Bestimmung des Konfidenzintervalls. Welches Schema ist wann anwendbar?

1. Schritt: Explizite Bestimmung des Konfidenzniveaus $1-\alpha .$ Dieses ist sehr oft in der

   Aufgabenstellung zu finden.

2. Schritt: Daraus wird $1-\frac{\alpha } 2$ berechnet.

3. Schritt: Bestimmung des $\left(1-\frac{\alpha } 2\right)$ -Fraktils z der Standardnormalverteilung N(0,1).

4. Schritt: Wir ermitteln das arithmetische Mittel $\overline x$ in der Stichprobe.

5. Schritt: Jetzt berechnen wir die halbe Breite des Konfidenzintervalls, d.h. $\frac{\sigma z}{\sqrt n}$.

6. Schritt: Nun sind wir in der Lage, das Konfidenzintervall für die vorliegende Stichprobe zu

   ermitteln. Dieses ist gegeben durch: $\mathit{KI}=\left[\overline x-\frac{\sigma z}{\sqrt n};\overline x+\frac{\sigma z}{\sqrt n}\right].$

1. Schritt: Bestimmung des Konfidenzniveaus  $1-\alpha .$ Man findet es meistens in der

   Aufgabenstellung

2. Schritt: Daraus wird $1-\frac{\alpha } 2$ berechnet.

3. Schritt: Bestimmung des $\left(1-\frac{\alpha } 2\right)$ -Fraktils t der t(n-1) -Verteilung (Student-Verteilung)

4. Schritt: Wir ermitteln das arithmetische Mittel $\overline x$ und berechnen die

   Stichprobenstandardabweichunng $S=\sqrt{\frac 1{n-1}\sum _{i=1}^n(X_i-\overline X)^2}$ in der Stichprobe

5. Schritt: Jetzt berechnen wir die halbe Breite des Konfidenzintervalls, d.h. $\frac{S\cdot{t}}{\sqrt n}.$

6. Schritt: Das Konfidenzintervall für die vorliegende Stichprobe ergibt sich dann zu
   $\mathit{KI}=\left[\overline x-\frac{\mathit{S\cdot{t}}}{\sqrt n};\overline x+\frac{\mathit{S\cdot{t}}}{\sqrt n}\right].$

1. Schritt: Das Konfidenzniveau $1-\alpha$ wird ausgemacht.

2. Schritt: Berechnung von $1-\frac{\alpha } 2$

3. Schritt: Bestimmung des $\left(1-\frac{\alpha } 2\right)$ -Fraktils z der N(0,1) -Verteilung.

   Für die Anwendung der Normalverteilung muss vorausgesetzt werden, dass n>30.

   (Approximation mittels des Zentralen Grenzwertsatzes)

4. Schritt: Ermittlung des arithmetischen Mittels $\hat{\mu }=\overline x$ in der Stichprobe. Falls dies nicht möglich

   ist, kann alternativ die Stichprobenvarianz $\hat{\mu }=s^2$ benutzt werden, da bei der Poissonverteilung

   gilt: $\sigma ^2=\mu .$

5. Schritt: Bestimmung der halben Breite des Konfidenzintervalls, d.h. $\frac{\sqrt{\hat{\mu }}z}{\sqrt n}.$

6. Schritt: Schließlich ergibt sich das Konfidenzintervall für die vorliegende Stichprobe zu:

   $\mathit{KI}=\left[\hat{\mu }-\frac{\sqrt{\hat{\mu }}z}{\sqrt n};\hat{\mu }+\frac{\sqrt{\hat{\mu }}z}{\sqrt n}\right]$.

1. Schritt: Ermittlung des Konfidenzniveaus $1-\alpha$

2. Schritt: Berechnung von $1-\frac{\alpha } 2.$

3. Schritt: Bestimmung des $\left(1-\frac{\alpha } 2\right)$ -Fraktils z der N(0,1) -Verteilung.

   Für die Anwendung der Normalverteilung muss auch hier vorausgesetzt werden,

   dass n>30. (Approximation mittels des Zentralen Grenzwertsatzes)

4. Schritt: Bestimmung des arithmetischen Mittels $\hat{\mu }=\overline x$ in der Stichprobe. Falls dies nicht

   möglich ist, kann alternativ $\hat{\mu }=s$ verwendet werden.

5. Schritt: Berechnung der halben Breite des Konfidenzintervalls, d.h. $\frac{\hat{\mu }z}{\sqrt n}.$

6. Schritt: Abschließend ergibt sich das Konfidenzintervall für die vorliegende Stichprobe zu:
   $\mathit{KI}=\left[\hat{\mu }-\frac{\hat{\mu }z}{\sqrt n};\hat{\mu }+\frac{\hat{\mu }z}{\sqrt n}\right]$.

1. Schritt: Das Konfidenzniveau $1-\alpha$ wird der Aufgabenstellung entnommen.

2. Schritt: Berechnung von $1-\frac{\alpha } 2.$

3. Schritt: Bestimmung des $\left(1-\frac{\alpha } 2\right)$ -Fraktils z der N(0,1) -Verteilung. Hier muss n>30 gelten

4. Schritt: Bestimmung des arithmetischen Mittels $\overline x$ in der Stichprobe. Ist die Varianz in der

   Grundgesamtheit bekannt, so wird $\hat{\sigma }=\sigma $ verwendet. Ist dies nicht der Fall, so gilt

   $\hat{\sigma }=\sqrt{\frac 1{n-1}\sum _{i=1}^n(X_i-\overline x)^2}$.

5. Schritt:.Berechnung der halben Breite des Konfidenzintervalls, d.h. $\frac{\hat{\sigma }z}{\sqrt n}.$

6. Schritt: Abschließend ergibt sich das Konfidenzintervall für die vorliegende Stichprobe zu:
   $\mathit{KI}=\left[\overline x-\frac{\hat{\sigma }z}{\sqrt n};\overline x+\frac{\hat{\sigma }z}{\sqrt n}\right]$.

1. Schritt: Wir entnehmen das Konfidenzniveau $1-\alpha$

2. Schritt: Nun sind wir in der Lage den Wert $1-\frac{\alpha } 2$ zu berechnen.

3. Schritt: Bestimmung des arithmetischen Mittels in der vorliegenden Stichprobe. Weil eine

   dichotome Grundgesamtheit vorliegt, gilt für das arithmetische Mittel $\overline x:$ $0\leqslant \overline x\leqslant 1.$

4. Schritt: Wir entnehmen der entsprechenden Tabelle das $\left(1-\frac{\alpha } 2\right)$ -Fraktil z der N(0,1) –

   Verteilung. Die Grundgesamtheit ist nicht normalverteilt. Unser Vorgehen ist approximativ, so

   dass eine der folgenden Voraussetzungen erfüllt sein muss:

   Fall a):

   Die Grundgesamtheit ist binomialverteilt. Die Stichprobe ermitteln wir durch Ziehen mit Zurücklegen.

   Ist es nun so, dass die Grundgesamtheit sehr sehr enorm groß ist, so können wir die Stichprobe durch Ziehen ohne Zurücklegen wählen. Befinden wir uns in 2), so muss gelten: $n\overline x\geqslant 5$ und $n\overline x\leqslant n-5.$

   Fall b):

   Es liegt eine hypergeometrisch verteilte Grundgesamtheit vor. Dann wählen wir die Stichprobenelemente durch Ziehen ohne Zurücklegen. Diesbezüglich muss n>30 sein und der Umfang N der Grundgesamtheit muss bekannt sein.

5. Schritt: Nun ist es nötig eine Schätzung der Standardabweichung der Zufallsvariablen $X_i$ zu ermitteln.

   Im Fall a) gilt: $\hat{\sigma }=\sqrt{\overline x(1-\overline x)}.$

   Im Fall b) gilt: $\hat{\sigma }=\sqrt{\overline x(1-\overline x)\frac{N-n}{N-1}}.$

6. Schritt: Bestimmung der halben Breite des Konfidenzintervalls: $\frac{\hat{\sigma }z}{\sqrt n}.$

7. Schritt: Nun erhalten wir für das Konfidenzintervall der vorliegenden Stichprobe:
   $\mathit{KI}=\left[\overline x-\frac{\hat{\sigma }z}{\sqrt n};\overline x+\frac{\hat{\sigma }z}{\sqrt n}\right]$.

Hier liegen insgesamt fünf Schritte vor.

1. Schritt: Wir identifizieren das Konfidenzniveau $1-\alpha$ 

   Von nun an ist es nötig in jedem Schritt zu erkennen, in welchem Fall man ist.

Die möglichen zwei Fälle seien a) und b).