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Wahrscheinlichkeitsrechnung - Lageparameter

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Lageparameter

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Verteilungsparamter

In der deskriptiven Statistik sind bereits die Begriffe Modus, Median und arithmetisches Mittel für eindimensionale Häufigkeitsverteilungen bekannt. Der Korrelationskoeffizient war für zweidimensionale Häufigkeitsverteilungen eingeführt worden. Wir werden nun ganz analog Verteilungsparameter für Zufallsvariablen einführen, und zwar

Diese Parameter werden jetzt ganz analog für Zufallsvariablen erklärt. Gegeben seien hierfür zunächst eine eindimensionale Zufallsvariable.

  • Wenn diese diskret ist, sei sie erklärt für x1, x2, x3, ...

    • möglicherweise endlich viele Zahlen (es gibt dann ein letztes Glied, hier xn genannt),

    • möglicherweise aber auch abzählbar unendlich viele. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion f hat dann abzählbar unendlich viele Werte f(x1), f(x2), f(x3),...

  • Ist sie hingegen stetig, so habe die Verteilung die Dichtefunktion f mit den Werten f(x).

Lageparameter

Verschiedene Zahlen kennzeichnen die Verteilung, genauer gesagt, die Verteilung liegt „um diese Zahlen herum“. Wir sprechen in diesem Kapitel von den Begriffen

  • Modus

  • Median

  • α-Fraktil

  • Erwartungswert

Modus

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Man spricht von einem (oder dem ) Modus als dem Wert xmod einer Zufallsvariablen, bei dem die Wahrscheinlichkeits- oder Dichtefunktion f den höchsten Wert hat, an dem f(x) also maximal ist.

Beispiel

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Beispiel 1:

 Gegeben sei die (stetige) Zufallsvariable X mit

f(x) = $\begin{Bmatrix}
 0, &  x x, & 0≤x≤1\\
 2-x, & 1≤x≤2\\
 0, & 0,x≥2
\end{Bmatrix}$

Bestimme den Modus xmod.

Modus ist die Zahl xmod = 1, denn die Dichtefunktion f hat hier ein absolutes Maximum.

Beispiel

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Beispiel 2:

Beim einfachen Würfelwurf mit x1 = 1, x2 = 2, ..., x6 = 6 hat die Wahrscheinlichkeitsfunktion f überall den Wert 1/6: f(x1) = f(x2) = ... = f(x6) = 1/6. Der Modus ist hier nicht eindeutig bestimmt, jede der Zahlen 1 bis 6 ist Modus.

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Der Modus existiert zwar in der Regel, muss aber nicht eindeutig bestimmt sein, wie im Beispiel des einfachen Würfelwurfes zu sehen war. Er ist dann als Lageparameter wenig nützlich.

Median

Der Median xmed einer Zufallsvariablen ist durch die beiden Bedingungen P(X ≥ xmed) ≥ 0,5 und P(X ≤ xmed) ≥ 0,5 definiert.

Mit mindestens 50 % Wahrscheinlichkeit nimmt die Zufallsvariable X also Werte an, die mindestens so groß sind wie der Median. Ebenfalls mit 50 % Wahrscheinlichkeit ist X höchstens gleich dem Median.

Beispiel

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Bestimme den Median beim einfachen Würfelwurf.  

Beim einfachen Würfelwurf ist der Median xmed = 3, denn die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens die 3 gewürfelt wird, ist P(X ≥ 3) ≥ P(X = 3) + P(X = 4) + ... + P(X = 6) = 1/6 + 1/6 + … + 1/6 = 4/6 = 2/3 und damit größer oder gleich 0,5. Die Wahrscheinlichkeit, höchstens eine 3 zu würfeln, ist P(X ≤ 3) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = ½, also auch größer oder gleich 0,5 (die Gleichheit ist in der Aussage „größer oder gleich“ explizit eingeschlossen – es reicht, dass eine der beiden Aussagen richtig ist).

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 Im Gegensatz zum Modus ist die Existenz des Medians immer gesichert.

Nicht gesichert hingegen (genau wie beim Modus) ist die Eindeutigkeit. So ist im Fall des einfachen Würfelwurfes auch die Zahl 3,5 Median, denn

  • P(X ≥ 3,5) = P(X = 4) + ... + P(X = 6) = 3·(1/6) = 0,5 und

  • P(X ≤ 3,5) = P(X = 1) + ... + P(X = 3) = 3·(1/6) = 0,5.

Wir definieren also jede Zahl xmed als Median, die die o.e. beiden Bedingungen erfüllt. Manche Autoren sprechen in diesem Fall dann lediglich von der kleinsten Zahl x, die die beiden Bedingungen erfüllt, als Median. So wäre im Fall des einfachen Würfelwurfes lediglich die Zahl 3 Median.

Man kann den Median auch – genau wie in der deskriptiven Statistik – verstehen mit Hilfe der Verteilungsfunktion F. Im Beispiel des einfachen Würfelwurfes zeigt sie dann das folgende Bild:

Abb. 5.6: Ermittlung des Medians mithilfe der Verteilungsfunktion
Abb. 5.6: Ermittlung des Medians mithilfe der Verteilungsfunktion

Wir ziehen auf der Höhe von 0,5 eine gestrichelte Linie. Da, wo diese Linie zum erstenmal auf die Verteilungsfunktion F trifft, „tropft“ man nach unten.

Was passiert in der graphischen Methode, wenn die gestrichelte Linie „durchrutscht“ wie z.B. im folgenden Diagramm, die zu der Zufallsvariablen X mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion f passt:

x

f(x)

1

1/4

2

1/2

3

1/8

4

1/8

Abb. 5.7: Probleme bei der graphischen Ermittlung des Medians
Abb. 5.7: Probleme bei der graphischen Ermittlung des Medians

Es gibt hier also keine Punkte, bei denen eine der beiden Bedingungen aus der Definition des Medians als Gleichheit gegeben ist. Hingegen fällt ins Auge, dass x = 2 sich als Median anbietet:

  • P(X ≥ 2) = P(X = 2) + ... P(X = 4) = ½ + 1/8 + 1/8 = 6/8 = 0,75 und

  • P(X ≤ 2) = P(X = 1) + P(X = 2) = ¼ + ½ = 0,75,

also in beiden Fällen größer oder gleich 0,5 und damit erfüllt die Zahl die Bedingungen an einen Median. Man beachte, dass es hier nicht richtig wäre, z.B. die Zahl x = 2,5 als Alternative zu nehmen:

P(X ≥ 2,5) = P(X = 3) + P(X = 4) = 1/8 + 1/8 = 0,25

und dies ist kleiner als 0,5. Im Fall einer diskreten Zufallsvariable, wo die gestrichelte Linie „durchrutscht“, ist der Median sogar eindeutig definiert.

Fraktil

Der Begriff des α -Fraktils ist im diskreten Fall schwerer als im stetigen, deshalb sei zunächst letzterer behandelt:

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 Ein α - Fraktil (α - Quantile, α - Punkte) einer stetigen Zufallsvariablen ist die Zahl xα mit F(xα) = P(X ≤ xα) = α.

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X höchstens den Wert xαannimmt, ist also genau gleich α.

Beispiel

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 Die Dichtefunktion f einer Zufallsvariablen X sei, wie oben erwähnt,

f(x) = $\begin{Bmatrix}
 0, &  x x, & 0≤x≤1\\
 2-x, & 1≤x≤2\\
 0, & 0,x≥2
\end{Bmatrix}$

a) Zeichne die Dichtefunktion.

b) Berechne das 0,3 und das 0,7-Fraktil.

c) Zeichne die beiden.  

a) Die zugehörige Graphik ist

Abb. 5.8: Dichtefunktion einer Dreiecksverteilung
Abb. 5.8: Dichtefunktion einer Dreiecksverteilung

b) Das 0,3-Fraktil x0,3 ist offenbar x0,3 = 0,3. Man sieht das Fraktil aber auch anhand der Dichte: dort, wo die Fläche unterhalb der Dichtefunktion den gewünschten Wert erreicht (hier 0,3), liegt das gewünschte Fraktil.

Abb. 5.9: Ermittlung des 0.3-Fraktils
Abb. 5.9: Ermittlung des 0.3-Fraktils
Abb. 5.10: Ermittlung des 0,7-Fraktils
Abb. 5.10: Ermittlung des 0,7-Fraktils
  • Die Berechnung ist hier recht aufwendig, da ein Integral zu lösen ist. Man stellt sich die Frage, bis zu welchem Wert x0,7 die Fläche unterhalb der Dichtefunktion genau 0,7 ist. Die Fläche bis 1 ist 0,5, da hier der Median liegt. Es fehlen also noch 0,2, die zwischen 1 und dem (zu suchenden) x0,7-Wert liegen. Also rechnet man

    $\int _1^{x_{\alpha }}\;$(2 – x)dx = $\int _1^{x_{\alpha }}\;$ 2dx - $\int _1^{x_{\alpha }}\;$ xdx = 2·x $\left|\genfrac{}{}{0pt}{0}{\;^{x_{\alpha }}}{\;_1}\right.$ - $\frac 1 2$·$x^2$ $\left|\genfrac{}{}{0pt}{0}{\;^{x_{\alpha }}}{\;_1}\right.$

    = $2_x^\alpha $ – 1 - $\frac 1 2$ $x_{\alpha }^2$ + $\frac 1 2$·$1^2$ = - $\frac 1 2$ $x_{\alpha }^2$ + $2_x^\alpha $ – 1,5 = 0,2.

Dies führt auf die Gleichung$x_α^2$- 4xα + 3,4 = 0. Die Lösung hierzu lässt sich mit der p-q-Formel berechnen:

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x + px + q = 0 $\Rightarrow$ $x_{1/2} = -\frac{p}{2}\pm \sqrt{({p\over{2}})^2-q}$       pq-Formel

Also konkret:

$x_{1/2} = -\frac{-4}{2}\pm \sqrt{\frac{(-4)^2}{4}-3,4} = 2 \pm \sqrt{4-3,4} = 2 \pm \sqrt{0,6} = 2 \pm 0,7746$

d.h. die Lösung ist xmed = 1,2254. Das andere Ergebnis, nämlich 2,736022, liegt außerhalb des Bereiches, auf dem die Dichtefunktion f definiert ist.

Für diskrete Zufallsvariablen ist die Definition des α - Fraktils ein wenig komplizierter:

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$x_α = \begin{Bmatrix}
 x_{n\cdot α + 1}, &  n \cdot α \in Z\\
 {1\over{2}}\cdot(x_[n\cdot α] + x_{n\cdot α + 1},  &  n \cdot α \in Z
\end{Bmatrix}$

Es bezeichnet [c] die untere Gaußklammer der Zahl c. Diese erhält man durch Abschneiden der Nachkommastellen. Also [3,7] = 3, [1,39] = 1, [0,8] = 0 sowie [4] = 4. Vorsicht: [5,] = 6, weil 5, bereits gleich 6 ist.

Wir halten insgesamt (für den stetigen und diskreten Fall) fest:  

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 Das α - Fraktil gibt jene Stelle einer Verteilung an, an der α % der Werte erreicht oder gerade eben überschritten sind.

Beispiel

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Im einfachen Würfelwurf ist das 0,3 - Fraktil x0,3 gefragt. Es ist n = 6, also diese Zahl ist nicht ganzzahlig. Also, das 0,3-Fraktil ist damit x0,3 = 2. Dies bedeutet, dass an dieser Stelle 30 % der Verteilung erreicht oder gerade überschritten sind (dies ist richtig, denn bei 2 sind die Zahlen 1 und 2, also 2/6 = 33,3 % der Verteilung erreicht. Die gefragten 30% der Verteilung sind also gerade eben überschritten).

Erwartungswert

Der weitaus wichtigste Lageparameter ist der Erwartungswert, der häufig mit dem griechischen Buchstaben μ bezeichnet wird.

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 Unter einem Erwartungswert E(X) einer diskreten Zufallsvariablen X versteht man die Zahl $\sum_{i=1}^{\infty}$ xi·f(xi). 

Es bezeichnet wie immer f(xi) = P(X = xi) die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X den Wert xi annimmt. f(xi) ist also der Wert der Wahrscheinlichkeitsfunktion an der Stelle xi. Sollte die Zufallsvariable lediglich endlich viele Werte annehmen (z.B. n Werte), dann berechnet man den Erwartungswert einfach als

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E(X) = $\sum_{i=1}^{\infty}$ xi·f(xi).   Erwartungswert bei einer Zufallsvariablen mit endlich vielen Werten, nämlich n Stück.

Beispiel

Beispiel

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 Das bereits mehrfach erwähnte Beispiel des einfachen Würfelwurfs besitzt die Wahrscheinlichkeitsfunktion

Augenzahl i

1

2

3

4

5

6

Wahrscheinlichkeit f(i)

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

Damit ist der Erwartungswert

E(X) = 1·f(1) + 2·f(2) + ... + 6·f(6) = 3,5.

Man sieht hier, dass der E(X) keine Zahl sein muss, die von der Zufallsvariablen X auch wirklich angenommen wird. Sie ist vielmehr der Schwerpunkt der Verteilung.

Merke

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Es kann sein, dass der Erwartungswert nicht existiert. Wenn die o.e. Summe nicht konvergiert, liegt dieser Fall vor.

Für eine stetige Zufallsvariable X berechnet man den Erwartungswert E(X) als Integral der zugehörigen Dichtefunktion f:

E(X) = $\int _{-\infty }^{+\infty }x$·f(x)dx.

Beispiel

Beispiel

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Gegeben sei eine Dichtefunktion f(x) = $\left\{\genfrac{}{}{0pt}{0}{1/10\ \ \ x\;\in \;[5;15]}{0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathit{sonst.}}\right.$
Berechne den Erwartungswert.

Der Erwartungswert ist dann

E(X) = $\int _{-\infty }^{+\infty }x$·f(x)dx =  $\int _5^{15}x$·1/10dx =  $\frac 1{20} x^2$ $\left|\genfrac{}{}{0pt}{0}{\;^{15}}{\;_5}\right.$ =  $\frac 1{20}·15^2$ -  $\frac 1{20}·5^2$ = 10.

LAMBERT-REGEL

Methode

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Wir werden später die o.e. Verteilung als stetige Gleichverteilung zwischen den Zahlen 5 und 15 kennenlernen, siehe Kapitel „Stetige Gleichverteilung“.

Video: Lageparameter

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