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Stichprobentheorie - Aufgaben 6 bis 10 zur Stichprobentheorie

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Stichprobentheorie

Aufgaben 6 bis 10 zur Stichprobentheorie

6. Aufgabe

Die Verwaltung einer Firma unterteilt sich in zwei Bereiche, die hier mit A und B gekennzeichnet werden. Dabei entspricht der Arbeitsumfang des Bereiches A dem des Bereiches B. Die Angestellten aus dem Bereich A stellten allerdings fest, dass sich jeder von den Mitarbeitern aus dem B Bereich ein neues Auto gekauft hat. Demzufolge hat sich das Gerücht im A Bereich verbreitet, dass die Angestellten aus dem B Bereich mehr verdienen würden. Diese Theorie wird jedoch bestritten. Mittels einer Stichprobe soll der Wahrheitsgehalt dieser Aussage geprüft werden. Bekannt ist jedoch, dass das Jahreseinkommen der Bereiche A und B normalverteilt sind. Aktuelle statistische Erhebungen ergaben:  $\sigma _1=\sigma _2.$

Aus beiden Bereichen werden Stichproben $n_1=18,n_2=13$ entnommen. Daraus kamen die folgenden Werte zustande:

Ergebnis der ersten Stichprobe: Durchschnittliches Jahreseinkommen von 42000 € und eine Streuung von 5000 €.   

Ergebnis der zweiten Stichprobe: Durchschnittliches Jahreseinkommen von 40000 € und eine Streuung von 4700 €.

Vertiefung

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Lösung

Zu Beginn werden die Daten tabellarisch festgehalten:

Bereich ABereich B
$n_1=18$$n_2=13$
$\overline x_1=42000\text{€}$          $\overline x_2=40000\text{€}$            
$s_1=5000\text{€}$$s_2=4700\text{€}$

Wahl des richtigen Tests

1. Wie viele Stichproben sind gegeben?
-> Gegeben sind zwei unabhängige Stichproben, da die Angestellten nach Stundenumfang bezahlt werden.
-> Zwei getrennte Bereiche liegen vor. Der erste Stichprobenumfang beträgt $n_1=18$      und der zweite   $n_2=13.$
-> Folglich ist Schema b) anzuwenden.

2. Bezieht sich die Hypothese auf eine Verteilung oder einen Parameter?
-> Die Hypothese betrifft das durchschnittliche Jahreseinkommen der Angestellten der Bereiche A und B, demnach die Parameter $\mu _1\text{und}\mu _2.$
-> Folglich wären die Tests 3.3.1.-3.3.6 anzuwenden.

3. Um welchen Vergleich handelt es sich?
-> Das durchschnittliche Jahreseinkommen der Angestellten aus dem A und B Bereich sind gegenüberzustellen, demnach zwischen $\mu _1\text{und}\mu _2.$
-> Es wurde bereits ersichtlich, dass zwei einfache Stichproben gegeben sind.
-> Folglich wären die Tests 3.3.1 -3.3.5 anzuwenden.

4. Welche Verteilung der Grundgesamtheit liegt vor?
-> Es handelt sich bei beiden um eine normalverteilte Grundgesamtheit.
-> Unter Berücksichtigung der zweiten Frage ist der Test 3.3.1 oder 3.3.2 anzuwenden.

5. Ist die Varianz gegeben?
-> Die Varianz ist bei den beiden gegebenen Stichproben unbekannt. Gegeben ist bei beiden nur die Stichprobenvarianz.
-> Folglich ist Test 3.3.2. anzuwenden.


 1. Anwendungsvoraussetzungen

Es handelt sich um Fall 1. Demnach sind die Anwendungsvoraussetzungen gegeben.

 2. Wahl der Hypothese
           b)   $H_0:\mu _1\geqslant \mu _2$      gegen              $H_0:\mu _1<\mu _2$
                    

 3. Signifikanzniveau

$\alpha =0,05$

 4. Testfunktionswert

$\text v=\frac{42000-40000}{\sqrt{\frac{(18-1)\ast 5000^2+(13-1)\ast 4700^2}{18+13-2}\frac{18+13}{18\ast 13}}}$

$=\frac{2000}{\sqrt{\frac{425000000+265080000}{29}\frac{31}{234}}}\approx \frac{2000}{1775,51}\approx 1,126$
 

 5. Verwerfungsbereich

Fall 1 liegt vor. Das jeweilige Fraktil  der $t(18+13-2)=t(29)$              -Verteilung
$B=\text (-\infty ;-t_{1-0,05}\text )=\text (-\infty ;-t_{0,95}\text )=\text (-\infty ;-1,6991\text )$ ist t.

 6. Testentscheidung
Weil $\text v\notin \mathit{B.}$ wird $H_0$  nicht verworfen.

7. Deutung
Anhand eines 5 %-igen Signifikanzniveaus konnte nicht bestätigt werden, dass das Jahresgehalt der Angestellten aus dem B Bereich erheblich höher ist, im Vergleich zu dem im A Bereich.

7. Aufgabe

Eine Firma macht im regionalen Bereich viel Umsatz bei der Herstellung gefragter Produkte. Zu vernehmen ist ein stetiges, jährliches Umsatzwachstum. Aufgrund des Erfolgs überlegt die Firma ihre Produkte auch überregional und im Ausland zu verkaufen. Allerdings sind hierbei die Kosten für den Export einzubeziehen, die nicht gering ausfallen. Die hohen Kosten kämen hier vor allem durch den Zoll zustande. Aus diesem Grund entschied sich die Firma für eine Zweitstelle im Ausland. Dabei ist es leider so, dass die Firma zwar nach wie vor das gleiche herstellt, die Märkte der beiden Länder sich jedoch grundlegend voneinander unterscheiden. Dabei wird die regionale Produktionsstätte der Firma mit R bezeichnet und die ausländische mit A. Die beiden Märkte sind demnach gänzlich unabhängig voneinander.

Die unterschiedlichen Märkte verweisen auf unterschiedliche Formen des Marktes.

Beim Markt R handelt es sich um ein Polypol (starke Konkurrenz).  
Beim Markt A handelt es sich um ein Oligopol (wenig Konkurrenz).
Frage: Unterscheidet sich die Umsatzvarianz erheblich von Markt R zu Markt A? Könnte es sein, dass diese beim regionalen Markt höher liegt, als bei dem ausländischen? Zugunsten der Entscheidung ist ein entsprechender Test durchzuführen.

Aufgrund von Informationsmangel des Marktes A wird eine Unsicherheit von 2,5 % gewählt. Aus der statistischen Erhebung ist zu entnehmen, dass es sich bei beiden um normalverteilte Umsätze handelt. Zu entnehmen sind für die beiden Märkte folgende Umsatzergebnisse:

Regionaler Markt: Für einen Zeitraum von 19  *Quartale ergab sich eine Streuung des Umsatzes von 104 €.

Ausländischer Markt: Für einen Zeitraum von 21 Quartale ergab sich eine Streuung des Umsatzes von 81 €.


* Ein Quartal umfasst drei Monate.

Vertiefung

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Lösung

Zu Beginn werden die Daten tabellarisch festgehalten:

Regionaler Markt RAuslandsmarkt A
$n_H=18$$n_A=21.$
$s_H^2=104^2=10816$               $s_A^2=81^2=6561$      

Wahl des richtigen Tests

1. Wie viele Stichproben sind gegeben?
-> Es liegen zwei unabhängige Stichproben nach Quartalen vor. Die gewählte Anzahl entspricht somit der Anzahl der jeweiligen Quartale, d.h. $n_H=18$  und   $n_A=21.$
-> Folglich ist Schema b) anzuwenden.

2. Bezieht sich die Hypothese auf eine Verteilung oder einen Parameter?
-> Die Hypothese betrifft die Varianzen des Umsatzes beider Märkte, d.h. $\sigma _1^2\text{und}\sigma _2^2.$
-> Folglich wären die Tests  3.3.1.-3.3.6 anzuwenden.

3. Um welchen Vergleich handelt es sich?
-> Es sollen die Varianzen des Umsatzes auf den beiden Märkten gegenübergestellt werden, d.h. zwischen $\sigma _1^2\text{und}\sigma _2^2.$
-> Es wurde bereits deutlich, dass zwei einfache Stichproben vorliegen.
-> Folglich sei der Test  3.3.5 unter Vorbehalt anzuwenden.

3. Um welche Verteilung der Grundgesamtheit handelt es sich?
-> Es handelt sich bei beiden um eine normalverteilte Grundgesamtheit.
-> Folglich ist sicher der Test  3.3.5 anzuwenden.

  
 1. Anwendungsvoraussetzungen

Es wurde ersichtlich, dass diese gegeben sind.

 2. Wahl der Hypothese

            c)  $H_0:\sigma _H^2\leqslant \sigma _A^2$                gegen  $H_1:\sigma _H^2>\sigma _A^2$      
                                 
 3.Signifikanzniveau

$\alpha =0,025$

 4. Testfunktionswert

$\text v=\frac{s_H^2}{s_A^2}=\frac{10816}{6561}\approx 1,65$

 5. Verwerfungsbereich

Festgelegt wird das $1-\alpha =0,975$        -Fraktil der

$F(n_H-1;n_A-1)=F(17;20)$                   Verteilung. Demnach

$B=(x_{1-\alpha }^{'};\infty \text )=\text (2,52;\infty{) .}$


 6. Testentscheidung

Weil  $\text v\notin \mathit{B.}$ wird $H_0$  nicht verworfen.

7. Deutung

Auf der Grundlage eines 2,5 %-igen Signifiaktionsniveaus konnte nicht aufgezeigt werden, dass eine wesentlich höhere Varianz des regionalen Marktes R in Gegenüberstellung zum ausländischen Markt A vorliegt, weswegen kein deutlicher Unterschied zu vernehmen ist.

8. Aufgabe

In einem Betrieb soll die Stelle des Personalleiters besetzt werden. Hierfür werden vier verschiedene Personen in Betracht gezogen. Von diesen vier Personen präsentiert jeder konstruktive Vorschläge und Optimierungsansätze für den Betrieb. Die einzelnen Abteilungen dürften danach für das Konzept abstimmen, was sie am sinnvollsten und realisierbarsten finden.
Von Interesse ist nun, inwieweit sich die Antworten der einzelnen Abteilungen voneinander unterschieden oder sich decken. So läge beispielsweise die Vermutung nah, dass in der Fertigungsabteilung ein Konzept gewählt wird, was mit einer Verbesserung der Produktionsbedingungen zusammenhängt. Diese Abteilung vertrete somit die Ansicht, dass dadurch gute Gewinne zustande kommen, indem die Preise der Produkte sinken und somit die Anzahl der Käufer steigt.

Denkbar wäre somit auch, dass eine Abteilung, welche sich vor allen Dingen mit Innovationen beschäftigt, an einem Konzept interessiert ist, das darauf ausgelegt ist, neuartige Produkte und Produktionsformen zu fördern. Die Zielsetzung bestehe hierbei den Markt durch Innovationen zu gewinnen und dadurch Umsätze zu maximieren. Da es sich um neue Produkte handelt, würden diese (fast) konkurrenzlos sein und somit für viel Geld verkauft werden.

Frage: Gibt es eine Verbindung zwischen dem präferierten Konzept und der Abteilung, welche dafür stimmte?

Bestimmt wird eine Wahrscheinlichkeit von 5 %, dass sich der Betrieb bei dieser Vermutung irrt. Anzuwenden ist hierfür der entsprechende Test.
Aus der durchgeführten Stichprobe gingen die folgenden Werte einher:

In der Abteilung 1 kam es zu folgenden Abstimmungen:

Konzept 1Konzept 2Konzept 3Konzept 4
90251612

In der Abteilung 2 kam es zu folgenden Abstimmungen:

Konzept 1Konzept 2Konzept 3Konzept 4
70201916

In der Abteilung 3 kam es zu folgenden Abstimmungen:

Konzept 1Konzept 2Konzept 3Konzept 4
85202017

Vertiefung

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Lösung

Die wichtigsten Daten werden vorerst tabellarisch aufgelistet und die dazugehörigen Berechnungen durchgeführt.

Konzept

Bereich

Konzept 1

Konzept    2

Konzept 3

Konzept 4

leitende Angestellte im jeweiligen Bereich

/Gesamt befragte

1

90

25

16

12

143

2

70

20

19

16

125

3

85

20

20

17

142

Gesamtzahl der leitenden Angestellten

245

65

55

45

410

Wahl des richtigen Tests

1. Wie viele Stichproben sind gegeben?
-> Gegeben sind zwei verbundene Stichproben, da vermutet wird, dass die Wahl des Konzepts von den Interessen der Abteilungen abhängt.
-> Folglich ist Schema c) anzuwenden.

2. Bezieht sich die Hypothese auf den Zusammenhang beider Merkmale oder einen Parametervergleich von Verteilungen?
-> Die Hypothese betrifft den Zusammenhang der beiden Merkmale von Abteilung und Konzept.
-> Folglich ist Test  3.4.4. oder  3.4.5. anzuwenden.

3. Was wird durch die Hypothese überprüft?
-> Überprüft werden soll, ob eine Unabhängigkeit zwischen den beiden Merkmalen besteht.
-> Folglich ist der Test  3.4.4. anzuwenden.


 1. Anwendungsvoraussetzungen

Es wurde ersichtlich, dass diese gegeben sind.

 2. Wahl der Hypothese

$H_0:$   Die zwei Merkmale von Abteilung und Konzept der Grundgesamtheit sind unabhängig.
$H_1:$   Die zwei Merkmale von Abteilung und Konzept sind abhängig.       

 3. Signifikanzniveau

$\alpha =0,05.$

 4. Testfunktionswert

Die obere Tabelle dient als Grundlage zur Untersuchung der Häufigkeiten unter Annahme, dass eine Unabhängigkeit vorliegt.

Konzept

Bereich

Konzept 1

Konzept 2

Konzept 3

Konzept 4

Gesamt befragte leitende Angestellte im jeweiligen Bereich

1

85,45 (90)

22,67(25)

19,18(16)

15,7(12)

143

2

74,7(70)

19,82(20)

16,77(19)

13,72(16)

125

3

84,85(85)

22,51(20)

19,05(20)

15,59(17)

142

Gesamtzahl der leitenden Angestellten

245

65

55

45

410

$\text v=\frac{(85,45-90)^2}{85,45}+\frac{(25-22,67)^2}{22,67}+\frac{(16-19,18)^2}{19,18}$

$+\frac{(12-15,7)^2}{15,7}+\frac{(70-74,7)^2}{74,7}+\frac{(20-19,82)^2}{19,82}\frac{+(19-16,77)^2}{16,77}$

$+\frac{(16-13,72)^2}{13,72}+\frac{(85-84,85)^2}{84,85}+\frac{(20-22,51)^2}{22,51}+\frac{(20-19,05)^2}{19,05}+\frac{(17-15,59)^2}{15,59}$

v=2,18+1,13=3,31.

 5. Verwerfungsbereich

Bestimmt wird des Weiteren das

$1-\alpha =1-0,05=0,95$               -Fraktil der    $\chi ^2\left((3-1)\ast (4-1)\right)=\chi ^2(6)$
Verteilung. Demnach $B=\text (12,592;\infty \text )$

 6. Testentscheidung

Weil $\text v\notin \mathit{B.}$ wird $H_0$  nicht verworfen.

7. Deutung

Auf der Grundlage eines 5 %-gen Signifikanzniveaus konnte nicht bewiesen werden, dass die zwei Merkmale von Abteilung und Konzeptwahl in Verbindung miteinander stehen. Demzufolge steht die Wahl des Konzept in keinem konkreten Zusammenhang mit der Abteilung.

9. Aufgabe

Ein Reifenhersteller bringt neue Autoreifen auf den Markt, die ein tolles Fahrgefühl, ein exzellentes Straßenverhalten und eine hohe Laufleistung aufweisen sollen. Da der Hersteller so begeistert von seinen innovativen Reifen ist, möchte er die wesentlich höhere Laufleistung in Gegenüberstellung mit den anderen Reifenmodellen testen lassen. Der Grund besteht u. a. darin, dass die neuen Reifen aus gänzlich anderen Bestandteilen gefertigt wurden, als alle Vorgänger. Zugunsten der Stichprobe werden 156 Reifen aus der Grundgesamtheit ausgewählt und auf deren Laufleistung hin untersucht.

Um möglichst zuverlässige Ergebnisse zu erzielen, wird der Test über einen längeren Zeitabschnitt durchgeführt. Es ergab sich für die einzelnen Reifen eine durchschnittlicher Laufleistung von 61000 km. Gegeben ist die bereits bekannte Standardabweichung für jeden gleich produzierten Reifen von $\sigma =5100\text{km}.$

Aufgabe: Um die durchschnittliche Laufleistung des innovativen Reifentyps zu bestimmen, ist ein entsprechender Test durchzuführen. Bestimmt wird eine Sicherheitswahrscheinlichkeit von 99 %.

Vertiefung

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Lösung

Mit Hilfe des Baumschemas wird ersichtlich, dass  Schema 5 anzuwenden ist.

1. Es ist $1-\alpha =0,99$        gemäß der Aufgabenstellung, so dass $\alpha =0,01.$

2. Daraus resultiert:   $1-\frac{0,01} 2=0,995.$

3. Bestimmt werden kann das (0,995)-Fraktil z der N(0,1)-Verteilung, weil n = 156 > 30.
Es liegt vor durch:   $z\approx 2,58.$

4. Gemäß der Aufgabenstellung entspricht das arithmetische Mittel:
$\overline x=61000\text{km}$
Gemäß der Aufgabenstellung ist $\sigma =5100.$       Verwendet werden kann  $\hat{\sigma }=\sigma $ 

5. Wir bekommen für die halbe Breite des Konfidenzintervalls:

$\frac{\hat{\sigma }z}{\sqrt n}=\frac{5100\ast 2,58}{\sqrt{156}}\approx 1053,48.$
             
6. Das Konfidenzintervall ist:

$\mathit{KI}=[61000-1053,48;61000+1053,48]=[59946,52;62053,48]$


7. Die durchschnittliche Laufleistung aller getesteten, innovativen Reifentypen des Herstellers liegt schlussendlich zwischen geschätzten 59946,52 km und 62053,48 km.

10. Aufgabe

Die tatsächlichen Zauberkünste eines Schaustellers werden von den Zuschauern in Frage gestellt. Um das jedoch zu beweisen, läd dieser die Zuschauer dazu ein, sich selbst davon zu überzeugen. Hierzu verwendet der Magier ein Kartenspiel, welches aus der gleichen Anzahl roter und schwarzer Karten besteht.
Davon werden von den Zuschauern ingesamt 100 Karten gezogen, zurückgelegt und wieder neu gemischt. Nach jedem Ziehen wird der Magier gefragt, welche Farbe die Karte hatte. Die Zuschauer schenken den Zauberkünsten des Magiers nur dann glauben, wenn er 65 mal die richtige Farbe zur gezogenen Karte nennt.

Aufgabe:
a) Zu berechnen ist die Wahrscheinlichkeit des Irrtums für den Test.

b) Was ist bei diesem Test ein Fehler zweiter Art?

Vertiefung

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Lösung

X  ist die Anzahl der korrekten Farbbestimmung der Karten von den 100 gezogenen Karten.

Es handelt sich um eine binomialverteilte Zufallsvariable X mit n = 100.

Folgende Annahmen seien hier denkbar:

Gezeigt werden soll, dass der Magier tatsächlich über übersinnliche Kräfte verfügt. Demnach wird festgehalten:

Zu a): $P(X\geqslant 65\text |p=0,5)=1-P(X\leqslant 64)=0,0018.$

Zu b): Falls angenommen werden würde, dass der Magier keine übersinnliche Fähigkeiten habe, obwohl er tatsächlich über diese verfügt, würde es sich um einen Betafehler (Fehler zweiter Art) handeln.