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Stichprobentheorie

Tests bei zwei verbundenen Stichproben

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Differenzentest: t - Test (3.4.1)

Methode

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1. Überprüfen Sie, ob die Anwendungsvoraussetzung erfüllt sind.

Gegeben sind zwei verbundene Stichproben.
Es handelt sich bei beiden, um normalverteilte Grundgesamtheiten.
In Bezug auf den Vergleich der Erwartungswert liegt ein Test vor.

2. Wahl der Hypothese:

a) $H_0:\mu _1=\mu _2$ gegen $H_1:\mu _1\neq \mu _2$
b) $H_0:\mu _1\geqslant \mu _2$ gegen $H_1:\mu _1$
c) $H_0:\mu _1\leqslant \mu _2$ gegen $H_1:\mu _1>\mu _2$


3. Das Signifikanzniveau $\alpha$ ist festzulegen.

4. Der Testfunktionswert ist zu berechnen:

$\text v=\frac{\overline x-\overline y}{\sqrt{\frac 1{n-1}\sum _{i=1}^n(x_i-y_i-(\overline x-\overline y))^2}}\sqrt n$

$\text v=\frac{\overline x-\overline y}{\sqrt{s_x^2+s_y^2-2\frac{s_{\mathit{xy}}}{s_xs_y}}}\sqrt n$

5. In Bezug auf die Wahl der Hypothese wird der Verwerfungsbereich bestimmt, d.h.

a) $B=\text (-\infty ;-t_{1-\frac{\alpha } 2}\text )\cup \text (t_{1-\frac{\alpha } 2};\infty \text )$
b) $B=\text (-\infty ;-t_{1-\alpha }\text )$
c) $B=\text (t_{1-\alpha };\infty \text ).$

Das jeweilige Fraktil der t(n-1) – Verteilung ist t.
Wenn n > 30 ist, muss bei der N(0,1)-Verteilung nachgeschlagen werden.

6. Wenn $\text v\in \mathit{B.}$ entspricht, wird $H_0$ verworfen.

Differenzentest: Der Approximative Gaußtest (3.4.2)

Methode

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1. Überprüfen Sie, ob die Anwendungsvoraussetzungen erfüllt sind.

Gegeben sind zwei verbundene Stichproben.
Die Stichprobenumfänge entsprechen $n_1$ und $n_2,$ jedoch ist  $n_1,n_2>30.$
Hierbei sind die Eigenschaften beider beliebig verteilt.
In Bezug auf den Vergleich der Erwartungswerte liegt ein Test vor.

2. Wahl der Hypothese:

a) $H_0:\mu _1=\mu _2$ gegen $H_1:\mu _1\neq \mu _2$
b) $H_0:\mu _1\geqslant \mu _2$ gegen $H_1:\mu _1$
c) $H_0:\mu _1\leqslant \mu _2$ gegen $H_1:\mu _1>\mu _2.$

3. Das Signifikanzniveau $\alpha$ ist festzulegen.

4. Der Testfunktionswert ist zu berechnen:

$\text v=\frac{\overline x-\overline y}{\sqrt{\frac 1{n-1}\sum _{i=1}^n(x_i-y_i-(\overline x-\overline y))^2}}\sqrt n$

5. In Bezug auf die Wahl der Hypothese wird der Verwerfungsbereich bestimmt, d.h.

a) $B=\text (-\infty ;-z_{1-\frac{\alpha } 2}\text )\cup \text (z_{1-\frac{\alpha } 2};\infty \text )$
b) $B=\text (-\infty ;-z_{1-\alpha }\text )$
c) $B=\text (z_{1-\alpha };\infty \text ).$

Das jeweilige Fraktil der N(0,1) – Verteilung ist z.

6. Wenn $\text v\in \mathit{B.}$ entspricht, wird $H_0$ verworfen.

Differenzentest für Anteilswerte (3.4.3)

 

 

Methode

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1. Überprüfen Sie, ob die Anwendungsvoraussetzungen erfüllt sind.

Gegeben sind zwei verbundene Stichproben.
Die Eigenschaften beider sind dichotom.
In Bezug auf den Vergleich der Anteilswerte liegt ein Test vor.

Erfüllt sind die Approximationsbedingungen:
$5\leqslant \sum x_i\leqslant n-5$ und $5\leqslant \sum y_i\leqslant n-5.$

2. Wahl der Hypothese:

a) $H_0:p_1=p_2$ gegen $H_1:p_1\neq p_2$
b) $H_0:p_1\geqslant p_2$ gegen $H_1:p_1$
c) $H_0:p_1\leqslant p_2$ gegen $H_1:p_1>p_2$

3. Das Signifikanzniveau $\alpha$ wird festgelegt.

4. Der Testfunktionswert ist zu berechnen:

$\text v=\frac{\sum _{i=1}^n(X_i-Y_i)}{\sqrt{\sum _{i=1}^n(X_i-Y_i)^2}}.$

5. In Bezug auf die Wahl der Hypothese wird der Verwerfungsbereich bestimmt, d.h.

a) $B=\text (-\infty ;-z_{1-\frac{\alpha } 2}\text )\cup \text (z_{1-\frac{\alpha } 2};\infty \text )$
b) $B=\text (-\infty ;-z_{1-\alpha }\text )$
c) $B=\text (z_{1-\alpha };\infty \text ).$

Das jeweilige Fraktil der N(0,1) – Verteilung ist z.

6. Wenn $v \in B$ entspricht, wird $H_0$ verworfen,.

 

 

Methode

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1. Überprüfen Sie, ob die Anwendungsvoraussetzungen erfüllt sind.

Gegeben sind zwei verbundene Stichproben.
Es handelt sich bei beiden, um eine beliebig verteilte Grundgesamtheit.
Getestet wird die Unabhängigkeit.

2. Wahl der Hypothese:

$H_0$: Bedeutet, dass die beiden Eigenschaften von X und Y der Grundgesamtheit unabhängig zueinander sind.
$H_1$: Bedeutet, dass die beiden Eigenschaften abhängig sind.

3. Das Signifikanzniveau $\alpha$ wird festgelegt.

4. Für die folgenden Werte muss entweder eine Tabelle erstellt oder mittels einer gegeben Tabelle abgelesen werden:

X \ Y

$B_1, B_2, ... , B_l$

$A_1$

$A_2$

.

.

.

$A_k$

$h_{11}h_{12}...h_1l$

$h_{21}h_{22}...h_2l$

. . .

. . .

. . .

$h_{\mathit{k1}}h_{\mathit{k2}}...h_{\mathit{kl}}$

$h_1A$

$h_2A$

.

.

.

$h_{\mathit{kA}}$

$h_{\mathit{B1}}h_{\mathit{B2}}...h_{\mathit{Bl}}$

n

$\text v=\frac{\sum _{i=1}^k\sum _{j=1}^l(h_{\mathit{ij}}-h_{\mathit{ij}}^{\mathit{erw}})^2}{h_{\mathit{ij}}^{\mathit{erw}}}.$

Die erwartete Häufigkeit bei Unabhängigkeit entspricht: $h_{\mathit{ij}}^{\mathit{erw}}=\frac{h_{\mathit{iA}}h_{\mathit{Bj}}} n$.

5. In Bezug auf die Wahl der Hypothese wird der Verwerfungsbereich gewählt, d.h. $B=\text (x_{1-\alpha };\infty \text ).$ 

Das Fraktil der $\chi ^2((k-1)(l-1))$ -Verteilung ist x.

6. Wenn $v \in B$ entspricht, wird $H_0$ verworfen.

Korrelationstest (3.4.5)

 

 

Methode

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1. Überprüfen Sie, ob die Anwendungsvoraussetzungen erfüllt sind.

Gegeben sind zwei verbundene Stichproben.
Es handelt sich bei beiden, um eine normalverteilte Grundgesamtheit.
In Bezug auf die Korrelation liegt ein Test vor.

2. Wahl der Hypothese:

a) $H_0:p=0$ gegen $H_1:p\neq 0$
b) $H_0:p\geqslant 0$ gegen $H_1:p$
c) $H_0:p\leqslant 0$ gegen $H_1:p>0$

3. Das Signifikanzniveau $\alpha$ wird festgelegt.

4. Der Testfunktionswert wird berechnet:

$\text v=\frac{R_{\mathit{BP}}}{\sqrt{1-R_{\mathit{BP}}^2}}\sqrt{n-2},$ jedoch: $R_{\mathit{BP}}=\frac{s_{\mathit{xy}}}{s_Xs_y}=\frac{\frac 1 n\sum _{i=1}^nx_iy_i-\overline x\overline y}{\sqrt{\frac 1 n\sum _{i=1}^n(x_i-\overline x)^2}\sqrt{\frac 1 n\sum _{i=1}^n(y_i-\overline y)^2}}.$

5. In Bezug auf die Wahl der Hypothese wird der Verwerfungsbereich gewählt, d.h.

a) $B=\text (-\infty ;-t_{1-\frac{\alpha } 2}\text )\cup \text (t_{1-\frac{\alpha } 2};\infty \text )$
b) $B=\text (-\infty ;-t_{1-\alpha }\text )$
c) $B=\text (t_{1-\alpha };\infty \text ).$

Das jeweilige Fraktil der t(n-2) – Verteilung ist t.

6. Wenn $v \in B$ entspricht, wird $H_0$ verworfen.