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Wahrscheinlichkeitsrechnung - Stetige Verteilungen

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Wahrscheinlichkeitsrechnung

Stetige Verteilungen

Inhaltsverzeichnis

Stetige Gleichverteilung

Definition

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Eine Zufallsvariable, deren Dichtefunktion f

f(x) =$\left\{\genfrac{}{}{0pt}{0}{\frac 1{b\;-\;a},\ \ \mathit{f\text{ü}r}a\;\le \;x\;\le \;b}{0,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathit{sonst}}\right.$

lautet, heißt stetig gleichverteilt (= rechteckverteilt) im Intervall [a;b].

Bildlich erhält man

Abb. 6.4: Dichtefunktion der stetigen Gleichverteilung
Abb. 6.4: Dichtefunktion der stetigen Gleichverteilung

als Dichtefunktion einer Rechteckverteilung.

Eine stetige Gleichverteilung (= Rechteckverteilung) hat dann folgende Verteilungsfunktion:

F(x) =$\left\{\begin{matrix}0,\ \ \ \ x\;\;b\end{matrix}\right.$

und sieht folgendermaßen aus:

Abb. 6.5: Verteilungsfunktion der stetigen Gleichverteilung
Abb. 6.5: Verteilungsfunktion der stetigen Gleichverteilung

Zum Verständnis das nachfolgende  

Beispiel

Beispiel

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Die Wartezeit an einer Bushaltestelle beträgt maximal 15 Minuten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig eintreffender Fahrgast mehr als x Minuten warten muss?

Am besten verfährt man, wenn man sich die Funktion aufmalt: wenn X die verbleibende Wartezeit bezeichnet, ist mit a = 0 und b = 15 die Fläche zwischen 5 und 15 zu kalkulieren (s. Abb. 6.6):

Abb. 6.6: Verständnis einer Wahrscheinlichkeit als Fläche
Abb. 6.6: Verständnis einer Wahrscheinlichkeit als Fläche
  • über die Dichtefunktion (man berechnet die Fläche unterhalb der Dichtefunktion in den Grenzen von 5 bis 15).

Auszurechnen ist hier die schraffierte Fläche. Sie ergibt sich durch

P(X ≥ 5) = $\int _5^{\infty }\;\frac 1{15\;-\;0}$·dx =  $\int _5^{15}\;\frac 1{15}$·dx =  $\frac 1{15}\;\cdot \;x\left|\;_5^{15}\right.$ =  $\frac 1{15}$·15 -  $\frac 1{15}$·5 =  $\frac 2 3$ .

  • über die Verteilungsfunktion (man dreht das „Größer-Gleich-Zeichen“ in „Kleiner-Gleich“ um, so dass man die Verteilungsfunktion anwenden darf und setzt dann dort ein).

    P(X ≥ 5) = 1 – P(X < 5) = 1 – F(5) = 1 - $\frac{5\;-\;0}{15\;-\;0}$ =  $\frac 2 3$.