Kursangebot | Wahrscheinlichkeitsrechnung | Bedingte Wahrscheinlichkeiten berechnen

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Bedingte Wahrscheinlichkeiten berechnen

x
Juracademy JETZT WEITER LERNEN!

Weitere Lernvideos sowie zahlreiche Materialien für deine Prüfungsvorbereitung erwarten dich:
wiwiweb.de Flatrate


1272 Lerntexte mit den besten Erklärungen

412 weitere Lernvideos von unseren erfahrenen Dozenten

3121 Übungen zum Trainieren der Inhalte

516 informative und einprägsame Abbildungen

Wir erklären die folgenden Überlegungen anhand eines Beispiels:

Beispiel

In einer Urne liegen 17 Kugeln. Von diesen sind sechs weiß und elf grau. Bei den weißen Kugeln haben vier den Buchstaben A, der Rest den Buchstaben B. Sechs der grauen Kugeln tragen den Buchstaben A, der Rest hat B als Aufschrift.

Nun werde eine Kugel gezogen, die den Buchstaben A trägt.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese Kugel grau ist?

Wir haben es mit sog. bedingten Wahrscheinlichkeiten P(A|B) zu tun. Das Ereignis B (mit P(B) > 0) sei bereits passiert. Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass dann A eintritt?

Aufgaben mit bedingten Wahrscheinlichkeiten lassen sich mit fünf unterschiedlichen Methoden angehen:

Methode

Bedingte Wahrscheinlichkeiten

- Erste Methode: Definition

- Zweite Methode: Vierfeldertafel

- Dritte Methode: Bayessche Formel

- Vierte Methode: Bäumchen

- Fünfte Methode: Einschränkung der Grundgesamtheit

Kommen wir zum Beispiel und erklären die fünf Methoden anhand desen. Zunächst malt man die Urne auf und markiert die Farben sowie die Buchstaben auf die Kugeln:

Abb. 4.1: Urnenbeispiel
Abb. 4.1: Urnenbeispiel

Nun zu den einzelnen Methoden:

Erste Methode: Definition

Die bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter der Hypothese B, in Zeichen P(A|B), ist definiert als P(A|B) =${P(A \cap B)\over{P(B)}}$ , wenn P(B) > 0.

Berechne also zuerst die Wahrscheinlichkeit des Schnitts und dann die Wahrscheinlichkeit des hinten stehenden Ereignisses.

Man rechnet im vorliegenden Beispiel also

P(G|A) =${P(A \cap B)\over{P(B)}} ={{6\over{17}}\over{10\over{17}}} = {6\over{17}}\cdot {17\over{10}} ={6\over{10}}$ = 0,6.

Sechs von 17 Kugeln sind gleichzeitig grau und tragen den Buchstaben A, daher P(G $\cap$ A) = 6/17. Man muss hier von allen 17 Kugeln den Anteil jener berechnen, die grau sind und A als Aufschrift haben! Genau so sind zehn Kugeln von 17 mit dem Buchstaben A versehen, d.h. P(A) = 10/17.

Video: Bedingte Wahrscheinlichkeiten berechnen

Zweite Methode: Vierfeldertafel

A

$\overline{A}$

Σ

B

P(A $\cap$ B)

P($\overline{A}$ $\cap$ B)

P(B)

$\overline{B}$

P(A $\cap$ $\overline{B}$ )

P($\overline{A}$ $\cap$ $\overline{B}$ )

P($\overline{B}$)

Σ

P(A)

P($\overline{A}$)

1

In der Tabelle selbst stehen die „Und-Wahrscheinlichkeiten“, nicht die bedingten Wahrscheinlichkeiten selbst! Mit diesen kann man dann in die Definition unter 1. gehen.

Die Vierfeldertafel (die bei mehr als zwei Ausprägungen pro Merkmal natürlich eine Sechsfelder- oder Achtfeldertafel usw. ist), lautet

A

B

Σ

W

4/17

2/17

6/17

G

6/17

5/17

11/17

Σ

10/17

7/17

1

Z.B. ist P(W $\cap$ B)die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Kugel gleichzeitig weiß ist und den Buchstaben B trägt. Hiervon gibt es zwei Stück, also P(W $\cap$ B) = 2/17. Mit der Vierfeldertafel lässt sich dann die Definition anwenden:

P(G|A) =${P(A \cap B)\over{P(B)}} ={{16\over{17}}\over{10\over{17}}} = {16\over{17}}\cdot {17\over{10}} ={6\over{10}}$ = 0,6.

Merke

Es ist P(G|A) ≠ P(A|G)!

Die Ereignisse lassen sich also nicht einfach umdrehen!

  • die Wahrscheinlichkeit, dass eine graue Kugel den Buchstaben A trägt, ist P(A|G) = 6/11 = 0,5455

  • hingegen ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Kugel mit dem Buchstaben A grau ist, P(G|A) = 6/10 = 0,6.

Video: Bedingte Wahrscheinlichkeiten berechnen

Dritte Methode: Bayessche Formel

Methode

 P(A|B) = ${{P(B|A)\cdot{P(A)}}\over{P(B)}}$                 Bayessche Formel.

Wenn also die umgekehrte Wahrscheinlichkeit P(B|A) bekannt ist und P(A|B) gesucht, dann lässt sich die Bayessche Formel anwenden. Für den Nenner P(B) benutzt man den Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit, wenn P(B) nicht bekannt ist. Man rechnet  

 P(G|A) = ${{P(A|G)\cdot{P(G)}}\over{P(A)}} = {{6\over{11}}\cdot {11\over{17}}\over{10\over{17}}} = {6\over{17}}\cdot {17\over{10}} ={6\over{10}}$ = 0,6.

Methode

Wenn P(G|A) gesucht ist, aber lediglich die „umgedrehte“ Wahrscheinlichkeit P(A|G) bekannt, ist die Bayessche Formel eine gute Möglichkeit, zur Lösung zu gelangen.

Video: Bedingte Wahrscheinlichkeiten berechnen

Vierte Methode: Bäumchen (inkl. Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit)

Oftmals die anschaulichste Methode. Hilfreich insbesondere für den Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit. P(A) = P(A|B)·P(B) + P(A|$\overline{B}$)·P($\overline{B}$), wenn man die Grundgesamtheit lediglich in zwei Ereignisse B und sein Komplement einteilt. Man multipliziert also die Wahrscheinlichkeiten auf den Ästen, die zu A führen auf und addiert die Stränge.

Abb. 4.2: Bäumchen – Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit
Abb. 4.2: Bäumchen – Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit

Die Möglichkeit, sich Bäumchen aufzumalen, dient der Anschaulichkeit und ist ein Hilfsmittel für den Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit:

Abb. 4.3: Bäumchen mit konkreten Wahrscheinlichkeiten
Abb. 4.3: Bäumchen mit konkreten Wahrscheinlichkeiten

Man rechnet

P(G) = P(G|A)·P(A) + P(G|B)·P(B)

= ${6\over{10}}\cdot {10\over{17}} + {5\over{7}}\cdot {7\over{17}} = {6\over{17}} + {5\over{17}} = {11\over{17}}$

  • man multipliziert entlang der Stränge und

  • addiert die relevanten Zahlen auf.

Fünfte Methode: Einschränkung der Grundgesamtheit

Oftmals sieht man intuitiv das Ergebnis für P(A|B). Hierfür betrachtet man ausschließlich Elemente, für die B gilt. Diese seien nun die neue (kleinere) Grundgesamtheit. Von diesen werden jene Elemente gezählt, für die A gilt. Mathematisch nichts anderes als die Definition, d.h. Methode 1, aber anschaulich manchmal klarer.

Merke

 man beachte den Unterschied zwischen

  • P(A $\cap$ B) (die Wahrscheinlichkeit, dass A und B eintreten) und

  • P(A|B) (die Wahrscheinlichkeit, dass A eintritt, wenn B bereits passiert ist).

P(G|A) bedeutet: wie viele von den Kugeln mit dem Buchstaben A (= Hypothese, Voraussetzung) sind grau (= Ereignis)? Wir betrachten also lediglich jene Kugeln, die ein A tragen:

Abb. 4.4: Methode der Einschränkung der Grundgesamtheit
Abb. 4.4: Methode der Einschränkung der Grundgesamtheit

Von diesen elf Kugeln sind sechs graue dabei, also ist P(G|A) = 6/10.

Zusammenfassung

Merke

Die fünf Methoden sind nicht wirklich verschieden voneinander. So ist z.B. die fünfte identisch zur ersten. Methode 2 ist eine Veranschaulichung und geht in Methode 1, der Definition, auf. Die Bayessche Formel, Methode 3, wiederum bedient sich ebenfalls der Zahlen aus Methode 2.