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Wahrscheinlichkeitsrechnung - Stetige Verteilungen

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Wahrscheinlichkeitsrechnung

Stetige Verteilungen

Inhaltsverzeichnis

Stetige Gleichverteilung

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Eine Zufallsvariable, deren Dichtefunktion f

f(x) =$\left\{\genfrac{}{}{0pt}{0}{\frac 1{b\;-\;a},\ \ \mathit{f\text{ü}r}\text{ }a\;\le \;x\;\le \;b}{0,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathit{sonst}}\right.$

lautet, ist als stetig gleichverteilt (= rechteckverteilt) im Intervall [a;b] definiert.

Graphisch stellt sich die Dichtefunktion einer Rechteckverteilung so dar:

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Abb 6.3 Dichtefunktion der stetigen Gleichverteilung

Eine stetige Gleichverteilung (= Rechteckverteilung) hat dann folgende Verteilungsfunktion:

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F(x) =$\left\{\begin{matrix}0,\ \ \ \ x\;\;b\end{matrix}\right.$

Graphisch stellt sich die Verteilungsfunktion der Rechteckverteilung so dar:

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Abb 6.4 Verteilungsfunktion der stetigen Gleichverteilung

Um das Ganze besser nachvollziehen zu können, machen wir folgendes Beispiel:

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In der Musterstadt muss man max. 12 Min. auf ein Taxi warten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein beliebig ankommender Fahrgast länger als x Minuten warten muss?

Zunächt sollte man sich die Funktion skizzieren. Dabei ist X die verbleibende Wartezeit und die Fläche hat die Grenzen a=0, wenn ein Taxi gerade sowieso anwesend ist und b=12 der Fahrgast die maximale Wartezeit von 12 Min. warten muss.

Mit der Dichtefunktion kann man bspw. die Fläche unterhalb der Dichtefunktion in den Grenzen von 4 bis 12 bestimmen. Also die Frage beantworten, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass man zwischen 4 bis 12 Min. warten muss. Berechnet wird hier also die makierte Fläche, für die sich dann ergibt:

P(X ≥ 4) = $\int _4^{\infty }\;\frac 1{12\;-\;0}$·dx =  $\int _4^{12}\;\frac 1{12}$·dx =  $\frac 1{12}\;\cdot \;x\left|\;_4^{12}\right.$ =  $\frac 1{12}$·12 -  $\frac 1{12}$·4 =  $\frac 2 3$ .

Mit der Verteilungsfunktion ist dies wbenfalls möglich. Es ist aber daruf zu achten, dass das „Größer-Gleich-Zeichen“ in „Kleiner-Gleich“ umudrehen ist, damit man die Verteilungsfunktion  anwenden kann.
P(X ≥ 4) = 1 – P(X < 4) = 1 – F(4) = 1 - $\frac{4\;-\;0}{12\;-\;0}$ =  $\frac 2 3$.