Bedingte Wahrscheinlichkeiten berechnen

Wir erklären die folgenden Überlegungen anhand eines Beispiels:

Wir haben es mit sog. bedingten Wahrscheinlichkeiten P(A|B) zu tun. Das Ereignis B (mit P(B) > 0) sei bereits passiert. Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass dann A eintritt?

Aufgaben mit bedingten Wahrscheinlichkeiten lassen sich mit fünf unterschiedlichen Methoden angehen:

Kommen wir zum Beispiel und erklären die fünf Methoden anhand desen. Zunächst malt man die Urne auf und markiert die Farben sowie die Buchstaben auf die Kugeln:

Abb. 4.1: Urnenbeispiel

Nun zu den einzelnen Methoden:

Erste Methode: Definition

Die bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter der Hypothese B, in Zeichen P(A|B), ist definiert als P(A|B) =${P(A \cap B)\over{P(B)}}$ , wenn P(B) > 0.

Berechne also zuerst die Wahrscheinlichkeit des Schnitts und dann die Wahrscheinlichkeit des hinten stehenden Ereignisses.

Man rechnet im vorliegenden Beispiel also

P(G|A) =${P(A \cap B)\over{P(B)}} ={{6\over{17}}\over{10\over{17}}} = {6\over{17}}\cdot {17\over{10}} ={6\over{10}}$ = 0,6.

Sechs von 17 Kugeln sind gleichzeitig grau und tragen den Buchstaben A, daher P(G $\cap$ A) = 6/17. Man muss hier von allen 17 Kugeln den Anteil jener berechnen, die grau sind und A als Aufschrift haben! Genau so sind zehn Kugeln von 17 mit dem Buchstaben A versehen, d.h. P(A) = 10/17.

Zweite Methode: Vierfeldertafel

In der Tabelle selbst stehen die „Und-Wahrscheinlichkeiten“, nicht die bedingten Wahrscheinlichkeiten selbst! Mit diesen kann man dann in die Definition unter 1. gehen.

Die Vierfeldertafel (die bei mehr als zwei Ausprägungen pro Merkmal natürlich eine Sechsfelder- oder Achtfeldertafel usw. ist), lautet

Z.B. ist P(W $\cap$ B)die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Kugel gleichzeitig weiß ist und den Buchstaben B trägt. Hiervon gibt es zwei Stück, also P(W $\cap$ B) = 2/17. Mit der Vierfeldertafel lässt sich dann die Definition anwenden:

P(G|A) =${P(A \cap B)\over{P(B)}} ={{16\over{17}}\over{10\over{17}}} = {16\over{17}}\cdot {17\over{10}} ={6\over{10}}$ = 0,6.

Dritte Methode: Bayessche Formel

Wenn also die umgekehrte Wahrscheinlichkeit P(B|A) bekannt ist und P(A|B) gesucht, dann lässt sich die Bayessche Formel anwenden. Für den Nenner P(B) benutzt man den Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit, wenn P(B) nicht bekannt ist. Man rechnet  

 P(G|A) = ${{P(A|G)\cdot{P(G)}}\over{P(A)}} = {{6\over{11}}\cdot {11\over{17}}\over{10\over{17}}} = {6\over{17}}\cdot {17\over{10}} ={6\over{10}}$ = 0,6.

Vierte Methode: Bäumchen (inkl. Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit)

Oftmals die anschaulichste Methode. Hilfreich insbesondere für den Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit. P(A) = P(A|B)·P(B) + P(A|$\overline{B}$)·P($\overline{B}$), wenn man die Grundgesamtheit lediglich in zwei Ereignisse B und sein Komplement einteilt. Man multipliziert also die Wahrscheinlichkeiten auf den Ästen, die zu A führen auf und addiert die Stränge.

Abb. 4.2: Bäumchen – Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit

Die Möglichkeit, sich Bäumchen aufzumalen, dient der Anschaulichkeit und ist ein Hilfsmittel für den Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit:

Abb. 4.3: Bäumchen mit konkreten Wahrscheinlichkeiten

Man rechnet

P(G) = P(G|A)·P(A) + P(G|B)·P(B)

= ${6\over{10}}\cdot {10\over{17}} + {5\over{7}}\cdot {7\over{17}} = {6\over{17}} + {5\over{17}} = {11\over{17}}$

• man multipliziert entlang der Stränge und

• addiert die relevanten Zahlen auf.

Fünfte Methode: Einschränkung der Grundgesamtheit

Oftmals sieht man intuitiv das Ergebnis für P(A|B). Hierfür betrachtet man ausschließlich Elemente, für die B gilt. Diese seien nun die neue (kleinere) Grundgesamtheit. Von diesen werden jene Elemente gezählt, für die A gilt. Mathematisch nichts anderes als die Definition, d.h. Methode 1, aber anschaulich manchmal klarer.

P(G|A) bedeutet: wie viele von den Kugeln mit dem Buchstaben A (= Hypothese, Voraussetzung) sind grau (= Ereignis)? Wir betrachten also lediglich jene Kugeln, die ein A tragen:

Abb. 4.4: Methode der Einschränkung der Grundgesamtheit

Von diesen elf Kugeln sind sechs graue dabei, also ist P(G|A) = 6/10.

Zusammenfassung