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Stichprobentheorie - Aufgaben, Berechnungen und Beispiele zu Konfidenzintervallen

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Stichprobentheorie

Aufgaben, Berechnungen und Beispiele zu Konfidenzintervallen

Inhaltsverzeichnis

1. Aufgabe

Aus einer Anzahl an StudentInnen wird innerhalb des universitären Rahmens eine Stichprobe genommen, indem 50 StudentInnen willkürlich herausgezogen und befragt wurden. Aus der Stichprobe ging ein Durchschnittsverdienst von 651 € einher. Dabei konnte eine Standardabweichung von 102 € festgestellt werden.

Wie viel beträgt der Konfidenzintervall für den Erwartungswert, ausgehend von einem Konfidenzniveau von 95 %?

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Lösung:

Mit Hilfe des Baumschemas wird deutlich, dass das Schema (5) anzuwenden ist.

  1. Laut den Angaben aus der Aufgabe ist: $1-\alpha =95\text{%},$ somit ist $\alpha = 0,05$.

  2. Daraus wird: $1-\frac{\alpha } 2=1-\frac{0,05} 2=0,975.$

  3. Das (0,975)-Fraktil z der N(0,1)-Verteilung kann bestimmt werden, weil n = 50 > 30.
 Es ist durch z = 1,96 bekannt.

  4. Der Aufgabenstellung ist das arithmetische Mittel zu entnehmen: $\overline x=651.$
Weil s = 102, vernehmen wir, dass $\hat{\sigma }=s=102.$


  5. Wir bekommen: 
$\frac{\hat{\sigma }z}{\sqrt n}=\frac{102\ast 1,96}{\sqrt{50}}=28,28$ für die halbe Breite des Konfidenzintervalls.

  6. Für den Konfidenzintervall erhalten wir:
$\mathit{KI}=[651-28,28;651+28,28]=[622,72;679,28].$

2. Aufgabe

Anlässlich der bevorstehenden Landtagswahl in Nordrhein Westfalen, kommt es zu einer Stichprobe von 400 zufällig befragten Personen, zugunsten einer vorläufigen Prognose. Unter der Anzahl gaben 38 % an, für die Partei Z zu stimmen.

Die Aufgabe besteht darin, das 97 %-ige Konfidenzintervall zu bestimmen, in Bezug auf die relative Häufigkeit an Wählern der Gesamtbevölkerung, welche zu diesem Zeitpunkt der Partei Z ihre Stimme geben würden.

 

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Lösung:

Bei der Betrachtung des Baumschemas wird ersichtlich, dass für den Anteil q ein Intervall zu bestimmen ist. Zudem wird deutlich, dass es sich, um eine dichotome Grundgesamtheit handelt. Demnach besteht nur die Option, dass eine Person eine Partei wählt oder es unterlässt. 

  1. Das Konfidenzniveau ist der Aufgabe zu entnehmen: $1-\alpha =97\text{%}\Leftrightarrow \alpha =3\text{%}.$

  2. Demnach ist: $1-\frac{\alpha } 2=1-\frac{0,03} 2=0,985.$

  3. Das arithmetische Mittel der Stichprobe ist zu ermitteln, d.h. es sind im Durchschnitt 38 %, welche für die Partei Z stimmen, also  $\overline x=38\text{%}:$

  4. Die Standardnormalverteilung wird der Fraktiltabelle entnommen und beträgt 0,985- Fraktil z.

    Somit ist $z_{0,985}=2,17$ das Fraktil der N(0,1) –Verteilung
    Wir befinden uns im 1. Fall, weil es sich dabei um eine binomialverteilte Grundgesamtheit handelt. Bestimmt wird die Stichprobe durch das Ziehen mit Zurücklegen.

    Für den 1. Fall gilt: $\hat{\sigma }=\sqrt{\overline x(1-\overline x)}=\sqrt{0,38(1-0,38)}=0,485.$

  5. Nun ist es notwendig, die Schätzung der Standardabweichung der Zufallsvariablen $X_i$ zu bestimmen.

  6. Wir erhalten:
    $\frac{\hat{\sigma }z}{\sqrt n}=\frac{0,485\ast 2,16}{\sqrt{400}}=0,05.$ für die Bestimmung der halben Breite des Konfidenzintervalls.

  7. Im letzten Schitt ergibt sich ein Konfidenzintervall von:
    $\mathit{KI}=\left[0,38-0,05;0,38+0,05\right]=\left[0,33;0,42\right].$

3. Aufgabe

Das in der Schmuckherstellung verarbeitete Gold besteht, je nach Wert der Legierung, aus weiteren, hinzugefügten Metallen wie beispielsweise Nickel oder Kupfer. Bei einer Stichprobe von 116 Kontrollmessungen, kam es zu folgenden Werten für den Gehalt an Nickel, gemessen in ml/l. Der Stichprobenmittelwert ergab: 25,452 und die Stichprobenvarianz: 0,7225.

Die Aufgabe besteht nun darin, den 96%-igen Konfidenzintervall für den mittleren Nickelgehalt innerhalb der Herstellung zu ermitteln.

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Lösung:

Das Baumschema verrät, dass zur Lösungsfindung Schema (6) anzuwenden ist.

  1. Der Aufgabe ist das Konfidenzniveau zu entnehmen: $1-\alpha =96\text{%}\Leftrightarrow \alpha =4\text{%}$

  2. Demnach ist: $1-\frac{0,04} 2=0,98.$

  3. Es ergibt sich: n =116 > 30.

    Ermittlung des 0,98-Fraktils z der N(0,1) -Verteilung: $z_{0,98} = 2,06$

  4. Zu entnehmen ist das arithmetische Mittel: $\overline x=25,452.$ Die Varianz der Grundgesamtheit ist unbekannt, weswegen die Stichprobenvarianz hinzugezogen wird: $\hat{\sigma}^2=0,7225.$ Es resultiert eine Standardabweichung von: $\hat{\sigma}$: $\sqrt{0,7225}=0,85$.

  5. Berechnet wird: $\frac{\hat{\sigma }z}{\sqrt n}=\frac{0,85\ast 2,06}{\sqrt{116}}\approx 0,163$ für die halbe Breite des Konfidenzintervalls.

  6. Schlussendlich resultiert der folgende Konfidenzintervall: 
    $\mathit{KI}=\left[25,452-0,163;25,452+0,163\right]=[25,289;25,615].$