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Kursangebot | Wahrscheinlichkeitsrechnung | Exponentialverteilung

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Exponentialverteilung

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Definition

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Eine stetige Zufallsvariable X heißt exponentialverteilt zum Parameter λ mit λ > 0, wenn die Dichtefunktion

f(x) =$\left\{\genfrac{}{}{0pt}{0}{\lambda \;\cdot \;e^{\lambda \;\cdot \;x},\ \ \ x\;\ge \;0}{0,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathit{sonst}}\right.$

lautet.

Für λ = 2 hat die Dichtefunktion folgende Gestalt:

Abb. 6.12: Dichtefunktion der Exponentialverteilung
Abb. 6.12: Dichtefunktion der Exponentialverteilung

Verteilungsfunktion

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Die Verteilungsfunktion heißt:

F(x) = $\left\{\genfrac{}{}{0pt}{0}{0,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x\;$

Für λ = 2 hat die Verteilungsfunktion folgende Gestalt:

Abb. 6.13: Verteilungsfunktion einer Exponentialverteilung
Abb. 6.13: Verteilungsfunktion einer Exponentialverteilung

 

Die Exponentialverteilung wird auch Verteilung ohne Gedächtnis genannt, da gilt:

P(X > c + x | X ≥ c) = P(X > c).

Das heißt konkret: wenn z.B. die Lebensdauer eines Gerätes exponentialverteilt ist und bereits das Alter c erreicht hat (Hypothese, die hinten steht, vgl. das Kapitel „Bedingte Wahrscheinlichkeiten„ ab S. 36), dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Gerät noch x Jahre funktioniert, gleich der Wahrscheinlichkeit, dass es x Jahre funktioniert (ohne also bereits das Alter c erreicht zu haben). Die Exponentialverteilung merkt sich somit das bereits erreichte Alter c nicht.

Die Ausfallrate  kann definiert werden als:

$\frac{f(x)}{1\;-\;F(x)}$.

Wenn F(x) = P(X ≤ x) den Anteil der Geräte ist, die ein bestimmtes Alter nicht erreichen, so ist das Komplement [1- F(x)] der Teil, die wenigstens dieses Alter x erreichen. Der Zähler f(x) lässt sich interpretieren als Abnahme des Anteils der noch funktionierenden geräte im Alter x, der Nenner, als Anteil der noch funktionierenden geräte mit dem Alter x.

Die Ausfallrate kann man also mit

$\frac{f(x)}{1\;-\;F(x)}$ =  $\frac{\Lambda \;\cdot \;e^{-\Lambda \;\cdot \;x}}{e^{-\Lambda \;\cdot \;x}}$ = λ 

für x > 0,

berechnen. Sie ist immer gleich dem Parameter λ, der die Exponentialverteilung ausmacht.

Aufgabe (Richtig-Falsch-Fragen zur Exponentialverteilung):

Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche sind falsch?

  1. Die Exponentialverteilung kann man ebenso als Verteilung ohne Gedächtnis bezeichnet.
  2. Eine Verteilung ohne Gedächtnis besagt folgendes: an jeder Stelle x ist die Restlebensdauer genau so verteilt wie die Ausgangsvariable X (Lebensdauer eines neuen Gerätes).
  3. Der Modus einer exponentialverteilten Zufallsvariable ist null.
  4. Der Erwartungswert einer exponentialverteilten Zufallsvariablen zum Parameter λ ist gleich dieser Zahl λ.

Vertiefung

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Lösung a:

Richtig.

Vertiefung

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Lösung b:

Richtig.

Vertiefung

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Lösung c:

Richtig.

Vertiefung

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Lösung d:

Falsch, der Erwartungswert ist 1/λ.

Zusammenfassung

Man sollte sowohl den Erwartungswert als auch die Varianz (somit ebenfalls die Standardabweichung) der geläufigsten Verteilungen kennen, daher hier nochmal eine Übersicht:

Bitte Beschreibung eingeben
Tab 6.3 Zusammenfassung

 

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Wenn $ n \over {N} $ klein ist, kann die Varianz der hypergeometrischen Verteilung auch ohne Korrekturfaktor $\frac{N\;-\;n}{N\;-\;1}$ genutzt werden, sie wird dann näherungsweise durch n·$\frac M N\;\cdot \;\frac{N\;-\;M} N$ beschrieben.

Video zur Exponentialverteilung

Video: Exponentialverteilung