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Stichprobentheorie - Zur Bestimmung des Konfidenzintervalls und der richtigen Anwendung des Schemas

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Stichprobentheorie

Zur Bestimmung des Konfidenzintervalls und der richtigen Anwendung des Schemas

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Die einzelnen Teilschritte der jeweiligen Schemas werden im Folgenden beschrieben.

Schema (1)

Das erste Schema bezieht sich auf den Konfidenzintervall bei einer normalverteilten Grundgesamtheit und bekannter Varianz.

Methode

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  1. Genaue Bestimmung des Konfidenzniveaus $1-\alpha $ , dass sich häufig in der Aufgabenstellung finden lässt.

  2. Aus der Berechnung geht $1-\frac{\alpha } 2$ einher.

  3. Das $\left(1-\frac{\alpha } 2\right)$ -Fraktils z der Standardnormalverteilung N(0,1) wird bestimmt.

  4. Mit Hilfe der Stichprobe, wird das arithmetische Mittel $\overline x$ berechnet.

  5. Berechnet werden soll die halbe Breite des Konfidenzintervalls $\frac{\sigma z}{\sqrt n}$

  6. An diesem Punkt kann nun das Konfidenzintervall für die vorliegende Stichprobe bestimmt werden. Dieser ist gegeben durch: $\mathit{KI}=\left[\overline x-\frac{\sigma z}{\sqrt n};\overline x+\frac{\sigma z}{\sqrt n}\right].$ 

Schema (2)

Das zweite Schema gilt für Stichproben n≤ 30 (andernfalls ist das fünfte Schema anzuwenden).
Es gilt für den Konfidenzintervall bei normalverteilter Grundgesamtheit und unbekannter Varianz.

Video: Zur Bestimmung des Konfidenzintervalls und der richtigen Anwendung des Schemas

Methode

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  1. Genaue Bestimmung des Konfidenzniveaus $1-\alpha .$ , das sich häufig in der Aufgabenstellung finden lässt.

  2. Aus der Berechnung geht $1-\frac{\alpha } 2$ einher.

  3. Das $\left(1-\frac{\alpha } 2\right)$ -Fraktils t der t(n-1) -Verteilung (Student-Verteilung) wird bestimmt.

  4. Mit Hilfe der Stichprobe wird das arithmetische Mittel $\overline x$ und die Stichprobenstandardabweichunng $S=\sqrt{\frac 1{n-1}\sum _{i=1}^n(X_i-\overline X)^2}$ berechnet.

  5. Berechnet werden soll die halbe Breite des Konfidenzintervalls $\frac{S\cdot{t}}{\sqrt n}.$

  6. Im Hinblick auf die gegebene Stichprobe ergibt sich das Konfidenzintervall:
    $\mathit{KI}=\left[\overline x-\frac{\mathit{S\cdot{t}}}{\sqrt n};\overline x+\frac{\mathit{S\cdot{t}}}{\sqrt n}\right].$

Schema (3)

Das dritte Schema gilt für den Konfidenzintervall bei poissonverteilter Grundgesamtheit und unbekannter Varianz.

Methode

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  1. Zunächst wird das Konfidenzniveau $1-\alpha$ festgelegt.

  2. Danach folgt die Berechnung von $1-\frac{\alpha } 2$

  3. Die $\left(1-\frac{\alpha } 2\right)$ -Fraktils z der N(0,1) -Verteilung wird bestimmt.

    Damit die Normalverteilung angewendet werden kann, muss sichergestellt werden, dass n>30 ist (Approximation mit Hilfe des zentralen Grenzwertsatzes).

  4. Mit Hilfe der Stichporbe wird das arithmetische Mittel $\hat{\mu }=\overline x$ berechnet. Wenn dieses jedoch nicht berechnet werden kann, so besteht die Möglichkeit, die Stichprobenvarianz $\hat{\mu }=s^2$ zu nutzen, gemäß der Poissonverteilung: $\sigma ^2=\mu .$

  5. Bestimmt werden soll die halbe Breite des Konfidenzintervalls  $\frac{\sqrt{\hat{\mu }}z}{\sqrt n}.$

  6. Zu guter Letzt resultiert daraus das Konfidenzintervall für die gegebene Stichprobe:

    $\mathit{KI}=\left[\hat{\mu }-\frac{\sqrt{\hat{\mu }}z}{\sqrt n};\hat{\mu }+\frac{\sqrt{\hat{\mu }}z}{\sqrt n}\right]$.

Schema (4)

Das vierte Schema kommt bei einem Konfidenzintervall bei exponentialverteilter Grundgesamtheit und unbekannter Varianz zum Einsatz.

Methode

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  1. Das Konfidenzniveaus $1-\alpha$ wird bestimmt.

  2. Berechnet wird $1-\frac{\alpha } 2.$

  3. Die $\left(1-\frac{\alpha } 2\right)$ -Fraktils z der N(0,1) -Verteilung wird bestimmt.

    Damit die Normalverteilung angewendet werden kann, muss auch hier sichergestellt werden dass n>30 ist (Approximation mittels des zentralen Grenzwertsatzes).

  4. Mit Hilfe der Stichprobe wird das arithmetische Mittel $\hat{\mu }=\overline x$ berechnet.  Wenn dieses jedoch nicht berechnet werden kann, so besteht die Alternative $\hat{\mu }=s$ zu verwenden.

  5. Bestimmt werden soll die halbe Breite des Konfidenzintervalls $\frac{\hat{\mu }z}{\sqrt n}.$

  6. Schlussendlich resultiert daraus das Konfidenzintervall für die gegebene Stichprobe zum:
    $\mathit{KI}=\left[\hat{\mu }-\frac{\hat{\mu }z}{\sqrt n};\hat{\mu }+\frac{\hat{\mu }z}{\sqrt n}\right]$.

Schema (5)

Zur Bestimmung eines Konfidenzintervall bei beliebig verteilter Grundgesamtheit n>30 dient das fünfte Schema. 

Video: Zur Bestimmung des Konfidenzintervalls und der richtigen Anwendung des Schemas

Methode

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  1. Das Konfidenzniveau $1-\alpha$ wird der Aufgabenstellung entnommen.

  2. Berechnet wird $1-\frac{\alpha } 2.$

  3. Die $\left(1-\frac{\alpha } 2\right)$ -Fraktils z der N(0,1) -Verteilung wird bestimmt. Dabei muss sichergestellt werden, dass n>30 ist.

  4. Mit Hilfe der Stichprobe wird das arithmetische Mittel $\overline x$ bestimmt. Wenn die Varianz in der Grundgesamtheit bekannt ist, wird $\hat{\sigma }=\sigma $ verwendet. Falls es nicht der Fall ist, so dient $\hat{\sigma }=\sqrt{\frac 1{n-1}\sum _{i=1}^n(X_i-\overline x)^2}$.

  5. Bestimmt werden soll die halbe Breite des Konfidenzintervalls $\frac{\hat{\sigma }z}{\sqrt n}.$

  6. Schlussendlich resultiert das Konfidenzintervall für die gegebene Stichprobe:
    $\mathit{KI}=\left[\overline x-\frac{\hat{\sigma }z}{\sqrt n};\overline x+\frac{\hat{\sigma }z}{\sqrt n}\right]$.

Schema (6)

Bei einem Konfidenzintervall für p bei dichotomer Grundgesamtheit wird das sechste Schema herangezogen.

Methode

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  1. Das Konfidenzniveau $1-\alpha$ wird entnommen.

  2. Berechnet werden kann nun der Wert $1-\frac{\alpha } 2.$

  3. Mit Hilfe der Stichprobe wird das arithmetische Mittel bestimmt. Aufgrund der dichotome Grundgesamtheit, welche gegeben ist, gilt für das arithmetische Mittel $\overline x:$ $0\leqslant \overline x\leqslant 1.$

  4. Aus der entsprechenden Tabelle wird die $\left(1-\frac{\alpha } 2\right)$ -Fraktil z der N(0,1) –Verteilung entnommen. Es wird ersichtlich, dass die Grundgesamtheit nicht normalverteilt ist. Demnach ist dieses Vorgehen approximativ, weswegen eine der folgenden Voraussetzungen zu erfüllen ist:

    1.Fall:

    Die Grundgesamtheit ist binomialverteilt. Durch das Ziehen mit Zurücklegen wird die Stichprobe ermittelt. Wenn die Grundgesamtheit extrem groß ist, kann die Stichprobe durch Ziehen ohne Zurücklegen gewählt werden. Befinden wir uns in 2. so muss: $n\overline x\geqslant 5$ und $n\overline x\leqslant n-5$ gelten.

    2. Fall:

    Es besteht eine hypergeometrisch verteilte Grundgesamtheit. In diesem Fall werden die Stichprobenelemente durch Ziehen ohne Zurücklegen gewählt. Folglich muss der Umfang N der Grundgesamtheit bekannt sein und n>30.

  5. An diesem Punkt ist eine Schätzung der Standardabweichung der Zufallsvariablen $X_i$ nötig. 

    Für den 1. Fall gilt: $\hat{\sigma }=\sqrt{\overline x(1-\overline x)}.$

    Für den 2. Fall gilt: $\hat{\sigma }=\sqrt{\overline x(1-\overline x)\frac{N-n}{N-1}}.$

  6. Bestimmt werden soll die halbe Breite des Konfidenzintervalls: $\frac{\hat{\sigma }z}{\sqrt n}.$

  7. Schlussendlich bekommen wir für den Konfidenzintervall der gegebenen Stichprobe:
    $\mathit{KI}=\left[\overline x-\frac{\hat{\sigma }z}{\sqrt n};\overline x+\frac{\hat{\sigma }z}{\sqrt n}\right]$.

Schema (7)

Das siebte Schema findet Anwendung bei einem Konfidenzintervall bei normalverteilter Grundgesamtheit.

Methode

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Die fünf Schritte lassen sich wie folgt untergliedern:

  1. Das Konfidenzniveau $1-\alpha$ wird identifiziert.
    Ab jetzt ist es wichtig anhand jedes einzelnen Schritts zu erkennen, um wechen Fall es sich dabei handelt. Die Tabelle dient der Übersicht und der Untergliederung des 1. und des 2. Falls.

Schritt

1. Fall

2. Fall

2. 

Häufig ist $\mu$ unbekannt.

$\mu$ ist bekannt.

3.

Zu ermittlen sind $\left(\frac{\alpha } 2\right)$ -Fraktil $c_1$ und das $\left(1-\frac{\alpha } 2\right)$ -Fraktil $c_2$ der $\chi ^2(n-1)$ 

Zu ermitteln sind $\left(\frac{\alpha } 2\right)$ -Fraktil $c_1$ und das $\left(1-\frac{\alpha } 2\right)$ -Fraktil $c_2$ der $\chi ^2(n)$ 

4. 

Aus der Stichprobe kann die Größe $(n-1)s^2$ berechnet werden.

Die Summe $\sum _{i=1}^n(x_i-\mu )^2$ wird ermittelt.

5. 

Für das Konfidenzintervall gilt:
KI =
$\left[(n-1)\frac{s^2}{c_2};(n-1\frac{s^2}{c_1})\right]$

Für das Konfidenzintervall gilt:
KI = $\left[\frac{\sum _{i=1}^n(x_i-\mu )^2}{c_2};\frac{\sum _{i=1}^n(x_i-\mu )^2}{c_1}\right]$.


Bevor es zur Anwendung des durchaus nützlichen Schemas kommt, wird ein letztes Schema vorgestellt.


Schema (8)

Bei der Bestimmung aller anderen Konfidenzintervallen, welche bislang unerwähnt blieben, wird das achte Schema verwendet. 

Methode

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Parameterschätzung

Verfahren zur Lösung

$\sigma:$ Wenn eine genaue,  normalverteilte Grundgesamtheit besteht.

Das siebte Schema ist dann anzuwenden, wenn die Anwendungsvoraussetzung erfüllt ist. Danach wird die Wurzel aus der Intervallgrenze gezogen.

$\lambda:$ Wenn eine exponentialverteilte
Grundgesamtheit besteht.

Dafür eignet sich das vierte Schema.

Ein Intervall der Form: [u;o]: (u= untere Grenze, o= obere Grenze) ergibt sich als ursprüngliches Ergebnis.

Mittels der Transformation resultiert das Intervall für $\lambda$. Bei dem Endergebnis handelt es sich, um ein Intervall der Form: $\mathit{KI}_{\mathit{neu}}=\left[\frac 1 o;\frac 1 u\right].$ 

Erläuterung: Bei der Exponentialverteilung gilt: $\lambda =\frac 1{\mu }.$

$\lambda:$ Wenn eine poissonverteilte Grundgesamtheit

vorliegt.

Hierfür kommt das dritte Schema zum Einsatz, denn für die Poissonverteilung gilt: $\lambda =\mu .$

$\sigma ^2:$ Wenn eine poissonverteilte Grundgesamtheit besteht.

Achtung: Das siebte Schema kann nur bei einer Normalverteilung angewendet werden.

Das dritte Schema kommt auch hier zum Zug, denn für die Poissonverteilung gilt: $\sigma ^2=\lambda =\mu .$