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Aufgaben, Berechnungen und Beispiele zu Konfidenzintervallen

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 Am 08.12.2016 (ab 18:00 Uhr) findet unser nächstes Webinar statt.
Gratis-Webinar Diskrete und stetige Verteilungen in der Wahrscheinlichkeitsrechnung
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Aufgabe 1

Aus einer Studentenmenge wird eine Stichprobe von 50 Studenten genommen. In der Stichprobe wird ein durchschnittlicher Monatsverdienst von 651 € festgestellt bei einer Standardabweichung von 102 €. Wir wollen wissen, wie das Konfidenzintervall für den Erwartungswert lautet bei einem Konfidenzniveau von 95 %.

Lösung:

Das Baumschema führt uns zu Kochrezept 5.

  1. Schritt: $1-\alpha =95\text{%},$ nach Aufgabenstellung, so dass $\alpha = 0,05$.

  2. Schritt: Es ergibt sich: $1-\frac{\alpha } 2=1-\frac{0,05} 2=0,975.$

  3. Schritt: Wir können das (0,975)-Fraktil z der N(0,1)-Verteilung ermitteln, da n = 50 > 30.

    Es ist gegeben durch z = 1,96.

  4. Schritt: Das arithmetische Mittel ist nach Aufgabenstellung $\overline x=651.$

    Da s = 102, sehen wir, dass $\hat{\sigma }=s=102.$

  5. Schritt: Für die halbe Breite des Konfidenzintervalls erhalten wir:
    $\frac{\hat{\sigma }z}{\sqrt n}=\frac{102\ast 1,96}{\sqrt{50}}=28,28.$

  6. Schritt: Somit lautet das Konfidenzintervall:
    $\mathit{KI}=[651-28,28;651+28,28]=[622,72;679,28].$

Aufgabe 2

Kurz vor einer wichtigen Wahl wird im Fernsehen folgendes Meinungsforschungsergebnis für den Wähleranteil der Partei X bekanntgegeben: Unter 400 zufällig ausgewählten Befragten gaben 38 Prozent an, für die Partei X zu stimmen. Es ist das 97 % -ige Konfidenzintervall für die relative Häufigkeit an Wählern der Partei X zu diesem Zeitpunkt in der Gesamtbevölkerung zu bestimmen.

Lösung:

Wir schauen uns das Baumschema an und stellen fest, dass ein Intervall für den Anteil p gesucht ist. Des Weiteren ist ersichtlich, dass die Grundgesamtheit dichotom ist. Entweder wählt eine Person eine Partei oder nicht.

  1. Schritt: Das Konfidenzniveau ist gegeben zu: $1-\alpha =97\text{%}\Leftrightarrow \alpha =3\text{%}.$

  2. Schritt: Dann ist $1-\frac{\alpha } 2=1-\frac{0,03} 2=0,985.$

  3. Schritt: Bestimmung des arithmetischen Mittels in der vorliegenden Stichprobe.

    Durchschnittlich sind 38 % für die Partei X, d.h. $\overline x=38\text{%}:$

  4. Schritt: Wir entnehmen der Fraktiltabelle für die Standardnormalverteilung das 0,985- Fraktil z.

Es ist $z_{0,985}=2,17$ das Fraktil der N(0,1) –Verteilung

Von nun an sind wir im Fall a), denn

Fall a)

1) Die Grundgesamtheit ist binomialverteilt. Die Stichprobe ermitteln wir durch

Ziehen mit Zurücklegen.

5. Schritt: Nun ist es nötig, eine Schätzung der Standardabweichung der Zufallsvariablen $X_i$ zu ermitteln.

Im Fall a) gilt:

$\hat{\sigma }=\sqrt{\overline x(1-\overline x)}=\sqrt{0,38(1-0,38)}=0,485.$

6. Schritt: Bestimmung der halben Breite des Konfidenzintervalls:
$\frac{\hat{\sigma }z}{\sqrt n}=\frac{0,485\ast 2,16}{\sqrt{400}}=0,05.$

7. Schritt: Nun erhalten wir für das Konfidenzintervall der vorliegenden Stichprobe:
$\mathit{KI}=\left[0,38-0,05;0,38+0,05\right]=\left[0,33;0,42\right].$

Aufgabe 3

Bei der Benzingewinnung für PKW's wird Nitromethan beigemischt. Um ein besseres Laufverhalten des Motors zu erreichen. Bei der Abfüllung von Benzin in Resevoirs wird nun dieser Gehalt kontrolliert. Eine Stichprobe von n = 116 Kontrollmessungen ergab folgende Werte für den Gehalt an Nitromethan (in ml/l): Stichprobenmittelwert: 25,452 Stichprobenvarianz: 0,850. Berechnen Sie das 96 % -ige Konfidenzintervall für den mittleren Nitromethangehalt in der Produktion.

Lösung:

Mit Hilfe des Baumschemas stellen wir fest, dass das Lambert-Kochrezept 6 uns weiterhilft.

  1. Schritt: Das Konfidenzniveaus $1-\alpha =96\text{%}\Leftrightarrow \alpha =4\text{%}$ wird der Aufgabenstellung entnommen.

  2. Schritt: Also $1-\frac{0,04} 2=0,98.$

  3. Schritt: Es gilt n =116 > 30.

    Bestimmung des 0,98-Fraktils z der N(0,1) -Verteilung: $z_{0,98} = 2,06$

  4. Schritt: Das arithmetischen Mittel ist gegeben durch: $\overline x=25,452.$ Die Varianz in der Grundgesamtheit ist nicht bekannt, so dass wir die Stichprobenvarianz verwenden: $\hat{\sigma }=0,85.$

  5. Schritt: Berechnung der halben Breite des Konfidenzintervalls : $\frac{\hat{\sigma }z}{\sqrt n}=\frac{0,85\ast 2,06}{\sqrt{116}}\approx 0,163.$

  6. Schritt: Abschließend ergibt sich das Konfidenzintervall für die vorliegende Stichprobe zu:
    $\mathit{KI}=\left[25,452-0,163;25,452+0,163\right]=[25,289;25,615].$

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Autor: Daniel Lambert

Dieses Dokument Aufgaben, Berechnungen und Beispiele zu Konfidenzintervallen ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Stichprobentheorie.

Dipl.-Math. Dipl.-Kfm. Daniel Lambert gibt seit vielen Jahren Kurse zur Prüfungsvorbereitung. Er unterrichtet stets orientiert an alten Prüfungen und weiß aus langjähriger Erfahrung, wie sich komplexe Sachverhalte am besten aufbereiten und vermitteln lassen. Daniel Lambert ist Repetitor aus Leidenschaft seit nunmehr 20 Jahren.
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      • Anwendung der Kochrezepte auf Beispiele
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