Funktionsweise eines Tests am Beispiel des Einstichproben-Gaußtests

In diesem Teil werden wir uns ausführlicher mit dem wahrscheinlichkeitstheoretischen Hintergrund in Bezug auf die Fehlerarten beschäftigen, um den Signifikationstest besser zu verstehen. Dazu schauen wir uns eine normalverteilte Grundgesamtheit mit bekannter Standardabweichung an.
Betrachtet wird hier der Einstichproben -Gaußtest zum Signifikanznivaeu $\alpha$.

$H_0:\mu \geqslant \mu _0$ gegen $H_1:\mu$

Demnach kann sich die Frage gestellt werden, ob das zufolge hat, dass die Hypothese $H_0$ nicht wahr ist.

Das arithmetische Mittel $\overline x$ ist für das weitere Vorgehen notwendig. Zudem handelt es sich um eine normalverteilte Grundgesamtheit auf Grund der Reproduktionseigenschaft.

Demnach ist $\overline x\text{~}N(\mu _{\overline x},\sigma _{\overline x}).$ 

Wir kennen den Erwartungswert des arithmetischen Mittels nicht. Falls das nicht der Fall wäre, wäre der Test nicht durchführbar, weil der Erwartungswert des arithmetischen Mittels dem Wert der Grundgesamtheit gleichermaßen entspricht.

Folglich muss $\sigma _{\overline x}$ bestimmt werden.

Somit ist $\sigma _{\overline x}=\sqrt{\sigma _{\overline x}^2}=\sqrt{\mathit{VAR}(\overline X)}=\sqrt{\mathit{VAR}\left(\frac 1 n\sum _{i=1}^nX_i\right)}=\sqrt{\frac 1{n^2}\sum _{i=1}^n\mathit{VAR}(X_i)}=\sqrt{\frac 1{n^2}\sum _{i=1}^n\sigma ^2}=\sqrt{\frac 1{n^2}n\sigma ^2}=\frac{\sigma }{\sqrt n}.$

Bei dem Zusammenhang spricht man auch von dem "Wurzel n-Gesetz“.

Es ergibt sich: $\overline x\text{~}N(\mu ;\frac{\sigma }{\sqrt n})$ für die Verteilung, wenngleich $\mu $ nicht bekannt ist.

Unbeantwortet bleibt jedoch die Frage, wann es soweit ist $H_0$ zu verwerfen. Das passiert im Falle dessen, wenn $\overline x$ der Hypothese $H_0$ eindeutig widerspricht. Die Wahl der Hypothese liefert eine Antwort darauf, und sagt aus, dass diese zu verwerfen ist, wenn ein sehr geringer Wert für $\overline x$ eingesetzt wird.

Abb. 6: Dichtefunktion des arithmetischen Mittels

In der oben abgebildeten Normalverteilung, ist der kritische Wert des Alphafrakils zu sehen.

Es wird ersichtlich, dass das arithmetische Mittel $\overline x$ der Stichprobe kleiner ist als der kritische Wert, wodurch $H_0$ automatisch widerlegt wird.

Wenn angenommen wird, dass $H_0$ der Wahrheit entspricht, dann wird $\overline x$ standardisiert, was so viel heißt wie: $\frac{\overline x-\mu _0}{\sigma _{\overline x}}=\frac{\overline x-\mu _0}{\frac{\sigma }{\sqrt n}}=\frac{\overline x-\mu _0}{\sigma }\sqrt n.$

Somit ist dies mit der Testfunktion deckungsgleich.

Fortlaufend lassen sich die Überlegungen zur oberen Graphik auf den Testfunktionswert anwenden:

Abb. 7: Dichtefunktion der Testfunktion v

Zu beachten ist, dass vermutet wird, dass $H_0$ der Wahrheit entspricht und demnach auch der kritische Wert zu standardisieren ist. Denn wenn $H_0$ entspricht, bedeutet es, dass v eine Verteilung von: $\text v\text{~}N(0;1).$ hat.

Wenn es nun so ist, dass v eine signifikante Abweichung von null nach unten aufweist, dann kann davon ausgegangen werden, dass $H_1$ richtig ist.
Daraus resultiert dann der Verwerfungsbereich $B=(-\infty ;z_{\alpha }).$

Das Alphafraktil der Standardnormalverteilung ist z. Meist sind hierbei lediglich Werte für $\alpha \geqslant 50\text{%}$ zu entnehmen. Es gilt $B=(-\infty ;z_{\alpha })=(-\infty ;-z_{1-\alpha })$
wegen der Symmetrieeigenschaften der Standardnormalverteilung. Falls v im Verwerfungsbereich liegt, dann kommt es zu einer Verwerfung von $H_0$

Da v unter der Annahme ermittelt wurde, dass $H_0$ richtig ist, kann bei einer Verwerfung in 100 mal $\alpha$ Prozent davon ausgegangen werden, dass es sich um einen Fehler erster Art handelt.

Demnach wäre möglich, dass man zu der Entscheidung käme, dass $H_0$ falsch ist und $H_1$ richtig. Das würde allerdings bedeuten, dass v nicht standardnormalverteilt wäre, wenngleich die Normalverteilungseigenschaft erhalten sind. Für die Testfunktion heißt das allerdings ein von 0 verschiedener Erwartungswert, was so viel bedeutet wie:

$E(\text v)=E\left(\frac{\overline x-\mu _0}{\sigma }\sqrt n\right)=\frac{\sqrt n}{\sigma }E(\overline x-\mu _0)=\frac{\sqrt n}{\sigma }E(\mu -\mu _0)$

Es wird deutlich, dass der Erwartungswert der Testfunktion kleiner als null ist.

Es wurde davon ausgegangen, dass die Standardabweichung in der Grundgesamtheit bekannt ist, was gleichzeitig heißt, dass sich diese nicht verändert sondern gleich groß bleibt.

Somit ist $v\text{{\textbar}}H_0\text{\~{}}N(0;1),$ und $v\text{{\textbar}}H_1\text{\~{}}N(\frac{\sqrt n}{\sigma }(\mu -\mu _0);1),$ wenngleich $\frac{\sqrt n}{\sigma }(\mu -\mu _0)$

Da wir vorausgesetzt haben, dass $H_0$ falsch ist, müsste der Test $H_1$ verwerfen. Nur so käme man zum richtigen Ergebnis. Es folgt eine Abbildung zum Einstichproben – Gaußtest:

Wenn dabei davon ausgegangen wird, dass $H_0$ nicht wahr ist, wäre die Folge, dass der Test $H_1$  zugunsten des richtigen Ergebnisses verworfen wird.

Die folgende Abbildung zeigt den Einstichproben – Gaußtest:

Abb. 8: Alpha- und Betafehler bei einem Einstichproben Gaußtest

Anhand der Abbildung sehen wir, dass dies nicht immer der Fall ist. In 100 mal $\beta$ Prozent aller Fälle kommt es zu einem Fehler zweiter Art.

Lösung zur Aufgabe a

1. Anwendungsvoraussetzungen
   Die Anwendungsvoraussetzungen sind gegeben.

2. Wahl der Hypothese
   c)  $H_0:\mu \leqslant 160$ gegen $H_1:\mu >160.$

3. Signifikanzniveau
   $\alpha = 5%$

4. Testfunktionswert
   $\frac{\overline x-\mu _0}{\sigma }\sqrt n=\frac{162-160} 2\sqrt 5=2,236.$

5. Verwerfungsbereich
   Hinsichtlich der Wahl der Hypothese ist der Verwerfungsbereich zu wählen, d.h. $B=\text (z_{1-\alpha };\infty \text ),$ bei dem das 95 % Fraktil \ der N(0;1) Verteilung z ist.
   Demnach ist $B=\text (1,6449;\infty \text ).$

6. Testentscheidung
   Weil $\text v\in \mathit{B.}$ wird $H_0$ verworfen.

7. Deutung
   Der Erwartungswert ist größer als 16 cm, wenn das Signifikanzniveau 5 % beträgt. 

Lösung zur Aufgabe b

Beispielaufgaben zur Klausurvorbereitung

 Zugunsten der Fehlervermeidung in der Statistikklausur, wurden die folgenden Aufgaben falsch gelöst.

1. Aufgabe

Ausgehen davon, dass VAR(Y) = 100 und VAR(Z) = 6 , besteht die Annahme, dass die Varianz von Y+Z folgendes beträgt: VAR(Y)+VAR(Z) = 10 +6 = 16.

2. Aufgabe

VAR(Y) = 10. Zu finden ist die Varianz von Z = 10Y.
Demnach ist davon auszugehen, dass: VAR(Z) = VAR(10Y) = 10*VAR(Y) = 100.

3. Aufgabe

Laut den Ergebnissen einer einfachen Stichprobe sind von 20 Personen ein fünftel gestresst. Gesucht ist ein Konfidenzintervall für den Anteil der nicht gestressten Personen $\alpha = 0,01$.
Behauptung: $z_{0,995}=2,58$ und KI=[0,57;1,03].

4. Aufgabe

Bei einer Stichprobe mit einer normalverteilten Grundgesamtheit von fünf statistischen Einheiten, kommt für das arithmetische Mittel 80 und für die Standardabweichung fünf heraus.
Frage: Ist es möglich aufzuzeigen, dass der Erwartungswert der Grundgesamtheit unter 89 liegt?

Annahme: Die Anwendungsvoraussetzungen für den Einstichproben-Gaußtest sind erfüllt.

Da das Signifikanzniveau nicht bekannt ist, ist dieses frei wählbar. Damit wird hier ein gängiger Wert von $\alpha = 0,01$ gewählt.

c) $H_0:\mu \leqslant 89$ gegen $H_1:\mu >89$

$\text v=\frac{80-89} 5\sqrt 5=-4,024.$
$B=\text (2,33;\infty \text ).$

Weil $\text v\notin \mathit{B.}$  ist es $H_0$. Somit wird $H_0$ nicht verworfen.