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Aufgaben 6 bis 10 zur Stichprobentheorie

WebinarTerminankündigung:
 Am 08.12.2016 (ab 18:00 Uhr) findet unser nächstes Webinar statt.
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Aufgabe 6

Ein Unternehmen, welches eine Verwaltung besitzt, besteht aus zwei getrennt angelegten Bereichen A und B. Der Arbeitsumfang der Erwerbstätigen im Bereich A entspricht zu 100% dem Arbeitsumfang der Erwerbstätigen im Bereich B. Einige Mitarbeiter aus Bereich A stellen fest, dass jeder der Erwerbstätigen im Bereich B sich ein neues Auto gekauft hat. Nun vermuten die Erwerbstätigen aus Bereich A, dass deren Lohn größer ist als der ihrige. Die „Bereich B Erwerbstätigen“ bestreiten dies. Anhand eines Tests soll nun Klarheit geschaffen werden. Aus Erfahrung ist bekannt, dass das jährliche Einkommen der beiden Bereiche normalverteilt ist.
Des Weiteren ist aus aktuellen statistischen Erhebungen bekannt, dass $\sigma _1=\sigma _2.$

Es werden Stichproben $n_1=18,n_2=13$ aus beiden Bereichen genommen. Dabei werden folgende Werte ermittelt:

In der ersten Stichprobe ergibt sich ein durchschnittliches jährliches Gehalt von 42000 € mit einer Streuung von 5000 €.   

In der zweiten Stichprobe ergibt sich ein durchschnittliches jährliches Gehalt von 40000 € mit einer Streuung von 4700 €.

Beide Bereiche räumen sich einen gemeinsamen Fehler von fünf Prozent ein. Führen Sie den entsprechenden Test durch, um zu entscheiden, ob die Erwerbstätigen im Bereich A weniger verdienen als die im Bereich B. 

Lösung

Zunächst stellen wir die Daten übersichtlich dar.

Bereich A Bereich B
$n_1=18$ $n_2=13$
$\overline x_1=42000\text{€}$           $\overline x_2=40000\text{€}$            
$s_1=5000\text{€}$ $s_2=4700\text{€}$

Auswahl des richtigen Tests

1. Frage: Wie viele Stichproben liegen vor ?
Antwort: Da die Erwerbstätigen nach dem Umfang ihrer getätigten Arbeit bezahlt werden,  liegen zwei unabhängige Stichproben vor. Zur Erinnerung: Es handelt sich um zwei getrennte Bereiche. Der Umfang der ersten Stichprobe ist   $n_1=18$      und der der zweiten ist   $n_2=13.$
Folgerung: Somit können wir uns sofort Schema b) zuwenden.

2. Frage: Betrifft die Hypothese einen Parameter oder eine Verteilung ?
Antwort: Die Hypothese bezieht sich auf das durchschnittliche jährlichen Einkommen der Erwerbstätigen aus Bereich A und B, also die Parameter $\mu _1\text{und}\mu _2.$
Folgerung: Tests 3.3.1.-3.3.6.

3 Frage: Was wird verglichen ?
Antwort: Es soll das durchschnittliche jährliche Einkommen der Erwerbstätigen aus Bereich A und B miteinander verglichen werden. Also Vergleich zwischen  $\mu _1\text{und}\mu _2.$
Erinnerung: Es wurde schon festgestellt, dass zwei einfache Stichproben vorliegen.
Folgerung: Tests 3.3.1 -3.3.5.

4. Frage: Wie sind die Grundgesamtheiten verteilt ?
Antwort: Die Grundgesamtheiten sind beide normalverteilt.
Folgerung: Test 3.3.1 oder 3.3.2 unter Berufung auf die zweite Frage.

5. Frage: Ist die Varianz bekannt  ?
Antwort: Es liegen zwei Stichproben vor. Bei beiden ist die Varianz nicht bekannt. Allerdings ist bei beiden die Stichprobenvarianz gegeben.
Folgerung: Test 3.3.2.

 1. Schritt:  Anwendungsvoraussetzungen

(Es liegt Fall I vor.)
Diese sind, wie gerade festgestellt, erfüllt.

 2. Schritt: Hypothesenwahl
           b)   $H_0:\mu _1\geqslant \mu _2$      gegen              $H_0:\mu _1<\mu _2$                    

 3. Schritt: Signifikanzniveau

$\alpha =0,05$

 4. Schritt: Testfunktionswert

$\text v=\frac{42000-40000}{\sqrt{\frac{(18-1)\ast 5000^2+(13-1)\ast 4700^2}{18+13-2}\frac{18+13}{18\ast 13}}}$

$=\frac{2000}{\sqrt{\frac{425000000+265080000}{29}\frac{31}{234}}}\approx \frac{2000}{1775,51}\approx 1,126$
 

 5. Schritt: Verwerfungsbereich

Fall I . Hier ist t das jeweilige Fraktil  der $t(18+13-2)=t(29)$              -Verteilung
$B=\text (-\infty ;-t_{1-0,05}\text )=\text (-\infty ;-t_{0,95}\text )=\text (-\infty ;-1,6991\text )$

 6. Schritt: Testentscheidung
$H_0$   wird nicht verworfen, da $\text v\notin \mathit{B.}$

Interpretation

Auf einem Signifikanzniveau von fünf Prozent kann nicht gezeigt werden, dass das Gehalt der Erwerbstätigen im Bereich B signifikant größer ist, als das der Erwerbstätigen aus dem Bereich A.

Aufgabe 7

Ein Unternehmen U ist auf dem heimischen Markt sehr erfolgreich und das schon seit Unternehmensgründung. Dies vor allem deswegen, weil dessen Produktkonzept stets innovativ ist. Die Umsatzzahlen steigen kontinuierlich. Das Unternehmen entschließt  auch im Ausland die, sonst nur in der Heimat angebotenen, Produkte anzubieten. Der Grund dafür ist, dass das Unternehmen U festgestellt hat, dass dessen Produkte privat ins Ausland exportiert werden.                                                                     Nun ist es so, dass der Export der Produkte für das Unternehmen mit enorm großen Kosten verbunden wäre. Dies wegen der Zollregelungen zwischen Heimatland und Ausland. Also hat es auch eine Produktionsstätte im Ausland eröffnet. Allerdings ist es nun so, dass sich die Märkte der beiden Länder untereinander unterscheiden. Der Markt im Heimatland wird mit H und der im Ausland mit A bezeichnet. Die beiden Märkte üben keinerlei Einfluß aufeinander aus.

Auf den verschiedenen Märkten findet man verschiedene Marktformen .

Markt H: starke Konkurrenz (Polygopol)  
Markt A: wenig Konkurrenz (Oligopol)

Die Frage, die sich nun stellt ist: Weichen die  Umsatzvarianzen auf den verschiedenen Märkten signifikant voneinander ab. Besteht die Möglichkeit, dass auf dem Heimatmarkt H diese größer ist als auf dem ausländischem Markt A ? Führen Sie den entsprechenden Test durch, um zu einer Entscheidung zu gelangen.

Man ist über die genaue Lage auf dem ausländischen Markt nicht vollständig informiert und wählt deswegen eine Unsicherheit von 2,5 %. Aus statistischen Erhebungen weiß man, dass die Umsätze je normalverteilt sind. Auf dem Heimat -und Auslandsmarkt werden folgende Umsatzergebnisse festgestellt:

Auf dem Heimatmarkt H ergab sich für 18 Quartale eine Streuung des Umsatzes, welche den Wert 104 € hatte.

Auf dem ausländischen Markt A ergab sich für 21 Quartale eine Streuung des Umsatzes, welche den Wert 81 € hatte.

Information: Ein Quartal entspricht 3 Monaten.

Lösung

Zunächst stellen wir die relevanten Größen in einer Tabelle dar.

Heimatmarkt H Auslandsmarkt A
$n_H=18$ $n_A=21.$
$s_H^2=104^2=10816$                $s_A^2=81^2=6561$      

Auswahl des richtigen Tests

1. Frage: Wie viele Stichproben liegen vor ?
Antwort: Es liegen nach Voraussetzung zwei unabhängige Stichproben vor. Diese sind in Form von Quartalen gegeben. Somit wählen wir  als Anzahl die jeweiligen Quartale, d.h. $n_H=18$  und   $n_A=21.$
Folgerung: Somit können wir uns sofort Schema b) zuwenden.

2. Frage: Betrifft die Hypothese einen Parameter oder eine Verteilung ?
Antwort: Die Hypothese bezieht sich auf die Varianzen des Umsatzes auf den beiden Märkten, d.h. $\sigma _1^2\text{und}\sigma _2^2.$
Folgerung: Tests  3.3.1.-3.3.6.

3. Frage: Was soll verglichen werden ?
Antwort: Es sollen die Varianzen des Umsatzes auf den beiden Märkten verglichen werden, d.h.
Vergleich zwischen $\sigma _1^2\text{und}\sigma _2^2.$
Erinnerung: Es wurde schon festgestellt, dass zwei einfache Stichproben vorliegen.
Folgerung: Test  3.3.5 unter Vorbehalt.

3. Frage: Wie sind die Grundgesamtheiten verteilt ?
Antwort: Die Grundgesamtheiten sind beide normalverteilt.
Folgerung: Definitiv Test  3.3.5.

 1. Schritt:  Anwendungsvoraussetzungen

Diese sind, wie gerade festgestellt,  erfüllt.

 2. Schritt: Hypothesenwahl

            c)  $H_0:\sigma _H^2\leqslant \sigma _A^2$                gegen  $H_1:\sigma _H^2>\sigma _A^2$                                       
 3. Schritt: Signifikanzniveau

$\alpha =0,025$

 4. Schritt: Testfunktionswert

$\text v=\frac{s_H^2}{s_A^2}=\frac{10816}{6561}\approx 1,65$

 5. Schritt: Verwerfungsbereich

Nun bestimmen wir das $1-\alpha =0,975$        -Fraktil der

$F(n_H-1;n_A-1)=F(17;20)$                   Verteilung. Also

$B=(x_{1-\alpha }^{'};\infty \text )=\text (2,52;\infty{) .}$


 6. Schritt: Testentscheidung

$H_0$   wird nicht verworfen, da $\text v\notin \mathit{B.}$

Interpretation

Auf einem Signifikanzniveau von 2,5 % kann nicht gezeigt werden, dass die Varianz auf den  heimischen Markt H signifikant größer ist als die auf dem ausländischen Markt A. Es liegt somit kein signifikanter Unterschied vor.

Aufgabe 8

In einem Unternehmen, welches aus mehreren Bereichen besteht, werden vier Personen für die Position einer leitenden Stelle vorgeschlagen. Jede der Personen stellt zunächst ihr Konzept für die zukünftige Unternehmenspolitik vor. In drei Bereichen des Unternehmens wird nun nach Sympathien bezüglich der vorgestellten Programme gefragt.
Nun stellt sich die Frage, ob die Antworten in den drei verschiedenen Bereichen übereinstimmen oder sie unterschiedlich sind. Der Unterschied könnte zum Beispiel sein, dass in einem Bereich, welcher vor allem die Massenfertigung berücksichtigt, eher ein Konzept gewählt wird, welches darauf abzielt. Dieser Bereich ist somit der Meinung durch Massenfertigung Gewinne zu erzielen.
Dies geschieht dadurch, dass ein Produkt günstig angeboten wird und dann viele Abnehmer findet.
Andererseits besteht die Möglichkeit, dass ein anderer Bereich, welcher auf dem Gebiet der Innovation tätig ist, eher ein Konzept wählen wird, welches vor allem auf Innovation setzt. Dieser Bereich vertritt somit den Standpunkt durch innovative Produkte sich auf dem Markt zu behaupten. Der Gewinn wird dann dadurch erzielt, dass neue Produkte auf den Markt gebracht werden. Da die Produkte, aufgrund ihrer Neuigkeit, nur auf wenig (vielleicht auch gar keine) Konkurrenz treffen, können sie berechtigterweise zu hohen Preisen verkauft werden.
Es geht jetzt darum herauszufinden, ob eine Abhängigkeit zwischen Konzept und Bereich besteht.
Die Wahrscheinlichkeit sich zu Vertun wird auf fünf Prozent festgelegt. Führen sie den entsprechenden Test durch um zu einer Antwort zu gelangen. Folgende Werte wurden, anhand der Stichprobe, ermittelt.

Im Bereich 1 haben sich folgende Sympathien (Befürwörter) ergeben:

Konzept 1 Konzept 2 Konzept 3 Konzept 4
90 25 16 12

Im Bereich 2 haben sich folgende Sympathien (Befürwörter) ergeben:

Konzept 1 Konzept 2 Konzept 3 Konzept 4
70 20 19 16

Im Bereich 3 haben sich folgende Sympathien (Befürwörter) ergeben:

Konzept 1 Konzept 2 Konzept 3 Konzept 4
85 20 20 17

Lösung

Auch hier stellen wir die relevanten Größen in einer Tabelle dar und führen einige Berechnungen durch.

Konzept

Bereich

Konzept 1

Konzept    2

Konzept 3

Konzept 4

leitende Angestellte im jeweiligen Bereich

/Gesamt befragte

1

90

25

16

12

143

2

70

20

19

16

125

3

85

20

20

17

142

Gesamtzahl der leitenden Angestellten

245

65

55

45

410

Auswahl des richtigen Tests
1. Frage: Wie viele Stichproben liegen vor ?
Antwort: Es liegen zwei verbundene Stichproben vor, da die Konzeptwahl vom Bereich abhängt.
Folgerung: Somit können wir uns sofort Schema c) zuwenden.

2. Frage: Betrifft die Hypothese einen Parametervergleich von Verteilungen oder bezieht sie sich auf die Abhängigkeit der beiden Merkmale  ?
Antwort: Die Hypothese bezieht sich auf die Abhängigkeit der beiden Merkmale Bereich und Konzept.
Folgerung: Test  3.4.4 oder  3.4.5.

3. Frage: Auf was bezieht sich die Hypothese ?
Antwort: Sie bezieht sich auf die Unabhängigkeit..
Folgerung: Test  3.4.4.

 1. Schritt:  Anwendungsvoraussetzungen
Diese sind, wie gerade festgestellt,  erfüllt.

 2. Schritt: Hypothesenwahl

$H_0:$   Die beiden Merkmale Bereich und Konzept der Grundgesamtheit sind unabhängig.
$H_1:$   Die beiden Merkmale sind abhängig.       

 3. Schritt: Signifikanzniveau

$\alpha =0,05.$

 4. Schritt: Testfunktionswert

Wir ermitteln nun anhand der obigen Tabelle, die Häufigkeiten unter Annahme der
Unabhängigkeit.

Konzept

Bereich

Konzept 1

Konzept 2

Konzept 3

Konzept 4

Gesamt befragte leitende Angestellte im jeweiligen Bereich

1

85,45 (90)

22,67(25)

19,18(16)

15,7(12)

143

2

74,7(70)

19,82(20)

16,77(19)

13,72(16)

125

3

84,85(85)

22,51(20)

19,05(20)

15,59(17)

142

Gesamtzahl der leitenden Angestellten

245

65

55

45

410

$\text v=\frac{(85,45-90)^2}{85,45}+\frac{(25-22,67)^2}{22,67}+\frac{(16-19,18)^2}{19,18}$

$+\frac{(12-15,7)^2}{15,7}+\frac{(70-74,7)^2}{74,7}+\frac{(20-19,82)^2}{19,82}\frac{+(19-16,77)^2}{16,77}$

$+\frac{(16-13,72)^2}{13,72}+\frac{(85-84,85)^2}{84,85}+\frac{(20-22,51)^2}{22,51}+\frac{(20-19,05)^2}{19,05}+\frac{(17-15,59)^2}{15,59}$

v=2,18+1,13=3,31.

 5. Schritt: Verwerfungsbereich

Nun bestimmen wir das

$1-\alpha =1-0,05=0,95$               -Fraktil der    $\chi ^2\left((3-1)\ast (4-1)\right)=\chi ^2(6)$
Verteilung. Also

$B=\text (12,592;\infty \text )$

 6. Schritt: Testentscheidung

$H_0$   wird nicht verworfen, da $\text v\notin \mathit{B.}$

Interpretation
Auf einem Signifikanzniveau von fünf Prozent kann nicht gezeigt werden, dass die beiden Größen Bereich und Konzept voneinander abhängig sind. Das Konzept übt somit keinen signifikanten Einfluß auf die Bereiche aus.

Aufgabe 9

Jeder Reifenhersteller ist stets darum bemüht, dass die produzierten Reifen ein sehr gutes Straßenverhalten aufweisen und zugleich auch eine große Laufleistung haben. Der Hersteller ist sich aufgrund von Tests sicher, dass das Straßenverhalten, der neu auf den Markt gebrachten Reifen, sehr gut ist. Da der neue Reifen vollkommen neu konzipiert wurde und gar keine Komponenten von vorher produzierten Reifen enthält, ist nun die Laufleistung zu untersuchen. Da pro Tag tausende von Reifen produziert werden, wird ein ausführlicher Test  an 156 Reifen vorgenommen.   

Diese Reifen sind aus der Grundgesamtheit gewählt worden. Der Hersteller möchte ein äußerst sicheres Ergebnis und lässt den Test zeitintensiv ablaufen. Zunächst ergab sich aus den einzelnen Werten der Reifen, eine durchschnittliche Laufleistung von 61000 km. Aus Erfahrung ist bekannt, dass die Standardabweichung $\sigma =5100\text{km}$   beträgt. Jeder bisher, nach diesem Verfahren konzipierte Reifen ergab diese Standardabweichung.                 

Führen Sie den entsprechenden Test durch, um die durchschnittliche Laufleistung der Produktion dieses Reifentyps zu bestimmen. Die Sicherheitswahrscheinlichkeit wird zu 99 % gewählt.

Lösung

Das „Baumschema“ führt uns zu Kochrezept 5.

1. Schritt: $1-\alpha =0,99,$         nach Aufgabenstellung, so dass $\alpha =0,01.$

2. Schritt: Es ergibt sich:   $1-\frac{0,01} 2=0,995.$

3. Schritt: Wir können das (0,995)-Fraktil z der N(0,1)-Verteilung ermitteln, da n = 156 > 30.
Es ist gegeben durch:   $z\approx 2,58.$

4. Schritt: Das arithmetische Mittel ist nach Aufgabenstellung  

$\overline x=61000\text{km}$
Nach Aufgabenstellung ist $\sigma =5100.$       Wir dürfen  $\hat{\sigma }=\sigma $     verwenden.

5. Schritt: Für die halbe Breite des Konfidenzintervalls erhalten wir:

$\frac{\hat{\sigma }z}{\sqrt n}=\frac{5100\ast 2,58}{\sqrt{156}}\approx 1053,48.$
             

6. Schritt: Somit lautet das Konfidenzintervall:

$\mathit{KI}=[61000-1053,48;61000+1053,48]=[59946,52;62053,48]$

Somit kommen wir zum Ergebnis, dass die durchschnittliche Laufleistung aller Reifen diesen Typs der gesamten Produktion geschätzt zwischen 59946,52 km und 62053,48 km liegt.

Aufgabe 10

Ein Magier hat festgestellt, dass er übersinnliche Fähigkeiten besitzt. Er möchte dies gegenüber anderen Personen beweisen. Dazu wird im Nebenraum ein Kartenspiel verwendet. Das Kartenspiel besteht aus gleich vielen roten und schwarzen Karten.                                                                

Nun wird 100 mal mit Zurücklegen eine Karte gezogen und danach sofort wieder gemischt. Der Magier wird sofort, nachdem eine Karte gezogen worden ist nach ihrer Farbe gefragt. In Übereinstimmung wird die Entscheidung getroffen, dass ihm geglaubt wird, wenn er 65 mal die richtige Karte errät.

a) Berechnen Sie die Irrtumswahrscheinlichkeit des Tests.
b) Was ist ein Fehler zweiter Art bei diesem Test?

Lösung

Sei X  die Anzahl der richtig geratenen Karten unter den 100 Karten.
Die Zufallsvariable. X ist binomialverteilt mit n = 100.
Es können folgende Vermutungen aufgestellt werden:
Wir wollen zeigen, das der Magier übersinnlich Kräfte hat, d.h. wir formulieren:

Zu a): $P(X\geqslant 65\text |p=0,5)=1-P(X\leqslant 64)=0,0018.$

Zu b): Ein Fehler zweiter Art (Betafehler) läge vor, wenn angenommen würde, dass die Person keine
übersinnlichen Fähigkeiten hat, obwohl sie welche besitzt.

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Autor: Daniel Lambert

Dieses Dokument Aufgaben 6 bis 10 zur Stichprobentheorie ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Stichprobentheorie.

Dipl.-Math. Dipl.-Kfm. Daniel Lambert gibt seit vielen Jahren Kurse zur Prüfungsvorbereitung. Er unterrichtet stets orientiert an alten Prüfungen und weiß aus langjähriger Erfahrung, wie sich komplexe Sachverhalte am besten aufbereiten und vermitteln lassen. Daniel Lambert ist Repetitor aus Leidenschaft seit nunmehr 20 Jahren.
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    • Einleitung zu Übersicht über auftretende Symbole
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    • Schätzfunktionen
      • Einleitung zu Schätzfunktionen
      • Aufgaben, Beispiele und Berechnungen zu Schätzfunktionen
    • Eigenschaften von Schätzfunktionen
      • Einleitung zu Eigenschaften von Schätzfunktionen
      • Aufgaben, Beispiele und Berechnungen zur Erwartungstreue
    • Asymptotische Erwartungstreue
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    • Konfidenzintervalle
      • Einleitung zu Konfidenzintervalle
      • Vorgehensweisen, Kochrezepte zur Bestimmung des entsprechenden Konfidenzintervalls
      • Anwendung der Kochrezepte auf Beispiele
      • Aufgaben, Berechnungen und Beispiele zu Konfidenzintervallen
      • Notwendiger Stichprobenumfang
  • Testtheorie
    • Einleitung zu Testtheorie
    • Signifikanztests bei einfachen Stichproben
    • Mehrstichprobentests bei unabhängigen Stichproben
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      • Einleitung zu Hypothesenauswahl
      • Funktionsweise eines Tests am Beispiel des Einstichproben-Gaußtests
    • Testverteilungen
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        • Aufgaben, Beispiele und Berechnungen zu geschichteten Stichproben
      • Wahl des Stichprobenumfangs
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    • Einleitung zu Regressionsrechnung (Regressionsschätzer)
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