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Tests bei zwei verbundenen Stichproben

WebinarTerminankündigung:
 Am 08.12.2016 (ab 18:00 Uhr) findet unser nächstes Webinar statt.
Gratis-Webinar Diskrete und stetige Verteilungen in der Wahrscheinlichkeitsrechnung
- In diesem 60-minütigen Gratis-Webinar gehen wir darauf ein, welche diskreten und stetigen Verteilungen Sie in der Prüfung beherrschen müssen.
[weitere Informationen] [Terminübersicht]

Differenzentest: t - Test (3.4.1)

Methode

Methode

1. Schritt: Es ist zu prüfen, ob die Anwendungsvoraussetzungen erfüllt sind.
Es liegen zwei verbundene Stichproben vor.
Beide Grundgesamtheiten sind normalverteilt.
Es liegt ein Test bezüglich des Vergleichs der Erwartungswerte vor.

2. Schritt: Hypothesenwahl

  • a) $H_0:\mu _1=\mu _2$ gegen $H_1:\mu _1\neq \mu _2$
  • b) $H_0:\mu _1\geqslant \mu _2$ gegen $H_1:\mu _1<\mu _2$
  • c) $H_0:\mu _1\leqslant \mu _2$ gegen $H_1:\mu _1>\mu _2$
3. Schritt: Festlegung des Signifikanzniveaus $\alpha$.
4. Schritt: Berechnung des Testfunktionswertes:
$\text v=\frac{\overline x-\overline y}{\sqrt{\frac 1{n-1}\sum _{i=1}^n(x_i-y_i-(\overline x-\overline y))^2}}\sqrt n$
$\text v=\frac{\overline x-\overline y}{\sqrt{s_x^2+s_y^2-2\frac{s_{\mathit{xy}}}{s_xs_y}}}\sqrt n$

5. Schritt: Der Verwerfungsbereich wird in Anlehnung an die Hypothesenwahl gewählt, d.h.

  • a) $B=\text (-\infty ;-t_{1-\frac{\alpha } 2}\text )\cup \text (t_{1-\frac{\alpha } 2};\infty \text )$
  • b) $B=\text (-\infty ;-t_{1-\alpha }\text )$
  • c) $B=\text (t_{1-\alpha };\infty \text ).$
    Es ist t das jeweilige Fraktil der t(n-1) – Verteilung. Ist n > 30, so ist bei der N(0,1)-Verteilung nachzuschlagen.
6. Schritt: $H_0$ wird verworfen, wenn $\text v\in \mathit{B.}$

Differenzentest: Approximativer Gaußtest (3.4.2)

Methode

Methode

1. Schritt: Es ist zu prüfen, ob die Anwendungsvoraussetzungen erfüllt sind.
Es liegen zwei verbundene Stichproben vor.
Beide Merkmale sind beliebig verteilt mit Stichprobenumfängen $n_1$ und $n_2,$ wobei  $n_1,n_2>30.$
Es liegt ein Test bezüglich des Vergleichs der Erwartungswerte vor.

2. Schritt: Hypothesenwahl

  • a) $H_0:\mu _1=\mu _2$ gegen $H_1:\mu _1\neq \mu _2$
  • b) $H_0:\mu _1\geqslant \mu _2$ gegen $H_1:\mu _1<\mu _2$
  • c) $H_0:\mu _1\leqslant \mu _2$ gegen $H_1:\mu _1>\mu _2.$
3. Schritt: Festlegung des Signifikanzniveaus $\alpha$. 
4. Schritt: Berechnung des Testfunktionswertes:
$\text v=\frac{\overline x-\overline y}{\sqrt{\frac 1{n-1}\sum _{i=1}^n(x_i-y_i-(\overline x-\overline y))^2}}\sqrt n$

5. Schritt: Der Verwerfungsbereich wird in Anlehnung an die Hypothesenwahl gewählt, d.h.

  • a) $B=\text (-\infty ;-z_{1-\frac{\alpha } 2}\text )\cup \text (z_{1-\frac{\alpha } 2};\infty \text )$
  • b) $B=\text (-\infty ;-z_{1-\alpha }\text )$
  • c) $B=\text (z_{1-\alpha };\infty \text ).$
    Es ist z das jeweilige Fraktil der N(0,1) – Verteilung.
6. Schritt: $H_0$ wird verworfen, wenn $\text v\in \mathit{B.}$

Differenzentest für Anteilswerte (3.4.3)

Video: Tests bei zwei verbundenen Stichproben

Wir besprechen unterschiedliche Tests bei zwei verbundenen Stichproben.

Methode

Methode

1. Schritt: Es ist zu prüfen, ob die Anwendungsvoraussetzungen erfüllt sind.
Es liegen zwei verbundene Stichproben vor.
Beide Merkmale sind dichotom.
Es liegt ein Test bezüglich des Vergleichs der Anteilswerte vor.
Die Approximationsbedingungen sind erfüllt:
$5\leqslant \sum x_i\leqslant n-5$ und $5\leqslant \sum y_i\leqslant n-5.$

2. Schritt: Hypothesenwahl

  • a) $H_0:p_1=p_2$ gegen $H_1:p_1\neq p_2$
  • b) $H_0:p_1\geqslant p_2$ gegen $H_1:p_1<p_2$
  • c) $H_0:p_1\leqslant p_2$ gegen $H_1:p_1>p_2$
3. Schritt: Festlegung des Signifikanzniveaus $\alpha$.
4. Schritt: Berechnung des Testfunktionswertes:
$\text v=\frac{\sum _{i=1}^n(X_i-Y_i)}{\sqrt{\sum _{i=1}^n(X_i-Y_i)^2}}.$

5. Schritt: Der Verwerfungsbereich wird in Anlehnung an die Hypothesenwahl gewählt, d.h.

  • a) $B=\text (-\infty ;-z_{1-\frac{\alpha } 2}\text )\cup \text (z_{1-\frac{\alpha } 2};\infty \text )$
  • b) $B=\text (-\infty ;-z_{1-\alpha }\text )$
  • c) $B=\text (z_{1-\alpha };\infty \text ).$
    Es ist z das jeweilige Fraktil der N(0,1) – Verteilung.
6. Schritt: $H_0$ wird verworfen, wenn $v \in B$.

Kontingenztest / Chi-Quadratunabhängigkeitstest (3.4.4)

Video: Tests bei zwei verbundenen Stichproben

Wir besprechen unterschiedliche Tests bei zwei verbundenen Stichproben.

Methode

Methode

1. Schritt: Es ist zu prüfen, ob die Anwendungsvoraussetzungen erfüllt sind.
Es liegen zwei verbundene Stichproben vor.
Beide Grundgesamtheiten sind beliebig verteilt.
Es handelt sich um einen Test bezüglich der Unabhängigkeit

2. Schritt: Hypothesenwahl

  • $H_0$: Die beiden Merkmale X und Y der Grundgesamtheit sind unabhängig.
  • $H_1$: Die beiden Merkmale sind abhängig.
3. Schritt: Festlegung des Signifikanzniveaus $\alpha$.

4. Schritt: Eine Tabelle der folgenden Werte liegt vor oder muss erstellt werden:

X \ Y

$B_1, B_2, ... , B_l$

$A_1$

$A_2$

.

.

.

$A_k$

$h_{11}h_{12}...h_1l$

$h_{21}h_{22}...h_2l$

. . .

. . .

. . .

$h_{\mathit{k1}}h_{\mathit{k2}}...h_{\mathit{kl}}$

$h_1A$

$h_2A$

.

.

.

$h_{\mathit{kA}}$

$h_{\mathit{B1}}h_{\mathit{B2}}...h_{\mathit{Bl}}$

n

$\text v=\frac{\sum _{i=1}^k\sum _{j=1}^l(h_{\mathit{ij}}-h_{\mathit{ij}}^{\mathit{erw}})^2}{h_{\mathit{ij}}^{\mathit{erw}}}.$ Dabei sind $h_{\mathit{ij}}^{\mathit{erw}}=\frac{h_{\mathit{iA}}h_{\mathit{Bj}}} n$ die bei Unabhängigkeit erwarteten Häufigkeiten.

5. Schritt: Der Verwerfungsbereich wird in Anlehnung an die Hypothesenwahl gewählt, d.h. $B=\text (x_{1-\alpha };\infty \text ).$ Es ist x das Fraktil der $\chi ^2((k-1)(l-1))$ -Verteilung

6. Schritt: $H_0$ wird verworfen, wenn $v \in B$.

Korrelationstest (3.4.5)

Video: Tests bei zwei verbundenen Stichproben

Wir besprechen unterschiedliche Tests bei zwei verbundenen Stichproben.

Methode

Methode

1. Schritt: Es ist zu prüfen, ob die Anwendungsvoraussetzungen erfüllt sind.
Es liegen zwei verbundene Stichproben vor.
Beide Grundgesamtheiten sind normalverteilt.
Es liegt ein Test bezüglich der Korrelation vor.

2. Schritt: Hypothesenwahl

  • a) $H_0:p=0$ gegen $H_1:p\neq 0$
  • b) $H_0:p\geqslant 0$ gegen $H_1:p<0$
  • c) $H_0:p\leqslant 0$ gegen $H_1:p>0$
3. Schritt: Festlegung des Signifikanzniveaus $\alpha$.

4. Schritt: Berechnung des Testfunktionswertes:

$\text v=\frac{R_{\mathit{BP}}}{\sqrt{1-R_{\mathit{BP}}^2}}\sqrt{n-2},$ wobei $R_{\mathit{BP}}=\frac{s_{\mathit{xy}}}{s_Xs_y}=\frac{\frac 1 n\sum _{i=1}^nx_iy_i-\overline x\overline y}{\sqrt{\frac 1 n\sum _{i=1}^n(x_i-\overline x)^2}\sqrt{\frac 1 n\sum _{i=1}^n(y_i-\overline y)^2}}.$

5. Schritt: Der Verwerfungsbereich wird in Anlehnung an die Hypothesenwahl gewählt, d.h.

  • a) $B=\text (-\infty ;-t_{1-\frac{\alpha } 2}\text )\cup \text (t_{1-\frac{\alpha } 2};\infty \text )$
  • b) $B=\text (-\infty ;-t_{1-\alpha }\text )$
  • c) $B=\text (t_{1-\alpha };\infty \text ).$
    Es ist t das jeweilige Fraktil der t(n-2) – Verteilung.
6. Schritt: $H_0$ wird verworfen, wenn $v \in B$.
Multiple-Choice

Welche der folgenden Aussagen kommt der Wahrheit am nächsten?

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Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

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Autor: Daniel Lambert

Dieses Dokument Tests bei zwei verbundenen Stichproben ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Stichprobentheorie.

Dipl.-Math. Dipl.-Kfm. Daniel Lambert gibt seit vielen Jahren Kurse zur Prüfungsvorbereitung. Er unterrichtet stets orientiert an alten Prüfungen und weiß aus langjähriger Erfahrung, wie sich komplexe Sachverhalte am besten aufbereiten und vermitteln lassen. Daniel Lambert ist Repetitor aus Leidenschaft seit nunmehr 20 Jahren.
Vorstellung des Online-Kurses StichprobentheorieStichprobentheorie
Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Stichprobentheorie

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Diese Themen werden im Kurs behandelt:

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  • Übersicht über auftretende Symbole
    • Einleitung zu Übersicht über auftretende Symbole
  • Schätzen
    • Schätzfunktionen
      • Einleitung zu Schätzfunktionen
      • Aufgaben, Beispiele und Berechnungen zu Schätzfunktionen
    • Eigenschaften von Schätzfunktionen
      • Einleitung zu Eigenschaften von Schätzfunktionen
      • Aufgaben, Beispiele und Berechnungen zur Erwartungstreue
    • Asymptotische Erwartungstreue
    • Effizienz
    • Konsistenz
    • Konfidenzintervalle
      • Einleitung zu Konfidenzintervalle
      • Vorgehensweisen, Kochrezepte zur Bestimmung des entsprechenden Konfidenzintervalls
      • Anwendung der Kochrezepte auf Beispiele
      • Aufgaben, Berechnungen und Beispiele zu Konfidenzintervallen
      • Notwendiger Stichprobenumfang
  • Testtheorie
    • Einleitung zu Testtheorie
    • Signifikanztests bei einfachen Stichproben
    • Mehrstichprobentests bei unabhängigen Stichproben
    • Tests bei zwei verbundenen Stichproben
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      • Einleitung zu Hypothesenauswahl
      • Funktionsweise eines Tests am Beispiel des Einstichproben-Gaußtests
    • Testverteilungen
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    • Einleitung zu Hochrechnung
    • Differenzenschätzung
      • Einleitung zu Differenzenschätzung
      • Verhältnisschätzung (Quotientenschätzer)
    • Klumpen und geschichtete Stichproben
      • Einleitung zu Klumpen und geschichtete Stichproben
      • Geschichtete Stichproben
        • Einleitung zu Geschichtete Stichproben
        • Aufgaben, Beispiele und Berechnungen zu geschichteten Stichproben
      • Wahl des Stichprobenumfangs
  • Regressionsrechnung (Regressionsschätzer)
    • Einleitung zu Regressionsrechnung (Regressionsschätzer)
  • Gemischte Übungsaufgaben zur Stichprobentheorie (Aufgaben 1 bis 5)
    • Einleitung zu Gemischte Übungsaufgaben zur Stichprobentheorie (Aufgaben 1 bis 5)
    • Aufgaben 6 bis 10 zur Stichprobentheorie
    • Aufgaben 11 bis 15 zur Stichprobentheorie
    • Aufgaben 16 bis 20 zur Stichprobentheorie
    • Aufgaben 21 bis 25 zur Stichprobentheorie
    • Aufgaben 26 bis 30 zur Stichprobentheorie
    • Aufgaben 31 bis 35 zur Stichprobentheorie
    • Aufgaben 36 bis 40 zur Stichprobentheorie
    • Aufgaben 41 bis 45 zur Stichprobentheorie
    • Aufgaben 46 bis 50 zur Stichprobentheorie
    • Aufgaben 51 bis 55 zur Stichprobentheorie
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    Ein Kursnutzer am 28.12.2015:
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