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Wahrscheinlichkeitsrechnung - Binomialverteilung

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Wahrscheinlichkeitsrechnung

Binomialverteilung

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Es existieren besondere Verteilungen, die man sich "von der Natur her" erschließen kann. Die geometrische Verteilung haben wir bereits kennengelernt, außerdem sind noch die Laplace-Verteilung, die Binomialverteilung B(n, p), die hypergeometrische Verteilung H(N, M, n), die diskrete, als auch die stetige Gleichverteilung zu nennen.

Wann kommt die Binomialverteilung zum Einsatz?

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REGEL BINOMIALVERTEILUNG B(n,p):

Voraussetzung:

  1. Es seien n voneinander unabhängige Experimente mit je exakt zwei Ergebnissen (wie vorher schon, Erfolg und Misserfolg).
  2. Die Wahrscheinlichkeit für Erfolg ist p, die Wahrscheinlichkeit für Misserfolg folgerichtig 1 - p.

 

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim vorliegenden Experiment genau k Erfolge zu erzielen mit 0 ≤ k ≤ n?

X sei die Zufallsvariable, die die Anzahl der Erfolge angibt. Daraus lässt sich die Wahrscheinlichkeit berechnen:

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f(k) = P(X = k) = $\dbinom{n}{k}$·pk·(1 – p)n – k

Diese Funktion f ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung B(n,p).

Sobald die Voraussetztungen der REGEL der BINOMIALVERTEILUNG erfüllt sind, kann man die Binomialverteilung anwenden. Es gilt also dies im zu prüfen.

 

Ein solches Experiment könnte auch ein Ziehen aus einer Urne mit Zurücklegen sein, weil die Unabhängigkeit der Ereignisse durchs Zurücklegen gewährleistet ist.

Beispiel

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Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim dreifachen Werfen einer fairen Münze genau zweimal Zahl fällt?

Wenn Sie sehen, dass man die gleiche Aufgabe auf zwei Wegen, einmal über "alten Weg", den klassischen Wahrscheinlichkeitsbegriff, als auch über die Binomialverteilung gelöst bekommt, dann haben Sie den Sinn der Binomialverteilung verstanden.

 

Vertiefung

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Lösung des Beispiels:

Diese und ähnliche Aufgabenstellung haben wir schon im Kapitel zum klassischen Wahrscheinlichkeitsbegriff kennnengelernt. Hier wären also zwei Lösungswege möglich.

  1. Über den klassischen Wahrscheinlichkeitsbegriff:
    P(A) =$ { \textrm{#A} \over {\textrm {#Ω}}} = {3 \over 8}$
  2. Über die Binomialverteilung B(n, p): (n = 3, p = ${1 \over 2}$, k = 2)

    Es sind n= 3 Experimente, die Münze wird dreimal geworfen und der Ausgang jedes Würfs ist vom anderen unabhängig. Es wurde nach dem Ereigniss "Zahl" gefragt, damit ist diesc der Erfolg und die Erfolgswahrscheinlichkeit p = ${1 \over 2}$. Wir verwenden also die Binomialverteilung B(3;${1 \over 2}$).

    f(2) = P(X = 2) = $\dbinom{n}{k}$·pk·(1 – p)n – k = $\dbinom{3}{2}$·$({1 \over2})^2$·$(1 – {1\over2})^{3-2}$ = 3·${1 \over4}$·${1 \over2}$ = ${3 \over8}$

Die Erfolgswahrscheinlichkeit p muss natürlich nicht immer gleich der Misserfolgswahrscheinlichkeit 1 - p sein.

Es wurde ja bereits erwähnt, dass man dieses Experiment auch als Ziehen von Kugeln aus einer Urne mit Zurücklegen sehen kann. Stellen wir uns einfach vor, in einer Urne lägen 2 Kugeln, eine mit Zahl und die andere mit Kopf. Wenn man hier eine Kugel zieht, das Gezogene festhält und die Kugel wieder zurücklegt und dann bis zu dreimal das Vorgehen wiederholt, sieht man, dass sich die Ergebnisse der beiden Experimente nicht unterscheiden. Durch das Zurücklegen bleiben die Züge unabhängig, da das Verhältnis der Kugeln zueinander nicht geändert wird.

Der gegenteilige Fall wäre ohne Zurücklegen. Hier würde der nachfolgen Zug dann beeinflusst, da eine bereits gezogene Kugel nicht erneut gezogen werden kann. Wie wir damit umgehen werden wir beim Thema hypergeometrischen Verteilung wieder aufgreifen.

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Mit zwei möglichen Ergebnissen bedeutet nur, dass nach zweien gefragt ist. Lägen in einer Urne bspw. gelbe, orange und violette Kugeln und würde nach violetten Kugeln gefragt, so wäre die Binomialverteilung B(n,p) durchaus anwendbar. Denn es wären ja violette (=Erfolg) und nicht violette (=Misserfolg) Kugeln in der Urne.

Jetzt lassen sich auch die Wharscheinlichkeiten aller anderen möglichen Ereignisse für Zahl ausrechnen. Dabei ist die Zufallsvariable X die Anzahl geworfener "Zahlen". Man bekommt wieder folgende Wahrscheinlichkeitsfunktion:

 

Als Graphik erhält man hierzu:

Bitte Beschreibung eingeben
Abb 6.2 Wahrscheinlichkeitsfunktion der B(3;${1 \over 2}$)

Aus dieser Wahrscheinlichkeitsfunktion lässt sich die Verteilungsfunktion herleiten.

Rekursionsformel der Binomialverteilung

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Die Rekursionsformel der Binomialverteilung B(n,p) ist

p0 = $(1 – p)^n$

pk+1 = $\frac{n\;-\;k}{k\;+\;1}$· $\frac p{1\;-\;p}$·pk  für k = 0, 1, 2, …, n - 1.

Die Rekursionsformel der Binomialverteilung B(n,p) emöglicht ein einfacheres Berechnen der Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktionen f(0) = P(X = 0), f(1) = P(X = 1), f(2) = P(X = 2)...

Beispiel

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Für das oben angeführte Bespiel des dreimaligen Münzwurfs (Zahl = Erfolg) lässt sich die Formel so anwenden:

p0 = $(1 - 0,5)^3$ = 0,125,

p1 = $\frac{3\;-\;0}{0\;+\;1}$· $\frac{0,5}{1\;-\;0,5}$·0,125 = 0,375,

p2 = $\frac{3\;-\;1}{1\;+\;1}$· $\frac{0,5}{1\;-\;0,5}$·0,375 = 0,375,

p3 = $\frac{3\;-\;2}{2\;+\;1}$· $\frac{0,5}{1\;-\;0,5}$·0,375 = 0,125.

Aufgabe (Richtig-Falsch-Fragen zur Binomialverteilung)

Welche dieser Aussagen sind korrekt oder fasch?

  1. Eine binomialverteilte Zufallsvariable X zu den Parametern n und p, d.h. X ~ B(n,p), setzt sich zusammen aus n Zufallsvariablen Xi, die jede für sich binomialverteilt sind zu den Parametern 1 und p, d.h. Xi ~ B(1,p).
  2. Eine B(3,p)-verteilte Zufallsvariable kann lediglich die Werte 1, 2 und 3 annehmen.
  3. Die Varianz einer binomialverteilten Zufallsvariable ist maximal, wenn – für festes n – die Erfolgswahrscheinlichkeit p = 0,4 ist.

Vertiefung

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Aufgabe a:

Falsch. Die einzelnen Xsind auch unabhängig voneinander. Diese Bedinung muss noch ergänzt werden

Vertiefung

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Aufgabe b:

Falsch, alle möglichen Werte sind 0, 1, 2, 3. Die 0 darf auf keinen Fall vergessen werden.

Vertiefung

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Ausfgabe c:

Falsch, sie muss p = 0,5 sein.

Die Varianz ist Var(X) = n·p·(1 - p), die Ableitung dieser Funktion ist Var(X)’ = (n·p·(1 - p))’ = n·1·(1 - p) + n·p·(- 1).
Ist sie gleich null , so lässt sich nach p auflösen, also nach der kritischen Erfolgswahrscheinlichkeit:

n·1·(1 - p) + n·p·(- 1) = 0

⇔ n – n·p – n·p = 0

⇔ n = 2·n·p

⇔ p = ${1 \over 2}$ n.

Die zweite Ableitung: – n·p – n·p = - 2·n·p = - 2·n·(${1 \over 2}$ n) = -n2

Video zur Binomialverteilung

Video: Binomialverteilung