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Stetige Gleichverteilung
Merke
Eine Zufallsvariable, deren Dichtefunktion f
f(x) =$\left\{\genfrac{}{}{0pt}{0}{\frac 1{b\;-\;a},\ \ \mathit{f\text{ü}r}\text{ }a\;\le \;x\;\le \;b}{0,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathit{sonst}}\right.$
lautet, ist als stetig gleichverteilt (= rechteckverteilt) im Intervall [a;b] definiert.
Graphisch stellt sich die Dichtefunktion einer Rechteckverteilung so dar:
Eine stetige Gleichverteilung (= Rechteckverteilung) hat dann folgende Verteilungsfunktion:
Merke
F(x) =$\left\{\begin{matrix}0,\ \ \ \ x\;\;b\end{matrix}\right.$
Graphisch stellt sich die Verteilungsfunktion der Rechteckverteilung so dar:
Um das Ganze besser nachvollziehen zu können, machen wir folgendes Beispiel:
-
In der Musterstadt muss man max. 12 Min. auf ein Taxi warten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein beliebig ankommender Fahrgast länger als x Minuten warten muss?
Zunächt sollte man sich die Funktion skizzieren. Dabei ist X die verbleibende Wartezeit und die Fläche hat die Grenzen a=0, wenn ein Taxi gerade sowieso anwesend ist und b=12 der Fahrgast die maximale Wartezeit von 12 Min. warten muss.
Mit der Dichtefunktion kann man bspw. die Fläche unterhalb der Dichtefunktion in den Grenzen von 4 bis 12 bestimmen. Also die Frage beantworten, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass man zwischen 4 bis 12 Min. warten muss. Berechnet wird hier also die makierte Fläche, für die sich dann ergibt:
P(X ≥ 4) = $\int _4^{\infty }\;\frac 1{12\;-\;0}$·dx = $\int _4^{12}\;\frac 1{12}$·dx = $\frac 1{12}\;\cdot \;x\left|\;_4^{12}\right.$ = $\frac 1{12}$·12 - $\frac 1{12}$·4 = $\frac 2 3$ .
Mit der Verteilungsfunktion ist dies wbenfalls möglich. Es ist aber daruf zu achten, dass das „Größer-Gleich-Zeichen“ in „Kleiner-Gleich“ umudrehen ist, damit man die Verteilungsfunktion anwenden kann.
P(X ≥ 4) = 1 – P(X < 4) = 1 – F(4) = 1 - $\frac{4\;-\;0}{12\;-\;0}$ = $\frac 2 3$.
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