Bedingte Wahrscheinlichkeiten berechnen

Im folgenden Kapitel wirst du verschiedene Methoden lernen, mit denen du bedingte Wahrscheinlichkeiten berechnen kannst.
Die folgenden Methoden wollen wir mit Hilfe eines Beispiels erläutern:

Es handelt sich also um eine bedingten Wahrscheinlichkeiten P(A|B). Das Ereignis B (mit P(B) > 0) sei bereits eingetreten. Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt nun das Ereignis A ein?

Es gibt fünf Methoden, mit deren Hilfe man solche Aufgaben mit bedingten Wahrscheinlichkeiten lösen kann:

Erläutern wir nun die fünf Methoden durch unser Beispiel. Als erstes zeichen wir eine Urne (in unserem Fall eine Bonbontüte) und die Bonbons mit den entsprechenden Spezifikationen (rund, quadratisch; Erdbeer, Zitrone) auf.

Abb 4.1

Nun zu den einzelnen Methoden:

1. Methode: Definition

Man errechnet als erstes die Wahrscheinlichkeit des Schnitts und schließlich die Wahrscheinlichkeit des hinten stehdenen Ereignisses.

Für unser Beispiel:

• Ereignis A: Das Bonbon ist rund.
• Ereignis B: Das Bonbon schmeckt nach Erdbeere

Man rechnet:

$P(R|E)$ =${P(R \cap E)\over{P(E)}} ={{7\over{19}}\over{10\over{19}}} = {7\over{19}}\cdot {19\over{10}} ={7\over{10}}$ = 0,7.

Sieben der 19 Bonbons sind sowohl rund, als auch schmecken sie nach Erdbeer, also P(R $\cap$ E) = ${7 \over 19}$. Hier muss der Anteil der runden Erdbeerbonbons von der Gesamtheit aller Bonbons betrachtet werden. Ebenso sind zehn von 19 mit Erdbeergeschmack, P(E)=${10}\over{19}$.

Zweite Methode: Vierfeldertafel

In die Tabelle werden nur die Und-Wahrscheinlichkeiten eingetragem, die bedingten Wahrscheinlichkeiten selbst nicht. Diese kann man dann mit der eben vorgestellten ersten Methode "Definition" berechnen.

Eine Vierfeldertafel sieht allgemein folgendermaßen aus:

Abb 4.2

Bei mehr als zwei Eigenschaften pro Merkmal entsteht eine Sechs- oder Achtfeldertafel.

Beispielsweise ist die Wahrscheinlichkeit für ein quadratisches Zitronenbonbon P(Q $\cap$ Z)=${5}\over{19}$

Abb 4.3

Mit der Vierfeldertafel lässt sich dann die Definition anwenden:

$P(R|E)$ =${P(R \cap E)\over{P(E)}} ={{7\over{19}}\over{10\over{19}}} = {7\over{19}}\cdot {19\over{10}} ={7\over{10}}$ = 0,7.

Dritte Methode: Bayessche Formel

Sollte die umgekehrte Wahrscheinlichkeit P(B|A) bekannt sein und P(A|B) wird gesucht, kann man die Bayessche Formel verwenden. Sollte P(B) im Nenner des Bruchs nicht bekannt sein, kann man hier den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit anwenden.

Vierte Methode: Bäumchen (inkl. Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit)

Häufig ist das Baumdiagramm die bildlichste Methode, vorallem für den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit, wenn die Grundgesamtheit nur aus zwei Ereignissen B und $\overline{B}$ besteht.

Entlang der Äste die zum Ereignis A führen werden die Wahrscheinlichkeiten miteinander multipiziert und dann alle Produkte addiert.

Abb 4.4 Bäumchen - Satz der totalen Wahrscheinlichkeit

Für unser Beispiel sieht dies konkret folgendermaßen aus:

Abb 4.5 Bäumchen mit konkreten Wahrscheinlichkeiten

Gerechnet:

P(R) = P(R|E)·P(E) + P(R|Z)·P(Z) = ${7\over{10}}\cdot {10\over{19}} + {4\over{9}}\cdot {9\over{19}} = {7\over{19}} + {4\over{19}} = {11\over{19}}$

Baumdiagramme zu zeichen hilft alles zu veranschaulichen und vereinfacht die Anwendung des Satzes der totalen Wahrscheinlichkeit.

Fünfte Methode: Einschränkung der Grundgesamtheit

Häufig lässt sich die Wahrscheinlichkeit P(A|B) auch sofort erkennen. Dafür schaut man sich nur die Elemente an, für die das Ereignis B (Erdbeergeschmack) gilt und definiert diese als neue Grundgesamtheit. Aus dieser neunen Grundgesamtheit bestimmt man nun die Anzahl derer, auf die das Ereignis A (rund) zutrifft. Grundsätzlich ist dieses Vorgehen auch nichts anderes als die 1. Methode. Doch schauen wir uns dies für unnser Beispiel an.

Gesucht ist P(R|E), also wie viele Bonbons mit Erdbeergeschmack (Ereignis B = Hypothese, Voraussetzung) sind rund (= Ereignis A). Wir schauen uns nur die Bonbonbs an, die Erdbeergeschmack haben:

Abb. 4.6 Methode der Einschränkung der Grundgesamtheit

Von allen zehn Erdbeerbonbons sind also sieben rund. Folglich ist P(R|E) =${7 \over {10}}$

Zusammenfassung