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Stetige Verteilungen

WebinarTerminankündigung:
 Am 08.12.2016 (ab 18:00 Uhr) findet unser nächstes Webinar statt.
Gratis-Webinar Diskrete und stetige Verteilungen in der Wahrscheinlichkeitsrechnung
- In diesem 60-minütigen Gratis-Webinar gehen wir darauf ein, welche diskreten und stetigen Verteilungen Sie in der Prüfung beherrschen müssen.
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Stetige Gleichverteilung

Definition

Merke

Eine Zufallsvariable, deren Dichtefunktion f

f(x) =$\left\{\genfrac{}{}{0pt}{0}{\frac 1{b\;-\;a},\ \ \mathit{f\text{ü}r}a\;\le \;x\;\le \;b}{0,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathit{sonst}}\right.$

lautet, heißt stetig gleichverteilt (= rechteckverteilt) im Intervall [a;b].

Bildlich erhält man

Abb. 6.4: Dichtefunktion der stetigen Gleichverteilung
Abb. 6.4: Dichtefunktion der stetigen Gleichverteilung

als Dichtefunktion einer Rechteckverteilung.

Eine stetige Gleichverteilung (= Rechteckverteilung) hat dann folgende Verteilungsfunktion:

F(x) =$\left\{\begin{matrix}0,\ \ \ \ x\;<\;a\\\frac{x\;-\;a}{b\;-\;a},\ \ \ \ a\;\le \;x\;\le \;b\\1,\ \ \ \ x\;>\;b\end{matrix}\right.$

und sieht folgendermaßen aus:

Abb. 6.5: Verteilungsfunktion der stetigen Gleichverteilung
Abb. 6.5: Verteilungsfunktion der stetigen Gleichverteilung

Zum Verständnis das nachfolgende  

Beispiel

Beispiel

Die Wartezeit an einer Bushaltestelle beträgt maximal 15 Minuten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig eintreffender Fahrgast mehr als x Minuten warten muss?

Am besten verfährt man, wenn man sich die Funktion aufmalt: wenn X die verbleibende Wartezeit bezeichnet, ist mit a = 0 und b = 15 die Fläche zwischen 5 und 15 zu kalkulieren (s. Abb. 6.6):

Abb. 6.6: Verständnis einer Wahrscheinlichkeit als Fläche
Abb. 6.6: Verständnis einer Wahrscheinlichkeit als Fläche
  • über die Dichtefunktion (man berechnet die Fläche unterhalb der Dichtefunktion in den Grenzen von 5 bis 15).

Auszurechnen ist hier die schraffierte Fläche. Sie ergibt sich durch

P(X ≥ 5) = $\int _5^{\infty }\;\frac 1{15\;-\;0}$·dx =  $\int _5^{15}\;\frac 1{15}$·dx =  $\frac 1{15}\;\cdot \;x\left|\;_5^{15}\right.$ =  $\frac 1{15}$·15 -  $\frac 1{15}$·5 =  $\frac 2 3$ .

  • über die Verteilungsfunktion (man dreht das „Größer-Gleich-Zeichen“ in „Kleiner-Gleich“ um, so dass man die Verteilungsfunktion anwenden darf und setzt dann dort ein).

    P(X ≥ 5) = 1 – P(X < 5) = 1 – F(5) = 1 - $\frac{5\;-\;0}{15\;-\;0}$ =  $\frac 2 3$.

Multiple-Choice

Die Dichtefunktion einer stetigen Gleichverteilung zwischen den Werten a und b ...

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Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

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Autor: Daniel Lambert

Dieses Dokument Stetige Verteilungen ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Dipl.-Math. Dipl.-Kfm. Daniel Lambert gibt seit vielen Jahren Kurse zur Prüfungsvorbereitung. Er unterrichtet stets orientiert an alten Prüfungen und weiß aus langjähriger Erfahrung, wie sich komplexe Sachverhalte am besten aufbereiten und vermitteln lassen. Daniel Lambert ist Repetitor aus Leidenschaft seit nunmehr 20 Jahren.
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    "Weiter so!! viele Grüße aus Nürnberg"

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    Ein Kursnutzer am 08.06.2015:
    "Ich finde, dass Herrn Lambert eine große Gabe hat, schwierige Sachverhalte einfach und strukturiert wiederzugeben. Man gewinnt außerdem den Eindruck, dass er Spaß an der Erklärung hat und an wichtiger Stelle die Fokussierung mit Witz und Präzision in der Wortwahl den Stoff einleuchtend vermittelt. Ich würde mal sagen, das war ein ganz schön dickes LOB! :-) Danke! "

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