfungsbereich

Fall II: t-Verteilung mit

$(83-1)\left[1+\frac 2{0,38/1,69+1,69/0,38}\right]$                    =(117,1)
gerundet gleich 100. Freiheitsgraden.

$B=\text (-\infty ;-2,62\text )\cup \text (2,62;\infty \text )$

6. Schritt: Testentscheidung

$H_0$    wird verworfen, da  $-12,03=\text v\in \mathit{B.}$

Interpretation:

Auf einem Signifikanzuniveau von einem Prozent ist der Unterschied der Mittelwerte signifikant.

Aufgabe 28

An einem Gymnasium entscheiden sich 53 % (n = 505) der Schulabgänger eines Jahrgangs für die Aufnahme eines Studiums an einer Universität.                                                                    

Wie genau kann mit diesen Wert die Studienanfängerzahl an einer Universität - des Jahrganges - insgesamt prognostiziert werden. Die genommene Stichprobe sei eine repräsentative Stichprobe eines Jahrganges. Das Konfidenzniveau wird zu 95 % gewählt.

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Lösung

Es ist ein Intervall für den Anteil der Schüler gesucht, die vorhaben an einer Universität zu studieren. Des Weiteren stellen wir sofort fest, dass die Grundgesamtheit dichotom ist. Das heißt: Entweder fällt die Entscheidung für ein Studium an einer Universität oder nicht.
Dann wird anhand des „Baumschemas“ sofort klar, dass dass Lambert Kochrezept 6 zur Anwendung kommt.

Konfidenzintervall für p bei dichotomer Grundgesamtheit:

1. Schritt: Konfidenzniveau:  $1-\alpha =95{\%}<=>\alpha =5{\%}.$

2. Schritt:  $1-\frac{\alpha } 2=0,975.$

3. Schritt: Das arithmetische Mittel in der vorliegenden Stichprobe ist gegeben zu:  $\overline x=53{\%}.$

4. Schritt: Das 0,975- Fraktil z der N(0,1) –Verteilung ist: z = 1,96.
Die Grundgesamtheit kann als binomialverteilt angenommen werden 

5. Schritt: Die Schätzung der Standardabweichung der Zufallsvariablen ist:

$\hat{\sigma }=\sqrt{\overline x(1-\overline x)}=\sqrt{0,53(1-0,53)}$                      =0,5.

6.  Schritt: $\frac{\hat{\sigma }z}{\sqrt n}=\frac{0,5\ast 1,96}{\sqrt{505}}$           =0,04.

7. Schritt: Das Konfidenzintervall der vorliegenden Stichprobe beträgt:

$\mathit{KI}=\left[0,53-0,04;0,53+0,04\right]=[0,49;0,57]$

Erläuterung:

Zwischen 49 % und 57 % der Schulabgänger eines Jahrganges werden sich mit 95 %-Wahrscheinlichkeit für das Studium an einer Universität entscheiden.

Aufgabe 29

a) Ist ein Konfidenzintervall zum Konfidenzniveau 95 % größer als eines zum Konfidenzniveau 99 % ?

b) Welch Auswirkung hat die Zunahme des Stichprobenumfangs bei festem Signifikanzniveau ?

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Lösung

Zu a):
Je größer das Konfidenzniveau, desto größer und somit ungenauer wird das Konfidenzintervall.
Also ist ein Konfidenzintervall zum Konfidenzniveau 99 % größer als eins zum Konfidenzniveau 95 %.


Zu b):
Mit zunehmenden n wird die Streuung kleiner (Wurzel-n-Gesetz). Wird der Stichprobenumfang vergrößert, so wird die Genauigkeit des Konfidenzintrvalls besser, das heißt das Konfidenzintervall wird schmaler.

Aufgabe 30

Welche Aussage ist nicht richtig ? Falls richtige Aussagen dabei sind erklären sie diese kurz.

a) In der Grundgesamtheit ist der zu schätzende Parameter unbekannt.
b) Der zu schätzende Parameter der Grundgesamtheit stellt eine konstante Größe dar.
c) Die Schätzfunktion ist eine Zufallsvariable. Deren Realisation ist abhängig von der Stichprobe.
d) Das Konfidenzintervall ist ein Intervall, welches den zu schätzenden Parameter mit Sicherheit
enthält.
e) Nur durch Wahl einer repräsentativen Stichprobe kann eine erwartungstreue Schätzung ermöglicht
werden.

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Lösung

Antwort: d) ist falsch.
Bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von einem Prozent ergibt sich nur in 99 % aller Fälle ein Konfidenzintervall, das den zu schätzenden Parameter enthält.

Die übrigen Aussagen sind richtig.
Der zu schätzende Parameter ist eine unbekannte Größe a). Diese Größe ist konstant b).
Bei der  Schätzfunktion ist es nun so, dass sie mit jeder Stichprobe einen anderen Schätzwert liefert c). Klar ist, dass die Stichprobe represäntativ sein muss e).
Ansonsten wäre die Schätzung nicht erwartungstreu.