Kursangebot | Stichprobentheorie | Vorgehensweisen, Kochrezepte zur Bestimmung des entsprechenden Konfidenzintervalls

Stichprobentheorie

Vorgehensweisen, Kochrezepte zur Bestimmung des entsprechenden Konfidenzintervalls

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Lambert-Kochrezept 1

Konfidenzintervall fürbei normalverteilter Grundgesamtheit und bekannter Varianz

Methode

  1. Schritt: Explizite Bestimmung des Konfidenzniveaus $1-\alpha .$ Dieses ist sehr oft in der

    Aufgabenstellung zu finden.

  2. Schritt: Daraus wird $1-\frac{\alpha } 2$ berechnet.

  3. Schritt: Bestimmung des $\left(1-\frac{\alpha } 2\right)$ -Fraktils z der Standardnormalverteilung N(0,1).

  4. Schritt: Wir ermitteln das arithmetische Mittel $\overline x$ in der Stichprobe.

  5. Schritt: Jetzt berechnen wir die halbe Breite des Konfidenzintervalls, d.h. $\frac{\sigma z}{\sqrt n}$.

  6. Schritt: Nun sind wir in der Lage, das Konfidenzintervall für die vorliegende Stichprobe zu

    ermitteln. Dieses ist gegeben durch: $\mathit{KI}=\left[\overline x-\frac{\sigma z}{\sqrt n};\overline x+\frac{\sigma z}{\sqrt n}\right].$

Lambert Kochrezept 2 (für Stichproben n≤ 30, sonst Kochrezept 5 anwenden)

Konfidenzintervall für bei normalverteilter Grundgesamtheit und unbekannter Varianz

Video: Vorgehensweisen, Kochrezepte zur Bestimmung des entsprechenden Konfidenzintervalls

Vorgehensweisen, Kochrezepte zur Bestimmung des entsprechenden Konfidenzintervalls

Methode

  1. Schritt: Bestimmung des Konfidenzniveaus  $1-\alpha .$ Man findet es meistens in der

    Aufgabenstellung

  2. Schritt: Daraus wird $1-\frac{\alpha } 2$ berechnet.

  3. Schritt: Bestimmung des $\left(1-\frac{\alpha } 2\right)$ -Fraktils t der t(n-1) -Verteilung (Student-Verteilung)

  4. Schritt: Wir ermitteln das arithmetische Mittel $\overline x$ und berechnen die

    Stichprobenstandardabweichunng $S=\sqrt{\frac 1{n-1}\sum _{i=1}^n(X_i-\overline X)^2}$ in der Stichprobe

  5. Schritt: Jetzt berechnen wir die halbe Breite des Konfidenzintervalls, d.h. $\frac{S\cdot{t}}{\sqrt n}.$

  6. Schritt: Das Konfidenzintervall für die vorliegende Stichprobe ergibt sich dann zu
    $\mathit{KI}=\left[\overline x-\frac{\mathit{S\cdot{t}}}{\sqrt n};\overline x+\frac{\mathit{S\cdot{t}}}{\sqrt n}\right].$

Lambert-Kochrezept 3

Konfidenzintervall für bei poissonverteilter Grundgesamtheit und unbekannter Varianz

Methode

  1. Schritt: Das Konfidenzniveau $1-\alpha$ wird ausgemacht.

  2. Schritt: Berechnung von $1-\frac{\alpha } 2$

  3. Schritt: Bestimmung des $\left(1-\frac{\alpha } 2\right)$ -Fraktils z der N(0,1) -Verteilung.

    Für die Anwendung der Normalverteilung muss vorausgesetzt werden, dass n>30.

    (Approximation mittels des Zentralen Grenzwertsatzes)

  4. Schritt: Ermittlung des arithmetischen Mittels $\hat{\mu }=\overline x$ in der Stichprobe. Falls dies nicht möglich

    ist, kann alternativ die Stichprobenvarianz $\hat{\mu }=s^2$ benutzt werden, da bei der Poissonverteilung

    gilt: $\sigma ^2=\mu .$

  5. Schritt: Bestimmung der halben Breite des Konfidenzintervalls, d.h. $\frac{\sqrt{\hat{\mu }}z}{\sqrt n}.$

  6. Schritt: Schließlich ergibt sich das Konfidenzintervall für die vorliegende Stichprobe zu:

    $\mathit{KI}=\left[\hat{\mu }-\frac{\sqrt{\hat{\mu }}z}{\sqrt n};\hat{\mu }+\frac{\sqrt{\hat{\mu }}z}{\sqrt n}\right]$.

Lambert-Kochrezept 4

Konfidenzintervall fürbei exponentialverteilter Grundgesamtheit und unbekannter Varianz

Methode

  1. Schritt: Ermittlung des Konfidenzniveaus $1-\alpha$

  2. Schritt: Berechnung von $1-\frac{\alpha } 2.$

  3. Schritt: Bestimmung des $\left(1-\frac{\alpha } 2\right)$ -Fraktils z der N(0,1) -Verteilung.

    Für die Anwendung der Normalverteilung muss auch hier vorausgesetzt werden,

    dass n>30. (Approximation mittels des Zentralen Grenzwertsatzes)

  4. Schritt: Bestimmung des arithmetischen Mittels $\hat{\mu }=\overline x$ in der Stichprobe. Falls dies nicht

    möglich ist, kann alternativ $\hat{\mu }=s$ verwendet werden.

  5. Schritt: Berechnung der halben Breite des Konfidenzintervalls, d.h. $\frac{\hat{\mu }z}{\sqrt n}.$

  6. Schritt: Abschließend ergibt sich das Konfidenzintervall für die vorliegende Stichprobe zu:
    $\mathit{KI}=\left[\hat{\mu }-\frac{\hat{\mu }z}{\sqrt n};\hat{\mu }+\frac{\hat{\mu }z}{\sqrt n}\right]$.

Lambert-Kochrezept 5

Konfidenzintervall fürbei beliebig verteilter Grundgesamtheit, n>30

Video: Vorgehensweisen, Kochrezepte zur Bestimmung des entsprechenden Konfidenzintervalls

Vorgehensweisen, Kochrezepte zur Bestimmung des entsprechenden Konfidenzintervalls

Methode

  1. Schritt: Das Konfidenzniveau $1-\alpha$ wird der Aufgabenstellung entnommen.

  2. Schritt: Berechnung von $1-\frac{\alpha } 2.$

  3. Schritt: Bestimmung des $\left(1-\frac{\alpha } 2\right)$ -Fraktils z der N(0,1) -Verteilung. Hier muss n>30 gelten

  4. Schritt: Bestimmung des arithmetischen Mittels $\overline x$ in der Stichprobe. Ist die Varianz in der

    Grundgesamtheit bekannt, so wird $\hat{\sigma }=\sigma $ verwendet. Ist dies nicht der Fall, so gilt

    $\hat{\sigma }=\sqrt{\frac 1{n-1}\sum _{i=1}^n(X_i-\overline x)^2}$.

  5. Schritt:.Berechnung der halben Breite des Konfidenzintervalls, d.h. $\frac{\hat{\sigma }z}{\sqrt n}.$

  6. Schritt: Abschließend ergibt sich das Konfidenzintervall für die vorliegende Stichprobe zu:
    $\mathit{KI}=\left[\overline x-\frac{\hat{\sigma }z}{\sqrt n};\overline x+\frac{\hat{\sigma }z}{\sqrt n}\right]$.

Lambert - Kochrezept 6

Konfidenzintervall für p bei dichotomer Grundgesamtheit

Methode

  1. Schritt: Wir entnehmen das Konfidenzniveau $1-\alpha$

  2. Schritt: Nun sind wir in der Lage den Wert $1-\frac{\alpha } 2$ zu berechnen.

  3. Schritt: Bestimmung des arithmetischen Mittels in der vorliegenden Stichprobe. Weil eine

    dichotome Grundgesamtheit vorliegt, gilt für das arithmetische Mittel $\overline x:$ $0\leqslant \overline x\leqslant 1.$

  4. Schritt: Wir entnehmen der entsprechenden Tabelle das $\left(1-\frac{\alpha } 2\right)$ -Fraktil z der N(0,1) –

    Verteilung. Die Grundgesamtheit ist nicht normalverteilt. Unser Vorgehen ist approximativ, so

    dass eine der folgenden Voraussetzungen erfüllt sein muss:

    Fall a):

    Die Grundgesamtheit ist binomialverteilt. Die Stichprobe ermitteln wir durch Ziehen mit Zurücklegen.

    Ist es nun so, dass die Grundgesamtheit sehr sehr enorm groß ist, so können wir die Stichprobe durch Ziehen ohne Zurücklegen wählen. Befinden wir uns in 2), so muss gelten: $n\overline x\geqslant 5$ und $n\overline x\leqslant n-5.$

    Fall b):

    Es liegt eine hypergeometrisch verteilte Grundgesamtheit vor. Dann wählen wir die Stichprobenelemente durch Ziehen ohne Zurücklegen. Diesbezüglich muss n>30 sein und der Umfang N der Grundgesamtheit muss bekannt sein.

  5. Schritt: Nun ist es nötig eine Schätzung der Standardabweichung der Zufallsvariablen $X_i$ zu ermitteln.

    Im Fall a) gilt: $\hat{\sigma }=\sqrt{\overline x(1-\overline x)}.$

    Im Fall b) gilt: $\hat{\sigma }=\sqrt{\overline x(1-\overline x)\frac{N-n}{N-1}}.$

  6. Schritt: Bestimmung der halben Breite des Konfidenzintervalls: $\frac{\hat{\sigma }z}{\sqrt n}.$

  7. Schritt: Nun erhalten wir für das Konfidenzintervall der vorliegenden Stichprobe:
    $\mathit{KI}=\left[\overline x-\frac{\hat{\sigma }z}{\sqrt n};\overline x+\frac{\hat{\sigma }z}{\sqrt n}\right]$.

Lambert - Kochrezept 7

Konfidenzintervall fürbei normalverteilter Grundgesamtheit

Methode

Hier liegen insgesamt fünf Schritte vor.

  1. Schritt: Wir identifizieren das Konfidenzniveau $1-\alpha$ 

    Von nun an ist es nötig in jedem Schritt zu erkennen, in welchem Fall man ist.

Die möglichen zwei Fälle seien a) und b).

Schritt

Fall a)

Fall b)

2. Schritt:

$\mu$ ist unbekannt (so gut wie immer der Fall).

$\mu$ ist bekannt.

3. Schritt:

Das $\left(\frac{\alpha } 2\right)$ -Fraktil $c_1$ und das $\left(1-\frac{\alpha } 2\right)$ -Fraktil $c_2$ der $\chi ^2(n-1)$ sind zu bestimmen.

Das $\left(\frac{\alpha } 2\right)$ -Fraktil $c_1$ und das $\left(1-\frac{\alpha } 2\right)$ -Fraktil $c_2$ der $\chi ^2(n)$ sind zu bestimmen.

4. Schritt:

Aus der Stichprobe kann die Größe $(n-1)s^2$ berechnet werden.

Die Summe $\sum _{i=1}^n(x_i-\mu )^2$ wird ermittelt.

5. Schritt:

Das Konfidenzintervall lautet nun:
KI =
$\left[(n-1)\frac{s^2}{c_2};(n-1\frac{s^2}{c_1})\right]$

Das Konfidenzintervall lautet nun:
KI = $\left[\frac{\sum _{i=1}^n(x_i-\mu )^2}{c_2};\frac{\sum _{i=1}^n(x_i-\mu )^2}{c_1}\right]$.

Bevor wir unsere äußerst nützlichen und direkt anwendbaren Kochrezepte an Beispielen anwenden, werden wir noch ein letztes Kochrezept erwähnen.

Lambert – Kochrezept 8

Andere Konfidenzintervalle

Methode

Schätzung welchen Parameters

Vorgehensweise zur Lösung

$\sigma:$ Falls eine exakt normalverteilte

Grundgesamtheit vorliegt.

Falls die Anwendungsvoraussetzung erfüllt ist, so ist das Kochrezept 7 anzuwenden. Anschließend zieht man aus den Intervallgrenzen die Wurzel.

$\lambda:$ Falls eine exponentialverteilte

Grundgesamtheit vorliegt.

Kochrezept 4 hilft uns weiter.

Als ursprüngliches Ergebnis ergibt sich ein Intervall der Form: [u;o]: (u:= untere Grenze, o= obere Grenze).

Durch Transformation ergibt sich das Intervall für $\lambda$. Das Endergebnis ist ein Intervall der Form: $\mathit{KI}_{\mathit{neu}}=\left[\frac 1 o;\frac 1 u\right].$ Erklärung: Es gilt bei der Exponentialverteilung: $\lambda =\frac 1{\mu }.$

$\lambda:$ Falls eine poissonverteilte Grundgesamtheit

vorliegt.

Hier benötigen wir Kochrezept 3, da bei der poissonverteilung gilt: $\lambda =\mu .$

$\sigma ^2:$ Falls eine poissonverteilte Grundgesamtheit vorliegt. (Erinnerung: Kochrezept 7 ist nur bei Normalverteilung anwendbar.)

Auch hier führt uns Kochrezept 3 zum Ziel, da bei einer Poissonverteilung gilt: $\sigma ^2=\lambda =\mu .$