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Stichprobentheorie - Aufgaben 26 bis 30 zur Stichprobentheorie

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Stichprobentheorie

Aufgaben 26 bis 30 zur Stichprobentheorie

26. Aufgabe

In zwei Abteilungen eines Betriebs soll die motivationale Komponente getestet werden. Es stellt sich hierbei die Frage, inwieweit sich die Mitarbeiter während der Arbeitszeit selbst zu motivieren wissen. Da hierbei ein bestimmtes Interesse zugrunde liegt, sind bereits die Wahl der Antwortmöglichkeiten vorgegeben. 
Diese gehen von:

1 = Keine Selbstmotivation
.
.
.
6 = Maximale Selbstmotivation


Aus den zwei getesteten Abteilungen, resultieren die folgenden Werte:

Abteilung 1:  $\overline x_{\mathit{B1}}=3,9\text{ }s_{\mathit{B1}}=0,7$

Abteilung 2:  $\overline x_{\mathit{B2}}=4,1\text{ }s_{\mathit{B2}}=1,2.$

a) Welches Ausmaß hat der Standardfehler bei einer Verallgemeinerung der Ergebnisse auf alle 3000 Angestellte? Gegeben ist ein Signifikanzniveau von einem Prozent. In den Abteilungen arbeiten jeweils 47 Angestellte.

b) Welche Kriterien müssen gegeben sein, um einen t-Test durchführen zu können?

Hinweis

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Etwas ganz bestimmtes sollte durch den („anderen“) t-Test berücksichtigt werden.

Vertiefung

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Lösung

Zu a):
Es sind separate Rechnungen für die Abteilungen eins und zwei durchzuführen.
Mit Hilfe des Baumschemas gelangen wir zum Schema 5 für beide Konfidenzintervalle.

Bereich 1:

1. Das Konfidenzniveau liegt vor durch:

$1-\alpha =99{\%}<=>\alpha =1{\%}.$

2. $1-\frac{\alpha } 2=1-\frac{0,01} 2=0,995.$

3. Das 0,995-Fraktil der Standardnormalverteilung ist:  $z=2,58.$

4. $\overline x_{\mathit{B1}}=3,9,\text{ }\hat{\sigma }_{\mathit{B1}}  =0,7.$

5. Die halbe Breite des Konfidenzintervalls liegt vor durch:

$\frac{\hat{\sigma }_{\mathit{B1}}z}{\sqrt n}=\frac{0,7\ast 2,58}{\sqrt{47}}$          =0,26.

6. Als Konfidenzintervall resultiert:

KI=[3,9-0,26;3,9+0,26]=[3,64; 4,16].

 
Bereich 2:

1. Das Konfidenzniveau liegt vor durch:
$1-\alpha =99{\%}<=>\alpha =1{\%}.$

2. $1-\frac{\alpha } 2=1-\frac{0,01} 2=0,995.$

3. Das 0,995-Fraktil der Standardnormalverteilung ist:
$z\approx 2,58.$

4. $\overline x_{\mathit{B2}}=4,1,\text{ }\hat{\sigma }_{\mathit{B2}}=1,2.$

5. Die halbe Breite des Konfidenzintervalls liegt vor durch:

$\frac{\hat{\sigma }_{\mathit{B2}}z}{\sqrt n}=\frac{1,2\ast 2,58}{\sqrt{47}}$          =0,45.

6. Als Konfidenzintervall resultiert:

KI=[4,1-0,45;4,1+0,45]=[3,65; 4,55].


Zu b):
Zu den Abteilungen  A und B sind zwei verschiedene Variablen einer Stichprobe gegeben. Es kann logisch schlussgefolgert werden, dass die einhergegangenen Ergebnisse gegenseitig aufeinander wirken, sodass beispielsweise eine höhere Selbstmotivation des Bereiches A aufgrund der schlechten Erfahrung hinsichtlich der Selbstmotivation im Bereich B zustande gekommen ist. Demnach kann daraus geschlossen werden, dass die zwei Stichproben nicht unabhängig voneinander sind. Demnach sei ein t-Test für abhängige Stichproben anzuwenden.

27. Aufgabe

In einem Studiengang X wurden die StudentInnen gefragt, ob sie der Meinung sind, dass die DozentInnen zu streng bewerten. Dazu wurden 83 StudentInnen befragt. Im Anschluss wurde die Frage an die StudentInnen gestellt, ob sie selbst denn auch so bewerten würden, wenn sie in dieser beruflichen Stellung wären. Dazu wurde eine Skala von 1-6 angelegt:

1 = vollkommen unfair
.
.
.
6 = vollkommen fair

Die selbe Frage wurde ebenso in dem Studiengang Y gestellt. Dazu wurden erneut 83 StudentInnen befragt. Daraus resultierten die folgenden Werte:

Studiengang X (1) (vollkommen fair, würde genau so bewerten):  $\overline x_1=1,4\text{ }s_1=0,62$

Studiengang Y (2) (vollkommen fair, würde genau so bewerten): 
$\overline x_2=3,3\text{ }s_2=1,3.$

Frage:
Ist der Unterschied der Mittelwerte erheblich? Ein Signifikanzniveau von einem Prozent liegt vor. Es handelt sich um normalverteilte Grundgesamtheiten.

Bei Werten die unter 50 liegen, soll am Ende nach unten abgerundet werden und andernfalls aufgerundet. Zu verwenden ist, dass $t_{0,995}(100)=2,62.$

Vertiefung

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Lösung

Auswahl des richtigen Tests

1. Wie viele Stichproben sind gegeben?
-> Geben sind zwei einfache Stichproben nach Voraussetzung vom Umfang $n_1=83\text{ }\text{und}\text{ }n_2=83.$ Entweder Studiengang X oder Studiengang Y.
-> Folglich ist Schema b) anzuwenden.

2. Bezieht sich die Hypothese auf eine Verteilung oder einen Parameter?
-> Die Hypothese betrifft den „Mittelwert“ Parameter.
-> Folglich können die Tests  3.3.1 bis  3.3.5  unter Berücksichtigung der vorherigen Feststellungen in Erwägung gezogen werden.

3. Was ist zu vergleichen?
-> Zu vergleichen sind die Mittelwerte.
-> Folglich sind die Tests 3.3.1-3.3.4. anzuwenden.

4. Welche Verteilung liegt für die beiden Grundgesamtheiten vor?
-> Es handelt sich um eine Normalverteilung der beiden Grundgesamtheiten.
-> Folglich seien die Tests 3.3.1 oder 3.3.2. anwendbar.

5. Sind die Standardabweichungen gegeben?
-> Nein, die Standardabweichungen sind nicht bekannt.
-> Folglich ist der Test 3.3.2. anzuwenden.

1. Anwendungsvoraussetzungen

Die Voraussetzungen sind erfüllt. Allerdings ist noch zu überprüfen, ob der 1. oder 2. Fall vorliegt. Aufgrund von $n_1=n_2$       handelt es sich um den 2. Fall.

2. Wahl der Hypothese

a) $H_0:\mu _1=\mu _2$            gegen         $H_1:\mu _1\neq \mu _2.$                                                                                               

3. Signifikanzniveau

$\alpha =0,01$

4. Testfunktionswert

$\text v=\frac{1,4-3,3}{\sqrt{\frac{(83-1)\ast 0,38+(83-1)\ast 1,69}{83+83-2}\frac{83+83}{83\ast 83}}}=\frac{-1,9}{\sqrt{\frac{31,16+138,6}{164}\frac{166}{6889}}}$                                =-12,03.

5. Verwerfungsbereich

Fall II: t-Verteilung mit

$(83-1)\left[1+\frac 2{0,38/1,69+1,69/0,38}\right]$                    =(117,1)
gerundet gleich 100. Freiheitsgraden.

$B=\text (-\infty ;-2,62\text )\cup \text (2,62;\infty \text )$

6. Testentscheidung

Weil  $-12,03=\text v\in \mathit{B.}$ wird $H_0$ verworfen.

7. Deutung

Es wird deutlich, dass der Unterschied der Mittelwerte erheblich ist und sich bei einem Signifikanzuniveau von einem Prozent zeigt.

28. Aufgabe

An einer Gesamtschule haben 53 % (n = 505) der AbsolventInnen der 10. Klasse vor mit der Schule weiter zu machen, um das Abitur zu erlangen.

Somit solle mittels des gegebenen Werts vorhergesagt werden können, wie viele SchülerInnen das Abitur antreten möchten. Bei der vorliegenden Stichprobe handelt es sich um eine repräsentative Stichprobe des jeweiligen Jahrgangs. Es wird ein Konfidenzniveau von 95% festgelegt.

Vertiefung

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Lösung

Gefragt wird nach einem Intervall für den Anteil der SchülerInnen, welche das Abitur anstreben. Ersichtlich wird, dass es sich um eine dichotome Grundgesamtheit handelt. Demnach bestehen nur die beiden Möglichkeiten mit der Schule weiterzumachen oder abzugehen.

Das Baumschema macht deutlich, dass das Schema (6) anzuwenden ist.

Konfidenzintervall für p bei dichotomer Grundgesamtheit:

1. Konfidenzniveau:  $1-\alpha =95{\%}<=>\alpha =5{\%}.$

2. $1-\frac{\alpha } 2=0,975.$

3. In dieser Stichprobe liegt das arithmetische Mittel vor zu:  $\overline x=53{\%}.$

4. Das 0,975- Fraktil z der N(0,1) –Verteilung ist: z = 1,96.
Angenommen wird eine binomialverteilte Grundgesamtheit.

5. Die Schätzung der Standardabweichung der Zufallsvariablen ist:

$\hat{\sigma }=\sqrt{\overline x(1-\overline x)}=\sqrt{0,53(1-0,53)}$                      =0,5.

6.  $\frac{\hat{\sigma }z}{\sqrt n}=\frac{0,5\ast 1,96}{\sqrt{505}}$           =0,04.

7. Das Konfidenzintervall der vorliegenden Stichprobe ist:

$\mathit{KI}=\left[0,53-0,04;0,53+0,04\right]=[0,49;0,57]$

Deutung

Von den Absolventen der 10. Klasse einer Gesamtschule werden sich zwischen 49 % und 57 % entscheiden, das Abitur zu machen. Die Wahrscheinlichkeit liegt hier bei 95 %.

29. Aufgabe

a) Kann gesagt werden, dass ein Konfidenzintervall mit einem 95%-igen Konfidenzniveau größer ist, als ein 99%-iges Konfidenzniveau?

b) Wie wirkt sich eine Zunahme des Stichprobenumfangs bei einem festgesetzten Signifikanzniveau aus?

Vertiefung

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Lösung

Zu a):
Die Ungenauigkeit des Konfidenzintervalls steigt, je höher das Konfidenzniveau ist. Demnach ist ein Konfidenzintervall zum Konfidenzniveau 99 % größer, als das eines 95%-igen Konfidenzniveaus.

Zu b):
Mit zunehmendem n wird die Streuung kleiner (Wurzel-n-Gesetz). Wird der Stichprobenumfang vergrößert, so wird die Genauigkeit des Konfidenzintervalls besser, das heißt das Konfidenzintervall wird schmaler.

Bei einem Anstieg von n sinkt die Streuung (Wurzel-n-Gesetz). Die Genauigkeit des Konfidenzintervalls kann jedoch dadurch verbessert werden, indem der Stichprobenumfang erweitert wird. Dadurch wird das Konfidenzintervall kleiner.

30. Aufgabe

Welche Aussage ich falsch?
Die richtigen Aussagen sollen kurz begründet werden.

a) Der zu schätzende Parameter ist in der Grundgesamtheit nicht bekannt.
b) Bei dem Konfidenzintervall handelt es sich um einen Intervall, indem der zu schätzende Parameter sicher enthalten ist.
c) Bei der Schätzfunktion handelt es sich um eine Zufallsvariable, dessen Verwirklichung von der Stichprobe abhängt.
d) Bei dem zu schätzenden Parameter der Grundgesamtheit handelt es sich um eine konstante Größe.
e) Eine erwartungstreue Schätzung kann ausschließlich durch die Wahl einer repräsentativen Stichprobe einhergehen.

Vertiefung

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Lösung

b) ist falsch.

Wenn eine Irrtumswahrscheinlichkeit von einem Prozent vorliegt, so ist in 99 % aller Fälle der zu schätzenden Parameter in dem Konfidenzintervall enthalten.

Alle weiteren Aussagen sind korrekt.
Bei dem zu schätzenden Parameter handelt es sich um eine unbekannte Größe

a) Mit jeder Stichprobe kommt bei dieser Schätzfunktion ein anderer Schätzwert raus.
c) Es handelt sich um eine konstante Größe.
d) Die Stichprobe muss in jedem Fall Repräsentativ sein.
e) andernfalls ist die Schätzung nicht erwartungstreu.