Mehrstichprobentests bei unabhängigen Stichproben

1. Sind die Anwendungsvoraussetzungen erfüllt?
Es liegen zwei unabhängige Stichproben vor.
Es handelt sich dabei um normalverteile Grundgesamtheiten, bei denen sowohl $\sigma _1$ als auch $\sigma _2$ bekannt sind.
In Bezug auf den Vergleich der Erwartungswerte liegt ein Test vor.

2. Wahl der Hypothese

• a) $H_0:\mu _1=\mu _2$ gegen $H_1:\mu _1\neq \mu _2$

• b) $H_0:\mu _1\geqslant \mu _2$ gegen $H_1:\mu _1
  
  
• c) $H_0:\mu _1\leqslant \mu _2$ gegen $H_1:\mu _1>\mu _2.$

5. Bestimmung des Verwerfungsbereichs in Bezug auf den zweiten Schritt der Hypothesenwahl, d.h.

• a) $B=\text (-\infty ;-z_{1-\frac{\alpha } 2}\text )\cup \text (z_{1-\frac{\alpha } 2};\infty \text )$

• b) $B=\text (-\infty ;-z_{1-\alpha }\text )$
  
  
• c) $B=\text (z_{1-\alpha };\infty \text ).$
  
  
• Das jeweilige Fraktil der N(0,1)-Verteilung ist z.

1. Sind die Anwendungsvoraussetzungen erfüllt?
Es liegen zwei unabhängige Stichproben vor.
Es handelt sich dabei um normalverteilte Grundgesamtheiten, wobei diese unbekannt sind.
In Bezug auf den Vergleich der Erwartungswerte liegt ein Test vor.

1. Fall: Dabei gilt: $\sigma _1 = \sigma _2$
2. Fall: Zwei gleich große Stichproben liegen vor, d.h. $n _1 = n _2$ wobei nicht bekannt ist, ob $\sigma _1 = \sigma _2$.

2. Wahl der Hypothese

• a) $H_0:\mu _1=\mu _2$ gegen $H_1:\mu _1\neq \mu _2$
  
  
• b) $H_0:\mu _1\geqslant \mu _2$ gegen $H_1:\mu _1
  
  
• c) $H_0:\mu _1\leqslant \mu _2$ gegen $H_1:\mu _1>\mu _2$

$\text v=\frac{\overline x_1-\overline x_2}{\sqrt{\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}\frac{n_1+n_2}{n_1n_2}}}$

• a) $B=\text (-\infty ;-t_{1-\frac{\alpha } 2}\text )\cup \text (t_{1-\frac{\alpha } 2};\infty \text )$
  
  
• b) $B=\text (-\infty ;-t_{1-\alpha }\text )$
  
  
• c) $B=\text (t_{1-\alpha };\infty \text )$
  
  1. Fall: Das jeweilige Fraktil der $t(n_1+n_2-2)$-Verteilung ist t.
  Wenn $n_1+n_2-2>30,$ dann kann die N(0,1)-Verteilung als Alternative verwendet werden.
  2. Fall: t-Verteilung mit $(n-1)\left[1+\frac      2{s_1^2/s_2^2+s_2^2/s_1^2}\right]$ Freiheitsgraden (gerundet werden muss hierbei auf ganze Zahlen!)

1. Sind die Anwendungsvoraussetzungen erfüllt?
Es liegen zwei unabhängige Stichproben mit $n_1,n_2>30$ vor.
Es handelt sich dabei um eine beliebig verteilte Grundgesamtheit.
In Bezug auf den Vergleich der Erwartungswerte liegt ein Test vor.

2. Wahl der Hypothese

• a) $H_0:\mu _1=\mu _2$ gegen $H_1:\mu _1\neq \mu _2$

• b) $H_0:\mu _1\geqslant \mu _2$ gegen $H_1:\mu _1
  
  
• c) $H_0:\mu _1\leqslant \mu _2$ gegen $H_1:\mu _1>\mu _2$

$\text v=\frac{\overline x_1-\overline x_2}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}}.$

• a) $B=\text (-\infty ;-z_{1-\frac{\alpha } 2}\text )\cup \text (z_{1-\frac{\alpha } 2};\infty \text )$
  
  
• b) $B=\text (-\infty ;-z_{1-\alpha }\text )$
  
  
• c) $B=\text (z_{1-\alpha };\infty \text )$
  
  
• Das jeweilige Fraktil der N(0,1)-Verteilung ist z.

1. Sind die Anwendungsvoraussetzungen erfüllt?
Es liegen zwei unabhängige Stichproben vor mit: $n_1,n_2>30,$ $X_{11},...,X_{1n_1}$ bzw. $X_{21},...,X_{2n_2}.$
Es handelt sich bei den beiden um dichotome Grundgesamtheiten.
In Bezug auf den Vergleich der Anteilswerte liegt ein Test vor.
Die Bedingungen der Approximation sind erfüllt:
$5\leqslant \sum x_1i\leqslant n_1-5$ und $5\leqslant \sum x_2i\leqslant n_2-5$ .

2. Wahl der Hypothese 

• a) $H_0:p_1=p_2$ gegen $H_1:p_1\neq p_2$
  
  
• b) $H_0:p_1\geqslant p_2$ gegen $H_1:p_1$
  
  
• c) $H_0:p_1\leqslant p_2$ gegen $H_1:p_1>p_2.$

• a) $B=\text (-\infty ;-z_{1-\frac{\alpha } 2}\text )\cup \text (z_{1-\frac{\alpha } 2};\infty \text )$

• b) $B=\text (-\infty ;-z_{1-\alpha }\text )$

• c) $B=\text (z_{1-\alpha };\infty \text )$

  
  
• Das jeweilige Fraktil der N(0,1)-Verteilung ist z.
  
  

1. Sind die Anwendungsvoraussetzungen erfüllt?
Es liegen zwei unabhängige Stichproben vor.
Es handelt sich bei den beiden um normalverteilte Grundgesamtheiten.
In Bezug auf den Vergleich der Varianzen liegt ein Test vor.

2. Wahl der Hypothese

• a) $H_0:\sigma _1^2=\sigma _2^2$ gegen $H_1:\sigma _1^2\neq \sigma _2^2$
  
  
• b) $H_0:\sigma _1^2\geqslant \sigma _2^2$ gegen $H_1:\sigma _1^2
  
  
• c) $H_0:\sigma _1^2\leqslant \sigma _2^2$ gegen $H_1:\sigma _1^2>\sigma _2^2.$
  
  

3. Das Signifikanzniveau $\alpha$ wird festgelegt.
4. Der Testfunktionswert ist auszurechnen:

$\text v=\frac{s_1^2}{s_2^2}.$

5. Bestimmung des Verwerfungsbereichs in Bezug auf den zweiten Schritt der Hypothesenwahl, d.h.

• a) $B=\left[0;\frac 1{x_{1-\frac{\alpha } 2}}\right)\cup \text (x_{1-\frac{\alpha } 2}^{'};\infty \text )$
  
  
• b) $B=\left[0;\frac 1{x_{1-\alpha }}\right)$
  
  
• c) $B=\text (x_{1-\alpha }^{'};\infty).$
  
  
• Das jeweilige Fraktil der $F(n_1-1,n_2-1)$ -Verteilung ist $x^{'}$ und das jeweilige Fraktil der $F(n_2-1,n_1-1)$ -Verteilung ist x.

6. Wenn $\text v\in \mathit{B.}$ wird $H_0$ verworfen.

1. Sind die Anwendungsvoraussetzungen erfüllt?
Es handelt sich dabei, um eine beliebig verteilte Grundgesamtheit, welche im Median M stetig ist.
Eine Stichprobe liegt bereits vor.
Eine unabhängige, identische Verteilung mit der entsprechen Verteilungsfunktion $F(x)$.,
besteht in den Beobachtungen der Stichprobe $x_{1,}x_2,...,x_n,$ der Zufallsvariablen $X_{1,}X_2,...,X_n$
In Bezug auf den Vergleich der Erwartungswerte liegen Tests vor.

2. Wahl der Hypothese

$H_0:M=M_0$ gegenüber $H_1:M\neq M_0.$

Wenn es sich bei $M_0$ um den tatsächlichen Wert des Medians in der Grundgesamtheit handelt, dann kann erwartet werden, dass gut die Hälfte der Beobachtungen größer ist als $M_0$. Dieser Wert entspricht der Grundlage des Vorzeichentests. Genauer gesagt heißt es, dass die Beobachtungen gezählt werden, die größer sind als: $M_0$. Wenn die Anzahl zu groß oder zu klein ist, liegt die Annahme nah, dass es sich bei $M_0$ nicht um den wahren Wert des Medians in der Grundgesamtheit handelt.

3. Das Signifikanzniveau $\alpha$ wird festgelegt.
4. Der Testfunktionswert wird ausgerechnet (entspricht der Anzahl der Beobachtungen, welche größer sind als $M_0$):

           a) $v=\sum _{i=1}^ns(X_i-M_0)$ mit $s(x)=1,\text{falls}x>0\text{ }\text{und}\text{ 0}\text{
               }\mathit{sonst.}$

           b) Für den Testfunktionswert:
               $v^{'}=\frac{s-0,5n}{0,5}\sqrt n.$   d.h. für n > 20 ist v approximativ normalverteilt. 

5. Bestimmung des Verwerfungsbereich in Bezug auf den zweiten Schritt der Hypothesenwahl, d.h.

            a) $B_1=\text (-\infty ;z_{\alpha /2}\text ]\text{ }\text{oder}\text{ }B_2=\text [n-z_{\alpha /2};\infty
                \text ).$
                Es ist z das Fraktil der Binomialverteilung zu den Parametern p = 0,5 und n.

             b) $B^{'}=\left(-\infty ;-z_{1-\alpha /2}\right]\cup \left[z_{1-\alpha /2};\infty \right).$ Hier ist z das
                 $1-\frac{\alpha } 2$ - Fraktil der Standardnormalverteilung.

6. Wenn:

             a) $v\in B_1\text{oder}v\in B_2.$

             b) $v^{'}\in B^{'}.$

... so wird $H_0$ verworfen.