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Wahrscheinlichkeitsrechnung - Binomialverteilung

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Binomialverteilung

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Es gibt spezielle Verteilungen, die sich „aus der Natur heraus“ erklären lassen. Hierzu gehören die Laplace-Verteilung, die Binomialverteilung B(n, p), die hypergeometrische Verteilung H(N, M, n), die geometrische Verteilung, die diskrete als auch die stetige Gleichverteilung.

Wann benutzt man die Binomialverteilung?

LAMBERT-REGEL BINOMIALVERTEILUNG B(n,p):

Methode

Voraussetzung:

Gegeben seien n Experimente, die

  • unabhängig voneinander sind und

  • mit jeweils genau zwei Ergebnissen, nämlich Erfolg und Misserfolg.

Die Wahrscheinlichkeit für Erfolg sei p, die Misserfolgswahrscheinlichkeit entsprechend 1 - p.

Frage: wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim vorliegenden Experiment genau k Erfolge zu erzielen mit 0 ≤ k ≤ n?

Antwort: X bezeichne die Zufallsvariable, die die Anzahl der Erfolge angibt. Dann lässt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnen mit

f(k) = P(X = k) = $\dbinom{n}{k}$·pk·(1 – p)n – k.

MERKE

Merke

  • Die Binomialverteilung lässt sich immer dann anwenden, wenn die beiden Punkte in der obigen LAMBERT-REGEL BINOMIALVERTEILUNG gegeben sind. Entscheidend ist daher, diese beiden Bedingungen abzuprüfen.

  • Das oben beschriebene Experiment lässt sich auch verstehen als Ziehen aus einer Urne mit Zurücklegen. Dadurch, dass die gezogene Kugel wieder zurückgelegt wird, sind die Ereignisse unabhängig voneinander.

  • Die o.e. Funktion f ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung B(n,p).

Beispiel

Beispiel

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim dreifachen Werfen einer fairen Münze genau zweimal Kopf fällt?

Das Beispiel wurde weiter oben schon gelöst, nämlich in Beispiel 2 unter <span class="intern-link" data-id="546b2f27fdcb903d7f98a1fd">Klassischer Wahrscheinlichkeitsbegriff</span>. Wir zeigen hier, dass man auch über die Binomialverteilung herangehen kann.

METHODE

Methode

Wenn Sie also verstehen, dass man dieselbe Aufgabenstellung sowohl

  • „zu Fuß“ (s. altes Beispiel) als auch

  • mit der Binomialverteilung (siehe dieses Beispiel)

lösen kann, haben Sie den Sinn der Binomialverteilung verstanden!

Hierzu überprüfen wird die o.e. Voraussetzungen.

Es handelt sich um n = 3 Experimente, nämlich das dreimalige Werfen einer fairen Münze.

  • Die einzelnen Würfe sind unabhängig voneinander. Das Ergebnis des zweiten Wurfs beispielsweise beeinflusst den dritten nicht usw.

  • In jedem einzelnen Wurf sind genau zwei Ergebnisse möglich, nämlich Kopf und Zahl.

In der Aufgabenstellung 6.5 wird nach dem Auftreten des Ereignisses „Kopf“ gefragt, dies ist damit der Erfolg. Die Erfolgswahrscheinlichkeit ist p = ½, da in jedem einzelnen der Würfe entweder Kopf oder Zahl fällt, und zwar beide Ereignisse mit Wahrscheinlichkeit ½. Wir verwenden also die Binomialverteilung B(3;½).

MERKE

Merke

  • Es ist nicht notwendig, dass die Erfolgswahrscheinlichkeit p immer gleich der Misserfolgswahrscheinlichkeit 1 - p ist, nämlich beide gleich ½.

  • Man sieht, dass man das Experiment auch verstehen kann also Ziehen aus einer Urne mit Zurücklegen: in einer Urne sind zwei Kugeln, auf der einen steht „Kopf“, auf der anderen „Zahl“. Man zieht eine Kugel, notiert das Ergebnis und legt die gezogene Kugel wieder in die Urne zurück. Danach zieht man noch mal usw. Das Ergebnis ist identisch mit dem dreimaligen Werfen einer fairen Münze. Man sieht, dass nur durch das Zurücklegen der gezogenen Kugeln die einzelnen Züge unabhängig voneinander sind. Die Verteilung der Kugeln in der Urne wird durch das Zurücklegen gerade nicht verändert (anders beim Fall ohne Zurücklegen: hier beeinflusst ein Zug den darauffolgenden, da die gezogene Kugel nicht nochmals gezogen werden kann. Wir kommen bei der hypergeometrischen Verteilung hierauf zurück).

  • „Zwei“ mögliche Ergebnisse heißt nur, dass nach zweien gefragt ist. Wenn in einer Urne rote, blaue und grüne Kugeln liegen und nach dem Auftreten von blauen Kugeln gefragt ist, so ist die B(n,p) - Verteilung sehr wohl anwendbar, denn es sind blaue und nicht-blaue (= rote, grüne) Kugeln in der Urne vorhanden.

Es sei nun X die Anzahl der gefallenen Köpfe. Man rechnet die Wahrscheinlichkeit, dass genau zwei Köpfe fallen, aus als (n = 3, p = ½, k = 2):

f(2) = = P(X = 2) =  $\left(\genfrac{}{}{0pt}{0}32\right)$· $\left(\frac 1 2\right)^2$·(1 -  $\frac 1 2)^{3 – 2}$ =  $\frac 3 8$ = 0,375.

Dieses Ergebnis hatten wir schon vorher gesehen nämlich beim alten Beispiel, als wir die Aufgabe ohne die Kenntnis einer Verteilung ausgerechnet hatten.

Man kann nun auch die Wahrscheinlichkeiten der anderen möglichen Ereignisse berechnen, nämlich drei Köpfe zu werfen (P(X = 3)), genau einen (P(X = 1)) sowie gar keinen (P(X = 0)). Man erhält also wieder folgende Wahrscheinlichkeitsfunktion:

X

P

0

0,125

1

0,375

2

0,375

3

0,125

Als Graphik erhält man hierzu:

Abb. 6.2: Wahrscheinlichkeitsfunktion der B(3;1/2) – Verteilung
Abb. 6.2: Wahrscheinlichkeitsfunktion der B(3;1/2) – Verteilung

Aus dieser Wahrscheinlichkeitsfunktion kann man die Verteilungsfunktion herleiten.

Rekursionsformel der Binomialverteilung

Merke

Die Rekursionsformel der Binomialverteilung B(n,p) ist

p0 = (1 – p)^n,

pk+1 = $\frac{n\;-\;k}{k\;+\;1}$· $\frac p{1\;-\;p}$·pk  für k = 0, 1, 2, …, n - 1.

Dies erleichtert die Arbeit, wenn man z.B. die Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktion ausrechnen möchte, d.h. „hintereinander liegende“ Werte f(0) = P(X = 0), f(1) = P(X = 1), f(2) = P(X = 2) usw.

So lässt sich die Wahrscheinlichkeitsfunktion beim obigen Beispiel 6.5 des dreifachen Münzwurfes (mit „Kopf“ als Erfolg) auch mit der Rekursionsformel berechnen:

p0 = (1 - 0,5)^3 = 0,125,

p1 = $\frac{3\;-\;0}{0\;+\;1}$· $\frac{0,5}{1\;-\;0,5}$·0,125 = 0,375,

p2 = $\frac{3\;-\;1}{1\;+\;1}$· $\frac{0,5}{1\;-\;0,5}$·0,375 = 0,375,

p3 = $\frac{3\;-\;2}{2\;+\;1}$· $\frac{0,5}{1\;-\;0,5}$·0,375 = 0,125.

Aufgabe (Richtig-Falsch-Fragen zur Binomialverteilung)

Die folgenden Aussagen sind richtig oder falsch. Entscheide.

a) Eine binomialverteilte Zufallsvariable X zu den Parametern n und p, d.h. X ~ B(n,p), setzt sich zusammen aus n Zufallsvariablen Xi, die jede für sich binomialverteilt sind zu den Parametern 1 und p, d.h. Xi ~ B(1,p).

b) Eine B(3,p)-verteilte Zufallsvariable kann lediglich die Werte 1, 2 und 3 annehmen.

c) Die Varianz einer binomialverteilten Zufallsvariable ist maximal, wenn – für festes n – die Erfolgswahrscheinlichkeit p = 0,4 ist.

Lösung:

a) Eine binomialverteilte Zufallsvariable X zu den Parametern n und p, d.h. X ~ B(n,p), setzt sich zusammen aus n Zufallsvariablen Xi, die jede für sich binomialverteilt sind zu den Parametern 1 und p, d.h. Xi ~ B(1,p).

Falsch. Es fehlt die Bedingung, dass die einzelnen Xi unabhängig voneinander sind.

b) Eine B(3,p)-verteilte Zufallsvariable kann lediglich die Werte 1, 2 und 3 annehmen.

Falsch. Die möglichen Werte sind 0 (!), 1, 2 und 3. Es fehlte also die 0.

c) Die Varianz einer binomialverteilten Zufallsvariable ist maximal, wenn – für festes n – die Erfolgswahrscheinlichkeit p = 0,4 ist.

Falsch, sie muss p = 0,5 sein. Die Varianz ist Var(X) = n·p·(1 - p), die Ableitung dieser Funktion ist Var(X)’ = (n·p·(1 - p))’ = n·1·(1 - p) + n·p·(- 1). Wenn dies gleich null ist, so lässt sich auflösen nach p, also nach der kritischen Erfolgswahrscheinlichkeit: n·1·(1 - p) + n·p·(- 1) = 0, d.h. n – n·p – n·p = 0, also n = 2·n·p, damit p = ½ n. Die zweite Ableitung ist – n·p – n·p = - 2·n·p = - 2·n·(½ n) = -n2 < 0.

Video zur Binomialverteilung

Video: Binomialverteilung

Es gibt spezielle Verteilungen, die sich „aus der Natur heraus“ erklären lassen. Hierzu gehören die Laplace-Verteilung, die Binomialverteilung B(n, p), die hypergeometrische Verteilung H(N, M, n), die geometrische Verteilung, die diskrete als auch die stetige Gleichverteilung. Zunächst klären wir die Frage: Wann benutzt man die Binomialverteilung?