Tests bei zwei verbundenen Stichproben

1. Schritt: Es ist zu prüfen, ob die Anwendungsvoraussetzungen erfüllt sind.
Es liegen zwei verbundene Stichproben vor.
Beide Grundgesamtheiten sind normalverteilt.
Es liegt ein Test bezüglich des Vergleichs der Erwartungswerte vor.

2. Schritt: Hypothesenwahl

• a) $H_0:\mu _1=\mu _2$ gegen $H_1:\mu _1\neq \mu _2$
• b) $H_0:\mu _1\geqslant \mu _2$ gegen $H_1:\mu _1<\mu _2$
• c) $H_0:\mu _1\leqslant \mu _2$ gegen $H_1:\mu _1>\mu _2$

3. Schritt: Festlegung des Signifikanzniveaus $\alpha$.
4. Schritt: Berechnung des Testfunktionswertes:
$\text v=\frac{\overline x-\overline y}{\sqrt{\frac 1{n-1}\sum _{i=1}^n(x_i-y_i-(\overline x-\overline y))^2}}\sqrt n$
$\text v=\frac{\overline x-\overline y}{\sqrt{s_x^2+s_y^2-2\frac{s_{\mathit{xy}}}{s_xs_y}}}\sqrt n$

5. Schritt: Der Verwerfungsbereich wird in Anlehnung an die Hypothesenwahl gewählt, d.h.

• a) $B=\text (-\infty ;-t_{1-\frac{\alpha } 2}\text )\cup \text (t_{1-\frac{\alpha } 2};\infty \text )$
• b) $B=\text (-\infty ;-t_{1-\alpha }\text )$
• c) $B=\text (t_{1-\alpha };\infty \text ).$
  Es ist t das jeweilige Fraktil der t(n-1) – Verteilung. Ist n > 30, so ist bei der N(0,1)-Verteilung nachzuschlagen.

6. Schritt: $H_0$ wird verworfen, wenn $\text v\in \mathit{B.}$

1. Schritt: Es ist zu prüfen, ob die Anwendungsvoraussetzungen erfüllt sind.
Es liegen zwei verbundene Stichproben vor.
Beide Merkmale sind beliebig verteilt mit Stichprobenumfängen $n_1$ und $n_2,$ wobei  $n_1,n_2>30.$
Es liegt ein Test bezüglich des Vergleichs der Erwartungswerte vor.

2. Schritt: Hypothesenwahl

• a) $H_0:\mu _1=\mu _2$ gegen $H_1:\mu _1\neq \mu _2$
• b) $H_0:\mu _1\geqslant \mu _2$ gegen $H_1:\mu _1<\mu _2$
• c) $H_0:\mu _1\leqslant \mu _2$ gegen $H_1:\mu _1>\mu _2.$

3. Schritt: Festlegung des Signifikanzniveaus $\alpha$. 
4. Schritt: Berechnung des Testfunktionswertes:
$\text v=\frac{\overline x-\overline y}{\sqrt{\frac 1{n-1}\sum _{i=1}^n(x_i-y_i-(\overline x-\overline y))^2}}\sqrt n$

5. Schritt: Der Verwerfungsbereich wird in Anlehnung an die Hypothesenwahl gewählt, d.h.

• a) $B=\text (-\infty ;-z_{1-\frac{\alpha } 2}\text )\cup \text (z_{1-\frac{\alpha } 2};\infty \text )$
• b) $B=\text (-\infty ;-z_{1-\alpha }\text )$
• c) $B=\text (z_{1-\alpha };\infty \text ).$
  Es ist z das jeweilige Fraktil der N(0,1) – Verteilung.

6. Schritt: $H_0$ wird verworfen, wenn $\text v\in \mathit{B.}$

1. Schritt: Es ist zu prüfen, ob die Anwendungsvoraussetzungen erfüllt sind.
Es liegen zwei verbundene Stichproben vor.
Beide Merkmale sind dichotom.
Es liegt ein Test bezüglich des Vergleichs der Anteilswerte vor.
Die Approximationsbedingungen sind erfüllt:
$5\leqslant \sum x_i\leqslant n-5$ und $5\leqslant \sum y_i\leqslant n-5.$

2. Schritt: Hypothesenwahl

• a) $H_0:p_1=p_2$ gegen $H_1:p_1\neq p_2$
• b) $H_0:p_1\geqslant p_2$ gegen $H_1:p_1<p_2$
• c) $H_0:p_1\leqslant p_2$ gegen $H_1:p_1>p_2$

3. Schritt: Festlegung des Signifikanzniveaus $\alpha$.
4. Schritt: Berechnung des Testfunktionswertes:
$\text v=\frac{\sum _{i=1}^n(X_i-Y_i)}{\sqrt{\sum _{i=1}^n(X_i-Y_i)^2}}.$

5. Schritt: Der Verwerfungsbereich wird in Anlehnung an die Hypothesenwahl gewählt, d.h.

• a) $B=\text (-\infty ;-z_{1-\frac{\alpha } 2}\text )\cup \text (z_{1-\frac{\alpha } 2};\infty \text )$
• b) $B=\text (-\infty ;-z_{1-\alpha }\text )$
• c) $B=\text (z_{1-\alpha };\infty \text ).$
  Es ist z das jeweilige Fraktil der N(0,1) – Verteilung.

6. Schritt: $H_0$ wird verworfen, wenn $v \in B$.

1. Schritt: Es ist zu prüfen, ob die Anwendungsvoraussetzungen erfüllt sind.
Es liegen zwei verbundene Stichproben vor.
Beide Grundgesamtheiten sind beliebig verteilt.
Es handelt sich um einen Test bezüglich der Unabhängigkeit

2. Schritt: Hypothesenwahl

• $H_0$: Die beiden Merkmale X und Y der Grundgesamtheit sind unabhängig.
• $H_1$: Die beiden Merkmale sind abhängig.

3. Schritt: Festlegung des Signifikanzniveaus $\alpha$.

4. Schritt: Eine Tabelle der folgenden Werte liegt vor oder muss erstellt werden:

X \ Y	$B_1, B_2, ... , B_l$	∑
$A_1$ $A_2$ . . . $A_k$	$h_{11}h_{12}...h_1l$ $h_{21}h_{22}...h_2l$ . . . . . . . . . $h_{\mathit{k1}}h_{\mathit{k2}}...h_{\mathit{kl}}$	$h_1A$ $h_2A$ . . . $h_{\mathit{kA}}$
∑	$h_{\mathit{B1}}h_{\mathit{B2}}...h_{\mathit{Bl}}$	n

$\text v=\frac{\sum _{i=1}^k\sum _{j=1}^l(h_{\mathit{ij}}-h_{\mathit{ij}}^{\mathit{erw}})^2}{h_{\mathit{ij}}^{\mathit{erw}}}.$ Dabei sind $h_{\mathit{ij}}^{\mathit{erw}}=\frac{h_{\mathit{iA}}h_{\mathit{Bj}}} n$ die bei Unabhängigkeit erwarteten Häufigkeiten.

5. Schritt: Der Verwerfungsbereich wird in Anlehnung an die Hypothesenwahl gewählt, d.h. $B=\text (x_{1-\alpha };\infty \text ).$ Es ist x das Fraktil der $\chi ^2((k-1)(l-1))$ -Verteilung

6. Schritt: $H_0$ wird verworfen, wenn $v \in B$.

1. Schritt: Es ist zu prüfen, ob die Anwendungsvoraussetzungen erfüllt sind.
Es liegen zwei verbundene Stichproben vor.
Beide Grundgesamtheiten sind normalverteilt.
Es liegt ein Test bezüglich der Korrelation vor.

2. Schritt: Hypothesenwahl

• a) $H_0:p=0$ gegen $H_1:p\neq 0$
• b) $H_0:p\geqslant 0$ gegen $H_1:p<0$
• c) $H_0:p\leqslant 0$ gegen $H_1:p>0$

3. Schritt: Festlegung des Signifikanzniveaus $\alpha$.

4. Schritt: Berechnung des Testfunktionswertes:

$\text v=\frac{R_{\mathit{BP}}}{\sqrt{1-R_{\mathit{BP}}^2}}\sqrt{n-2},$ wobei $R_{\mathit{BP}}=\frac{s_{\mathit{xy}}}{s_Xs_y}=\frac{\frac 1 n\sum _{i=1}^nx_iy_i-\overline x\overline y}{\sqrt{\frac 1 n\sum _{i=1}^n(x_i-\overline x)^2}\sqrt{\frac 1 n\sum _{i=1}^n(y_i-\overline y)^2}}.$

5. Schritt: Der Verwerfungsbereich wird in Anlehnung an die Hypothesenwahl gewählt, d.h.

• a) $B=\text (-\infty ;-t_{1-\frac{\alpha } 2}\text )\cup \text (t_{1-\frac{\alpha } 2};\infty \text )$
• b) $B=\text (-\infty ;-t_{1-\alpha }\text )$
• c) $B=\text (t_{1-\alpha };\infty \text ).$
  Es ist t das jeweilige Fraktil der t(n-2) – Verteilung.

6. Schritt: $H_0$ wird verworfen, wenn $v \in B$.