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Im folgenden Kapitel wirst du verschiedene Methoden lernen, mit denen du Bedingte Wahrscheinlichkeiten berechnen kannst.
Die folgenden Methoden wollen wir mit Hilfe eines Beispiels erläutern:
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In einer Bonbontüte befinden sich 19 Bonbons, elf Bonbons sind rund und acht quadratisch. Von den runden Bonbons haben sieben den Geschmack Erdbeere und vier nach Zitrone. Von den quadratischen Bonbons haben drei Erdbeer-Geschmack und fünf Zitrone.
Jetzt werde ein Bonbon gezogen, das nach Erdbeere schmeckt.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Bonbon rund ist?
Es handelt sich also um eine bedingten Wahrscheinlichkeiten P(A|B). Das Ereignis B (mit P(B) > 0) sei bereits eingetreten. Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt nun das Ereignis A ein?
Es gibt fünf Methoden, mit deren Hilfe man solche Aufgaben mit bedingten Wahrscheinlichkeiten lösen kann:
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Bedingte Wahrscheinlichkeiten
- Methode: Definition
- Methode: Vierfeldertafel
- Methode: Bayessche Formel
- Methode: Bäumchen
- Methode: Einschränkung der Grundgesamtheit
Erläutern wir nun die fünf Methoden durch unser Beispiel. Als erstes zeichen wir eine Urne (in unserem Fall eine Bonbontüte) und die Bonbons mit den entsprechenden Spezifikationen (rund, quadratisch; Erdbeer, Zitrone) auf.
Nun zu den einzelnen Methoden:
1. Methode: Definition
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Die bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter der Hypothese B, in Zeichen P(A|B), wenn P(B) > 0, ist definiert als:
$P(A|B)$ =${P(A \cap B)\over{P(B)}}$ .
Man errechnet als erstes die Wahrscheinlichkeit des Schnitts und schließlich die Wahrscheinlichkeit des hinten stehdenen Ereignisses.
Für unser Beispiel:
- Ereignis A: Das Bonbon ist rund.
- Ereignis B: Das Bonbon schmeckt nach Erdbeere
Man rechnet:
$P(R|E)$ =${P(R \cap E)\over{P(E)}} ={{7\over{19}}\over{10\over{19}}} = {7\over{19}}\cdot {19\over{10}} ={7\over{10}}$ = 0,7.
Sieben der 19 Bonbons sind sowohl rund, als auch schmecken sie nach Erdbeer, also P(R $\cap$ E) = ${7 \over 19}$. Hier muss der Anteil der runden Erdbeerbonbons von der Gesamtheit aller Bonbons betrachtet werden. Ebenso sind zehn von 19 mit Erdbeergeschmack, P(E)=${10}\over{19}$.
Zweite Methode: Vierfeldertafel
In die Tabelle werden nur die Und-Wahrscheinlichkeiten eingetragem, die bedingten Wahrscheinlichkeiten selbst nicht. Diese kann man dann mit der eben vorgestellten ersten Methode "Definition" berechnen.
Eine Vierfeldertafel sieht allgemein folgendermaßen aus:
| $A$ | $\overline{A}$ | $\sum{}$ | |
| $B$ | $P(A \cap B)$ | $P(\overline{A} \cap B)$ | $P(B)$ |
| $\overline{B}$ | $P(A \cap \overline{B})$ | $P(\overline{A} \cap \overline{B})$ | $P(\overline{B})$ |
| $\sum{}$ | $P(A)$ | $P(\overline{A})$ | 1 |
Bei mehr als zwei Eigenschaften pro Merkmal entsteht eine Sechs- oder Achtfeldertafel.
Beispielsweise ist die Wahrscheinlichkeit für ein quadratisches Zitronenbonbon P(Q $\cap$ Z)=${5}\over{19}$
| $E$ | $Z$ | $\sum$ | |
| $R$ | ${{7} \over{19}}$ | ${{4} \over{19}}$ | ${{11} \over{19}}$ |
| $Q$ | ${{3} \over{19}}$ | ${{5} \over{19}}$ | ${{8} \over{19}}$ |
| $\sum$ | ${{10} \over{19}}$ | ${{9} \over{19}}$ | $1$ |
Mit der Vierfeldertafel lässt sich dann die Definition anwenden:
$P(R|E)$ =${P(R \cap E)\over{P(E)}} ={{7\over{19}}\over{10\over{19}}} = {7\over{19}}\cdot {19\over{10}} ={7\over{10}}$ = 0,7.
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P(R|E) ≠ P(E|R)!
Ein Umdrehen der Ereignisse ist nicht so einfach möglich:
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine rundes Bonbon nach Erdbeer schmeckt, ist
P(E|R) =${7\over{11}}$ = 0,6363
Jedoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Erdbeerbonbon rund ist, P(R|E) =${7\over{10}}$ = 0,7.
Dritte Methode: Bayessche Formel
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Bayessche Formel: P(A|B) = ${{P(B|A)\cdot{P(A)}}\over{P(B)}}$
Sollte die umgekehrte Wahrscheinlichkeit P(B|A) bekannt sein und P(A|B) wird gesucht, kann man die Bayessche Formel verwenden. Sollte P(B) im Nenner des Bruchs nicht bekannt sein, kann man hier den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit anwenden.
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Wenn P(R|E) gesucht ist, aber lediglich die „umgedrehte“ Wahrscheinlichkeit P(E|R) bekannt, ist die Bayessche Formel eine gute Möglichkeit, zur Lösung zu gelangen.
P(R|E) =${{P(E|R) \cdot {P(R)}}\over{P(E)}} = {{{7\over{11}} \cdot {11\over{19}}} \over{10\over{19}}}$ = $ = {7\over{19}}\cdot {19\over{10}} ={7\over{10}}$ = 0,7
Vierte Methode: Bäumchen (inkl. Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit)
Häufig ist das Baumdiagramm die bildlichste Methode, vorallem für den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit, wenn die Grundgesamtheit nur aus zwei Ereignissen B und $\overline{B}$ besteht.
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Satz der totalen Wahrscheinlichkeit:
$P(A) = P(B)·P(A|B) + P(\overline{B})·P(A|\overline{B})$
Entlang der Äste die zum Ereignis A führen werden die Wahrscheinlichkeiten miteinander multipiziert und dann alle Produkte addiert.
Für unser Beispiel sieht dies konkret folgendermaßen aus:
Gerechnet:
P(R) = P(R|E)·P(E) + P(R|Z)·P(Z) = ${7\over{10}}\cdot {10\over{19}} + {4\over{9}}\cdot {9\over{19}} = {7\over{19}} + {4\over{19}} = {11\over{19}}$
Baumdiagramme zu zeichen hilft alles zu veranschaulichen und vereinfacht die Anwendung des Satzes der totalen Wahrscheinlichkeit.
Fünfte Methode: Einschränkung der Grundgesamtheit
Häufig lässt sich die Wahrscheinlichkeit P(A|B) auch sofort erkennen. Dafür schaut man sich nur die Elemente an, für die das Ereignis B (Erdbeergeschmack) gilt und definiert diese als neue Grundgesamtheit. Aus dieser neunen Grundgesamtheit bestimmt man nun die Anzahl derer, auf die das Ereignis A (rund) zutrifft. Grundsätzlich ist dieses Vorgehen auch nichts anderes als die 1. Methode. Doch schauen wir uns dies für unnser Beispiel an.
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Zu unterscheiden ist jedoch:
P(A $\cap$ B) (die Wahrscheinlichkeit, dass A und B eintreten) und
P(A|B) (die Wahrscheinlichkeit, dass A eintritt, wenn B bereits passiert ist).
Gesucht ist P(R|E), also wie viele Bonbons mit Erdbeergeschmack (Ereignis B = Hypothese, Voraussetzung) sind rund (= Ereignis A). Wir schauen uns nur die Bonbonbs an, die Erdbeergeschmack haben:
Von allen zehn Erdbeerbonbons sind also sieben rund. Folglich ist P(R|E) =${7 \over {10}}$
Zusammenfassung
Merke
Wie man sieht, sind die fünf Methoden nicht sonderlich verschieden. So sind Metheode eins und fünf quasi gleich. Die zweite Methode dient lediglich zur Veranschaulichung, deren Zahlen sich auch die Bayessche Formel bedient.
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