Zur Bestimmung des Konfidenzintervalls und der richtigen Anwendung des Schemas

1. Genaue Bestimmung des Konfidenzniveaus $1-\alpha $ , dass sich häufig in der Aufgabenstellung finden lässt.
   
   
2. Aus der Berechnung geht $1-\frac{\alpha } 2$ einher.
   
   
3. Das $\left(1-\frac{\alpha } 2\right)$ -Fraktils z der Standardnormalverteilung N(0,1) wird bestimmt.
   
   
4. Mit Hilfe der Stichprobe wird das arithmetische Mittel $\overline x$ berechnet.
   
   
5. Berechnet werden soll die halbe Breite des Konfidenzintervalls $\frac{\sigma z}{\sqrt n}$
   
   
6. An diesem Punkt kann nun das Konfidenzintervall für die vorliegende Stichprobe bestimmt werden. Dieser ist gegeben durch: $\mathit{KI}=\left[\overline x-\frac{\sigma z}{\sqrt n};\overline x+\frac{\sigma z}{\sqrt n}\right].$ 

1. Genaue Bestimmung des Konfidenzniveaus $1-\alpha .$ , das sich häufig in der Aufgabenstellung finden lässt.

2. Aus der Berechnung geht $1-\frac{\alpha } 2$ einher.

3. Das $\left(1-\frac{\alpha } 2\right)$ -Fraktils t der t(n-1) -Verteilung (Student-Verteilung) wird bestimmt.

4. Mit Hilfe der Stichprobe wird das arithmetische Mittel $\overline x$ und die Stichprobenstandardabweichunng $S=\sqrt{\frac 1{n-1}\sum _{i=1}^n(X_i-\overline X)^2}$ berechnet.

5. Berechnet werden soll die halbe Breite des Konfidenzintervalls $\frac{S\cdot{t}}{\sqrt n}.$

6. Im Hinblick auf die gegebene Stichprobe ergibt sich das Konfidenzintervall:
   $\mathit{KI}=\left[\overline x-\frac{\mathit{S\cdot{t}}}{\sqrt n};\overline x+\frac{\mathit{S\cdot{t}}}{\sqrt n}\right].$

1. Zunächst wird das Konfidenzniveau $1-\alpha$ festgelegt.

2. Danach folgt die Berechnung von $1-\frac{\alpha } 2$

3. Die $\left(1-\frac{\alpha } 2\right)$ -Fraktils z der N(0,1) -Verteilung wird bestimmt.

   Damit die Normalverteilung angewendet werden kann, muss sichergestellt werden, dass n>30 ist (Approximation mit Hilfe des zentralen Grenzwertsatzes).

4. Mit Hilfe der Stichporbe wird das arithmetische Mittel $\hat{\mu }=\overline x$ berechnet. Wenn dieses jedoch nicht berechnet werden kann, so besteht die Möglichkeit, die Stichprobenvarianz $\hat{\mu }=s^2$ zu nutzen, gemäß der Poissonverteilung: $\sigma ^2=\mu .$

5. Bestimmt werden soll die halbe Breite des Konfidenzintervalls  $\frac{\sqrt{\hat{\mu }}z}{\sqrt n}.$

6. Zu guter Letzt resultiert daraus das Konfidenzintervall für die gegebene Stichprobe:

   $\mathit{KI}=\left[\hat{\mu }-\frac{\sqrt{\hat{\mu }}z}{\sqrt n};\hat{\mu }+\frac{\sqrt{\hat{\mu }}z}{\sqrt n}\right]$.

1. Das Konfidenzniveaus $1-\alpha$ wird bestimmt.

2. Berechnet wird $1-\frac{\alpha } 2.$

3. Die $\left(1-\frac{\alpha } 2\right)$ -Fraktils z der N(0,1) -Verteilung wird bestimmt.

   Damit die Normalverteilung angewendet werden kann, muss auch hier sichergestellt werden, dass n>30 ist (Approximation mittels des zentralen Grenzwertsatzes).

4. Mit Hilfe der Stichprobe wird das arithmetische Mittel $\hat{\mu }=\overline x$ berechnet.  Wenn dieses jedoch nicht berechnet werden kann, so besteht die Alternative $\hat{\mu }=s$ zu verwenden.

5. Bestimmt werden soll die halbe Breite des Konfidenzintervalls $\frac{\hat{\mu }z}{\sqrt n}.$

6. Schlussendlich resultiert daraus das Konfidenzintervall für die gegebene Stichprobe zum:
   $\mathit{KI}=\left[\hat{\mu }-\frac{\hat{\mu }z}{\sqrt n};\hat{\mu }+\frac{\hat{\mu }z}{\sqrt n}\right]$.

1. Das Konfidenzniveau $1-\alpha$ wird der Aufgabenstellung entnommen.

2. Berechnet wird $1-\frac{\alpha } 2.$

3. Die $\left(1-\frac{\alpha } 2\right)$ -Fraktils z der N(0,1) -Verteilung wird bestimmt. Dabei muss sichergestellt werden, dass n>30 ist.

4. Mit Hilfe der Stichprobe wird das arithmetische Mittel $\overline x$ bestimmt. Wenn die Varianz in der Grundgesamtheit bekannt ist, wird $\hat{\sigma }=\sigma $ verwendet. Falls es nicht der Fall ist, so dient $\hat{\sigma }=\sqrt{\frac 1{n-1}\sum _{i=1}^n(X_i-\overline x)^2}$.

5. Bestimmt werden soll die halbe Breite des Konfidenzintervalls $\frac{\hat{\sigma }z}{\sqrt n}.$

6. Schlussendlich resultiert das Konfidenzintervall für die gegebene Stichprobe:
   $\mathit{KI}=\left[\overline x-\frac{\hat{\sigma }z}{\sqrt n};\overline x+\frac{\hat{\sigma }z}{\sqrt n}\right]$.

1. Das Konfidenzniveau $1-\alpha$ wird entnommen.

2. Berechnet werden kann nun der Wert $1-\frac{\alpha } 2.$

3. Mit Hilfe der Stichprobe wird das arithmetische Mittel bestimmt. Aufgrund der dichotome Grundgesamtheit, welche gegeben ist, gilt für das arithmetische Mittel $\overline x:$ $0\leqslant \overline x\leqslant 1.$

4. Aus der entsprechenden Tabelle wird die $\left(1-\frac{\alpha } 2\right)$ -Fraktil z der N(0,1) –Verteilung entnommen. Es wird ersichtlich, dass die Grundgesamtheit nicht normalverteilt ist. Demnach ist dieses Vorgehen approximativ, weswegen eine der folgenden Voraussetzungen zu erfüllen ist:

   1.Fall:
   
   Die Grundgesamtheit ist binomialverteilt. Durch das Ziehen mit Zurücklegen wird die Stichprobe ermittelt. Wenn die Grundgesamtheit extrem groß ist, kann die Stichprobe durch Ziehen ohne Zurücklegen gewählt werden. Befinden wir uns in 2. so muss: $n\overline x\geqslant 5$ und $n\overline x\leqslant n-5$ gelten.

   2. Fall:

   Es besteht eine hypergeometrisch verteilte Grundgesamtheit. In diesem Fall werden die Stichprobenelemente durch Ziehen ohne Zurücklegen gewählt. Folglich muss der Umfang N der Grundgesamtheit bekannt sein und n>30.

5. An diesem Punkt ist eine Schätzung der Standardabweichung der Zufallsvariablen $X_i$ nötig. 
   
   Für den 1. Fall gilt: $\hat{\sigma }=\sqrt{\overline x(1-\overline x)}.$

   Für den 2. Fall gilt: $\hat{\sigma }=\sqrt{\overline x(1-\overline x)\frac{N-n}{N-1}}.$

6. Bestimmt werden soll die halbe Breite des Konfidenzintervalls: $\frac{\hat{\sigma }z}{\sqrt n}.$

7. Schlussendlich bekommen wir für den Konfidenzintervall der gegebenen Stichprobe:
   $\mathit{KI}=\left[\overline x-\frac{\hat{\sigma }z}{\sqrt n};\overline x+\frac{\hat{\sigma }z}{\sqrt n}\right]$.

Die fünf Schritte lassen sich wie folgt untergliedern:

1. Das Konfidenzniveau $1-\alpha$ wird identifiziert.
   Ab jetzt ist es wichtig anhand jedes einzelnen Schritts zu erkennen, um wechen Fall es sich dabei handelt. Die Tabelle dient der Übersicht und der Untergliederung des 1. und des 2. Falls.