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Wahrscheinlichkeitsrechnung - Lageparameter

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Lageparameter

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Verteilungsparamter

Die Termini Modus, Median und arithmetisches Mittel sind in der beschreibenden Statistik für eindimensionale Häufigkeitsverteilungen bekannt. Bei zweidimensionalen Häufigkeitsverteilungen kennen wir den Korrelationskoeffizient.

Analog werden wir Verteilungsparameter für Zufallsvariablen kennenlernen und zwar Lageparameter und Streuungsparameter

Gegeben sei ersteinmal eine eindimensionale Zufallsvariable.

Ist diese diskret, sei sie erklärt für x1, x2, x3, ... vielleicht endlich viele Zahlen (es gibt dann ein letztes Glied, hier xn), eventuell aber auch abzählbar unendlich viele.
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion f hat dann abzählbar unendlich viele Werte f(x1), f(x2), f(x3),...

Ist die Zufallsvariable jedoch stetig, so sei die Verteilung die Dichtefunktion f mit den Werten f(x).

Lageparameter

Die Verteilung ist von verschiedenen Zahlen gekennzeichnet, bzw. ist "um diese Zahlen verteilt". Damit sind in diesem Kapitel die Termini Modus, Median, α-Fraktil und Erwartungswert gemeint:

Modus

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Unter einem Modus oder dem Wert xmod einer Zufallsvariablen versteht man den Maximalwert einer Wahrscheinlichkeits- bzw. Dichtefunktion f. Dort ist f(x) am größsten.

Beispiel

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Beispiel 1:

Gegeben sei die (stetige) Zufallsvariable X mit

f(x) = $\begin{Bmatrix}
 0, &  x x, & 0≤x≤1\\
 2-x, & 1≤x≤2\\
 0, & 0,x≥2
\end{Bmatrix}$

Bestimme den Modus xmod.

Modus ist die Zahl xmod = 1, denn die Dichtefunktion f hat hier ein absolutes Maximum.

Beispiel

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Beispiel 2:

Wirft man einen fairen Würfel einmal mit x1 = 1, x2 = 2, ..., x6 = 6, so hat die Wahrscheinlichkeitsfunktion f überall den Wert $ {1 \over {6}}$: f(x1) = f(x2) = ... = f(x6) = $ {1 \over {6}}$.

Der Modus lässt sich hier nicht genau bestimmen, da alle Zahlen Modus sind.

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Für gewöhnlich ist der Modus zwar existent, lässt sich aber nicht eindeutig bestimmen und ist deshalb als Längenparameter kaum von Nutzten.

Median

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Der Median xmed einer Zufallsvariablen ist definiert durch die zwei Bedingungen:

  • P(X ≥ xmed) ≥ 0,5
  • P(X ≤ xmed) ≥ 0,5

Die Zufallsvariable X  nimmt mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,5 Werte an, die wenigstens so groß sind wie der  Median. Umgekehrt ist die Zufallsvariable X maximal gleich dem Median.

Beispiel

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Bestimme den Median beim einfachen Würfelwurf.  

Wirft man einen fairen Würfel einmal, ist der Median xmed = 3, weil die Wahrscheinlichkeit, mindestens die 3 zu werfen, ist P(X ≥ 3) ≥ P(X = 3) + P(X = 4) + ... + P(X = 6) = $ {1 \over {6}}$ + $ {1 \over {6}}$ + … + $ {1 \over {6}}$ = $ {4 \over {6}}$ = $ {2 \over {3}}$ und somit  ≤ $ {1 \over {2}}$.

Dafür maximal eine 3 zu würfeln, ist  die Wahsrcheinlichkeit P(X ≤ 3) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = $ {1 \over {6}}$ + $ {1 \over {6}}$ + $ {1 \over {6}}$ = $ {1 \over {2}}$, und somit ebenfalls größer gleich $ {1 \over {2}}$

Es ist ausreichend, wenn eine der zwei Aussagen richtig ist.

Der Median ist also im Vergleich zu Modus immer gesichert.

Unsicher ist (wie Modus auch) die Eindeutigkeit. Für unser Beispiel des einmaligen Würfelwurfs wäre geanuso 3,7 der Median, weil P(X ≥ 3,7) = P(X = 4) + ... + P(X = 6) = 3·{1 \over {6}}$ = $ {1 \over {2}}$ und P(X ≤ 3,7) = P(X = 1) + ... + P(X = 3) = 3·{1 \over {6}}$ = $ {1 \over {2}}$.

So können wir festhalten , dass man jede Zahl xmed, die die Bedingungen erfüllt, als Median bezeichnet. Autoren einiger Fachbücher definieren nur die kleiste Zahl x, welche die Bedingungen erfüllt als Median. Für unser Beispiel wäre das dann nur die Zahl 3.

Der Median lässt sich auch durch die Verteilungsfunktion F rafisch darstellen. Für unser Beispiel sieht es dann so aus:

Abb. 5.6: Ermittlung des Medians mithilfe der Verteilungsfunktion
Abb. 5.6: Ermittlung des Medians mithilfe der Verteilungsfunktion

Denkt man sich von der y-Achse aus bei 0,5 eine Linie bis zur Stelle, an der man das erste Mal auf den Graphen trifft und zieht dann eine Senkrechte zur x-Achse, so trifft man den Median.

Jedoch kann man mit dieser Methode auch auf das Problem stoßen,wie in diesem Diagramm, die zu der Zufallsvariablen X mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion f passt:

 

Abb. 5.7: Probleme bei der graphischen Ermittlung des Medians
Abb. 5.7: Probleme bei der graphischen Ermittlung des Medians

Es gibt hier also keine Punkte, bei denen eine der beiden Bedingungen aus der Definition des Medians als Gleichheit gegeben ist. Hingegen fällt ins Auge, dass x = 2 sich als Median anbietet:

P(X ≥ 2) = P(X = 2) + ... P(X = 4) = $ {1 \over {2}}$ + $ {1 \over {8}}$ + $ {1 \over {8}}$ =$ {6 \over {8}}$ = $ {3 \over {4}}$

und

P(X ≤ 2) = P(X = 1) + P(X = 2) = $ {1 \over {4}}$ + $ {1 \over {2}}$ = $ {3 \over {4}}$

 

Beide Male ist der Wert x größer als $ {1 \over {2}}$ und erfüllt daher keine der zwei Bedinungen für den Median. Es sei auch darauf hingewiesen, dass x= 2,5 keines Falls eine korrekte Alternative wäre:

P(X ≥ 2,5) = P(X = 3) + P(X = 4) = $ {1 \over {8}}$ + $ {1 \over {8}}$ = $ {1 \over {4}}$ und dies ist kleiner als $ {1 \over {2}}$.

Für den Fall einer diskreten Zufallsvariable, wo die gedachte Linie „durchrutscht“, ist der Median sogar eindeutig festgelegt.

Fraktil

Weil der Terminus des α -Fraktils für den stetigen Fall einfacher zu verstehen ist, als  für den Diskreten, lernen wir ersteren zuerst kennen:

stetige Zufallsvariablen

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Unter einem α - Fraktil (auch α - Quantil oder α - Punkt) einer stetigen Zufallsvariablen versteht man die Zahl xα mit F(xα) = P(X ≤ xα) = α.

Das eine Zufallsvariable X höchstens den Wert Xα hat genau die Wahrscheinlichkeit α.

Beispiel

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 Die Dichtefunktion f einer Zufallsvariablen X sei, wie o.e.,

f(x) = $\begin{Bmatrix}
 0, &  x x, & 0≤x≤1\\
 2-x, & 1≤x≤2\\
 0, & 0,x≥2
\end{Bmatrix}$

  1. Zeichne die Dichtefunktion.
  2. Berechne das 0,3 und das 0,7-Fraktil.
  3. Zeichne die beiden.  
  1. Der Graph sieht folgendermaßen aus:
    Abb. 5.8: Dichtefunktion einer Dreiecksverteilung
    Abb. 5.8: Dichtefunktion einer Dreiecksverteilung


  2. Das 0,3-Fraktil x0,3 ist x0,3 = 0,7746. Das Fraktil lässt sich aber auch durch die Dichte erkennen: das gesuchte Fraktil ist da zu finden, wo die Fläche unter der Dichtefunktion auf den Wert 0,3 stößt (30% der Fläche unterhalb des Graphen).

 Analog ist es hier für das 0,7 Fraktil dargestellt:

Abb. 5.10: Ermittlung des 0,7-Fraktils
Abb. 5.10: Ermittlung des 0,7-Fraktils

Da man ein Integral lösen muss die die Rechnung relativ umfangreich. Man fragt sich, welchen Wert x0,7 haben muss, damit exakt ein Anteil von 0,7 der Fläche unterhalb der Dichtefunktion erreicht ist. Die halbe Fläche liegt hier bei 1, da dort der Median liegt. Aus bleiben daher noch 0,2 zwischen 1 und dem gesuchten Wert für x0,7 .

Gerechnet wird:

$\int _1^{x_{\alpha }}\;(2 – x)dx = \int _1^{x_{\alpha }}\; 2dx - \int _1^{x_{\alpha }}\; xdx = 2·x \left|\genfrac{}{}{0pt}{0}{\;^{x_{\alpha }}}{\;_1}\right. - \frac 1 2$·$x^2 \left|\genfrac{}{}{0pt}{0}{\;^{x_{\alpha }}}{\;_1}\right.$
$= 2 x_{\alpha } - 1 - \frac 1 2 x_{\alpha }^2 + \frac 1 2$·$1^2= - \frac 1 2 x_{\alpha }^2 + 2x_{\alpha } - 1,5 = 0,2$.

Dies führt auf die Gleichung $x_α^2 - 4x_α + 3,4 = 0$.

Die Lösung hierzu lässt sich mit der p-q-Formel berechnen:

$\Rightarrow$ $x_{1/2} = -\frac{p}{2}\pm \sqrt{({p\over{2}})^2-q}$

$x_{1/2} = -\frac{-4}{2}\pm \sqrt{\frac{(-4)^2}{4}-3,4} $

$x_{1/2} = 2 \pm \sqrt{4-3,4} $

$x_{1/2} = 2 \pm \sqrt{0,6} $

$x_{1/2} = 2 \pm 0,7746$

$x_1 = 2,7746$
$x_2 = 1,2254 $

Die korrekte Lösung muss xmed = 1,2254 sein, da das Ergebnis x1 außerhalb des Definitionsbereiches der Dichtefunktion f liegt.

diskrete Zufallsvariablen

Für diskrete Zufallsvariablen ist die Definition des α - Fraktils ein wenig komplizierter:

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$x_α = \begin{Bmatrix}
 x_{n\cdot α + 1}, &  n \cdot α \in Z\\
 {1\over{2}}\cdot(x_{[n\cdot α]} + x_{n\cdot α + 1},  &  n \cdot α \in Z
\end{Bmatrix}$

Es bezeichnet [c] die untere Gaußklammer der Zahl c. Diese ist durch Abschneiden der Nachkommastellen zu bekommen. Z.B.: [3,7] = 3, [1,39] = 1, [0,8] = 0 und [4] = 4. ACHTUNG: [5,] = 6, weil 5, schon gleich 6 ist.

 

Insgesamt kann man sich (sowohl für diskrete als auch stetige Fälle) merken:

Merke

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Ein α-Fraktil zeigt den Teil einer Verteilung an, an dem α% erreicht oder soeben überschritten sind.

Beispiel

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Beim einmaligen Werfen eines Würfels ist das 0,3-Fraktil x0,3 gesucht. Dabei ist n = 6, also die gesuchte Zahl nicht ganzzahlig. Demnach ist das 0,3-Fraktil x0,3 = 2. Laut unserem Merksatz ist an der Stelle also 30% der Verteilung erreicht bzw. gerade überswchritten.
Dies lässt sich für diesess einfache Beispiel auch gut nachvollziehen. Bei 2 sind also die Zahlen 1 und 2 gemeint, ergo ${2\over6}$= 33,3% der Verteilung. Damit sind die gesuchten 30% gerde überschritten.

Erwartungswert

Der wichtigste Lageparameter ist der Erwartungswert E(X) und wird sehr oft auch mit dem Buchstaben μ bezeichnet.

Wenn wir bei einem Zufallsexperiment auch nicht vorhersagen können, welches Ergebnis wir erhalten, so können wir trotzdem berechenen, welches Ergebnis wir erwarten können.

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Der Erwartungswert E(X) einer diskreten Zufallsvariable X ist definiert als die Zahl

$\sum_{i=1}^{\infty}$ $x_i$·$f(x_i)$

Wie immer ist dabei die Wahrscheinlichkeit f(xi) = P(X = xi), dass die Zufallsvariable X den Wert xi annimmt. Ist unsere Zufallsvariable X endlich (hat als bspw. n Werte), kann man den Erwartungswert einfach so berechnen:

E(X) = $\sum_{i=1}^{\infty}$ $x_i$·$f(x_i)$

 

Beispiel

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Die Wahrscheinlichkeitsfunktion unseres häufig genommenen Beispiels lautet:

Somit berechnet sich der Erwartungswert:

E(X) = 1·f(1) + 2·f(2) + ... + 6·f(6) = 1·${1\over6}$ + 2·${1\over6}$ + 3·${1\over6}$ + 4·${1\over6}$ + 5·${1\over6}$ + 6·${1\over6}$ = 3,5.

E(X) muss dabei keine Zahl sein, die die Zufallsvariable X auch wirklich annehmen kann. Anhand unseres Beispiels kann man sehen, dass 3,5 nie gewürfelt wird. Diese Zahl stellt vielmehr die im Durchnitt zu erwartende gewürfelte Augenzahl dar. Mann kann den Erwartungswert E(X) also als einen Schwerpunkt der Verteilung verstehen.

 

Für eine stetige Zufallsvariable X berechnet man den Erwartungswert E(X) als Integral der zugehörigen Dichtefunktion f:

Merke

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$E(X) $= $\int _{-\infty }^{+\infty }x$·$f(x)dx$.

 

Beispiel

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Gegeben sei eine Dichtefunktion f(x) = $\left\{\genfrac{}{}{0pt}{0}{1/10\ \ \ x\;\in \;[5;15]}{0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathit{sonst.}}\right.$

Berechne den Erwartungswert.

Vertiefung

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Lösung:

$E(X) = \int _{-\infty }^{+\infty }x$·$f(x)dx$ =  $\int _5^{15}x$·${1 \over 10} dx $=  $\frac 1{20} x^2$ $\left|\genfrac{}{}{0pt}{0}{\;^{15}}{\;_5}\right.$
=  $\frac 1{20}·15^2$ -  $\frac 1{20}·5^2 = 10$

 

Im Kapitel "stetige Gleichverteilung" werden wir die oben genannte Verteilung zwischen 5 und 15 als solche kennenlernen.

Video: Lageparameter

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