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Bedingte Wahrscheinlichkeiten berechnen

WebinarTerminankündigung aus unserem Online-Kurs Volks- und Betriebswirtschaft:
 Am 12.01.2017 (ab 18:00 Uhr) findet unser nächstes Webinar statt.
Gratis-Webinar Grundbegriffe der Bilanzierung
- In diesem 60-minütigen Gratis-Webinar gibt Daniel Lambert einen Überblick über die zentralen Begriffe der Bilanzierung - hier im Besonderen dem Bilanzausweis.
[weitere Informationen] [Terminübersicht]

Wir erklären die folgenden Überlegungen anhand eines Beispiels:

Beispiel

In einer Urne liegen 17 Kugeln. Von diesen sind sechs weiß und elf grau. Bei den weißen Kugeln haben vier den Buchstaben A, der Rest den Buchstaben B. Sechs der grauen Kugeln tragen den Buchstaben A, der Rest hat B als Aufschrift.

Nun werde eine Kugel gezogen, die den Buchstaben A trägt.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese Kugel grau ist?

Wir haben es mit sog. bedingten Wahrscheinlichkeiten P(A|B) zu tun. Das Ereignis B (mit P(B) > 0) sei bereits passiert. Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass dann A eintritt?

Aufgaben mit bedingten Wahrscheinlichkeiten lassen sich mit fünf unterschiedlichen Methoden angehen:

Methode

Bedingte Wahrscheinlichkeiten

- Erste Methode: Definition

- Zweite Methode: Vierfeldertafel

- Dritte Methode: Bayessche Formel

- Vierte Methode: Bäumchen

- Fünfte Methode: Einschränkung der Grundgesamtheit

Kommen wir zum Beispiel und erklären die fünf Methoden anhand desen. Zunächst malt man die Urne auf und markiert die Farben sowie die Buchstaben auf die Kugeln:

Abb. 4.1: Urnenbeispiel
Abb. 4.1: Urnenbeispiel

Nun zu den einzelnen Methoden:

Erste Methode: Definition

Die bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter der Hypothese B, in Zeichen P(A|B), ist definiert als P(A|B) =${P(A \cap B)\over{P(B)}}$ , wenn P(B) > 0.

Berechne also zuerst die Wahrscheinlichkeit des Schnitts und dann die Wahrscheinlichkeit des hinten stehenden Ereignisses.

Man rechnet im vorliegenden Beispiel also

P(G|A) =${P(A \cap B)\over{P(B)}} ={{6\over{17}}\over{10\over{17}}} = {6\over{17}}\cdot {17\over{10}} ={6\over{10}}$ = 0,6.

Sechs von 17 Kugeln sind gleichzeitig grau und tragen den Buchstaben A, daher P(G $\cap$ A) = 6/17. Man muss hier von allen 17 Kugeln den Anteil jener berechnen, die grau sind und A als Aufschrift haben! Genau so sind zehn Kugeln von 17 mit dem Buchstaben A versehen, d.h. P(A) = 10/17.

Video: Bedingte Wahrscheinlichkeiten berechnen

Hier lernst du, wie du bedingte Wahrscheinlichkeiten anhand von vier Methoden ausrechnen kannst. Bedingte Wahrscheinlichkeiten - Erste Methode: Definition - Zweite Methode: Vierfeldertafel - Dritte Methode: Bayessche Formel - Vierte Methode: Bäumchen - Fünfte Methode: Einschränkung der Grundgesamtheit

Zweite Methode: Vierfeldertafel

A

$\overline{A}$

Σ

B

P(A $\cap$ B)

P($\overline{A}$ $\cap$ B)

P(B)

$\overline{B}$

P(A $\cap$ $\overline{B}$ )

P($\overline{A}$ $\cap$ $\overline{B}$ )

P($\overline{B}$)

Σ

P(A)

P($\overline{A}$)

1

In der Tabelle selbst stehen die „Und-Wahrscheinlichkeiten“, nicht die bedingten Wahrscheinlichkeiten selbst! Mit diesen kann man dann in die Definition unter 1. gehen.

Die Vierfeldertafel (die bei mehr als zwei Ausprägungen pro Merkmal natürlich eine Sechsfelder- oder Achtfeldertafel usw. ist), lautet

A

B

Σ

W

4/17

2/17

6/17

G

6/17

5/17

11/17

Σ

10/17

7/17

1

Z.B. ist P(W $\cap$ B)die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Kugel gleichzeitig weiß ist und den Buchstaben B trägt. Hiervon gibt es zwei Stück, also P(W $\cap$ B) = 2/17. Mit der Vierfeldertafel lässt sich dann die Definition anwenden:

P(G|A) =${P(A \cap B)\over{P(B)}} ={{16\over{17}}\over{10\over{17}}} = {16\over{17}}\cdot {17\over{10}} ={6\over{10}}$ = 0,6.

Merke

Es ist P(G|A) ≠ P(A|G)!

Die Ereignisse lassen sich also nicht einfach umdrehen!

  • die Wahrscheinlichkeit, dass eine graue Kugel den Buchstaben A trägt, ist P(A|G) = 6/11 = 0,5455

  • hingegen ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Kugel mit dem Buchstaben A grau ist, P(G|A) = 6/10 = 0,6.

Video: Bedingte Wahrscheinlichkeiten berechnen

Hier lernst du, wie du bedingte Wahrscheinlichkeiten anhand von vier Methoden ausrechnen kannst. Bedingte Wahrscheinlichkeiten - Erste Methode: Definition - Zweite Methode: Vierfeldertafel - Dritte Methode: Bayessche Formel - Vierte Methode: Bäumchen - Fünfte Methode: Einschränkung der Grundgesamtheit

Dritte Methode: Bayessche Formel

Methode

 P(A|B) = ${{P(B|A)\cdot{P(A)}}\over{P(B)}}$                 Bayessche Formel.

Wenn also die umgekehrte Wahrscheinlichkeit P(B|A) bekannt ist und P(A|B) gesucht, dann lässt sich die Bayessche Formel anwenden. Für den Nenner P(B) benutzt man den Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit, wenn P(B) nicht bekannt ist. Man rechnet  

 P(G|A) = ${{P(A|G)\cdot{P(G)}}\over{P(A)}} = {{6\over{11}}\cdot {11\over{17}}\over{10\over{17}}} = {6\over{17}}\cdot {17\over{10}} ={6\over{10}}$ = 0,6.

Methode

Wenn P(G|A) gesucht ist, aber lediglich die „umgedrehte“ Wahrscheinlichkeit P(A|G) bekannt, ist die Bayessche Formel eine gute Möglichkeit, zur Lösung zu gelangen.

Video: Bedingte Wahrscheinlichkeiten berechnen

Hier lernst du, wie du bedingte Wahrscheinlichkeiten anhand von vier Methoden ausrechnen kannst. Bedingte Wahrscheinlichkeiten - Erste Methode: Definition - Zweite Methode: Vierfeldertafel - Dritte Methode: Bayessche Formel - Vierte Methode: Bäumchen - Fünfte Methode: Einschränkung der Grundgesamtheit

Vierte Methode: Bäumchen (inkl. Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit)

Oftmals die anschaulichste Methode. Hilfreich insbesondere für den Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit. P(A) = P(A|B)·P(B) + P(A|$\overline{B}$)·P($\overline{B}$), wenn man die Grundgesamtheit lediglich in zwei Ereignisse B und sein Komplement einteilt. Man multipliziert also die Wahrscheinlichkeiten auf den Ästen, die zu A führen auf und addiert die Stränge.

Abb. 4.2: Bäumchen – Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit
Abb. 4.2: Bäumchen – Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit

Die Möglichkeit, sich Bäumchen aufzumalen, dient der Anschaulichkeit und ist ein Hilfsmittel für den Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit:

Abb. 4.3: Bäumchen mit konkreten Wahrscheinlichkeiten
Abb. 4.3: Bäumchen mit konkreten Wahrscheinlichkeiten

Man rechnet

P(G) = P(G|A)·P(A) + P(G|B)·P(B)

= ${6\over{10}}\cdot {10\over{17}} + {5\over{7}}\cdot {7\over{17}} = {6\over{17}} + {5\over{17}} = {11\over{17}}$

  • man multipliziert entlang der Stränge und

  • addiert die relevanten Zahlen auf.

Fünfte Methode: Einschränkung der Grundgesamtheit

Oftmals sieht man intuitiv das Ergebnis für P(A|B). Hierfür betrachtet man ausschließlich Elemente, für die B gilt. Diese seien nun die neue (kleinere) Grundgesamtheit. Von diesen werden jene Elemente gezählt, für die A gilt. Mathematisch nichts anderes als die Definition, d.h. Methode 1, aber anschaulich manchmal klarer.

Merke

 man beachte den Unterschied zwischen

  • P(A $\cap$ B) (die Wahrscheinlichkeit, dass A und B eintreten) und

  • P(A|B) (die Wahrscheinlichkeit, dass A eintritt, wenn B bereits passiert ist).

P(G|A) bedeutet: wie viele von den Kugeln mit dem Buchstaben A (= Hypothese, Voraussetzung) sind grau (= Ereignis)? Wir betrachten also lediglich jene Kugeln, die ein A tragen:

Abb. 4.4: Methode der Einschränkung der Grundgesamtheit
Abb. 4.4: Methode der Einschränkung der Grundgesamtheit

Von diesen elf Kugeln sind sechs graue dabei, also ist P(G|A) = 6/10.

Zusammenfassung

Merke

Die fünf Methoden sind nicht wirklich verschieden voneinander. So ist z.B. die fünfte identisch zur ersten. Methode 2 ist eine Veranschaulichung und geht in Methode 1, der Definition, auf. Die Bayessche Formel, Methode 3, wiederum bedient sich ebenfalls der Zahlen aus Methode 2.

Multiple-Choice

Welche der folgenden Aussagen kommt der Wahrheit am nächsten?

0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Kommentare zum Thema: Bedingte Wahrscheinlichkeiten berechnen

  • Maren Nebeling schrieb am 20.01.2015 um 08:30 Uhr
    Hallo Kristin, vielen Dank für deinen Hinweis. Ja, du hast Recht, es müsste 6/17 sein. Ich habe den Fehler sofort korrigiert. Schöne Grüße
  • Kristin Fischer schrieb am 19.01.2015 um 16:50 Uhr
    Hallo, ich hab eine Frage zu dem Bruch der ersten Berechnungsmethode "Definition": Über dem Bruchstrich wurde 16/17 geschrieben, ist das richtig so oder sollen das die P(G"und"A)= 6/17 sein? Sonst versteh ich nicht wie man darauf kommt. Liebe Grüße, Kristin :)
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Autor: Daniel Lambert

Dieses Dokument Bedingte Wahrscheinlichkeiten berechnen ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Dipl.-Math. Dipl.-Kfm. Daniel Lambert gibt seit vielen Jahren Kurse zur Prüfungsvorbereitung. Er unterrichtet stets orientiert an alten Prüfungen und weiß aus langjähriger Erfahrung, wie sich komplexe Sachverhalte am besten aufbereiten und vermitteln lassen. Daniel Lambert ist Repetitor aus Leidenschaft seit nunmehr 20 Jahren.
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    Ein Kursnutzer am 23.07.2015:
    "Weiter so!! viele Grüße aus Nürnberg"

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    Ein Kursnutzer am 08.06.2015:
    "Ich finde, dass Herrn Lambert eine große Gabe hat, schwierige Sachverhalte einfach und strukturiert wiederzugeben. Man gewinnt außerdem den Eindruck, dass er Spaß an der Erklärung hat und an wichtiger Stelle die Fokussierung mit Witz und Präzision in der Wortwahl den Stoff einleuchtend vermittelt. Ich würde mal sagen, das war ein ganz schön dickes LOB! :-) Danke! "

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