Kursangebot | Wahrscheinlichkeitsrechnung | Exponentialverteilung

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Exponentialverteilung

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Definition

Merke

Eine stetige Zufallsvariable, die die Dichtefunktion

f(x) =$\left\{\genfrac{}{}{0pt}{0}{\lambda \;\cdot \;e^{\lambda \;\cdot \;x},\ \ \ x\;\ge \;0}{0,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathit{sonst}}\right.$

besitzt ( > 0), heißt exponentialverteilt zum Parameter λ mit λ > 0.

Die Dichtefunktion sieht für λ = 2 so aus:

Abb. 6.12: Dichtefunktion der Exponentialverteilung
Abb. 6.12: Dichtefunktion der ExponentialVerteilung

Verteilungsfunktion

Merke

Die Verteilungsfunktion lautet F(x) = $\left\{\genfrac{}{}{0pt}{0}{0,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x\;<\;0}{1\;-\;e^{-\Lambda \;\cdot \;x},\ \ x\;\ge \;0}\right.$

und sieht für λ = 2 folgendermaßen aus:

Abb. 6.13: Verteilungsfunktion einer Exponentialverteilung
Abb. 6.13: Verteilungsfunktion einer Exponentialverteilung

Merke

Merke

  • Die Exponentialverteilung bezeichnet man auch als Verteilung ohne Gedächtnis, da gilt

    P(X > c + x | X ≥ c) = P(X > c).

    Das heißt konkret: wenn z.B. die Lebensdauer eines Bauteils exponentialverteilt ist und bereits das Alter c erreicht hat (Hypothese, die hinten steht, vgl. das Kapitel „Bedingte Wahrscheinlichkeiten„ ab S. 36), dann ist die Wahrscheinlichkeit, dann noch x Jahre zu leben, gleich der Wahrscheinlichkeit, dass man x Jahre lebt (ohne also bereits das Alter c erreicht zu haben). Die Exponentialverteilung merkt sich also das bereits erreichte Alter c nicht.

  • zum Begriff der Ausfallrate: diese lässt sich definieren als

    $\frac{f(x)}{1\;-\;F(x)}$.

    Wenn F(x) = P(X ≤ x) den Anteil derjenigen bezeichnet, die ein bestimmtes Alter nicht erreichen, dann gibt das Komplement, also 1- F(x) den Anteil derjenigen an, die mindestens das Alter x erreichen. Der Zähler f(x) lässt sich interpretieren als Abnahme des Anteils der noch funktionierenden Bauteile im Alter x, der Nenner, wie o.e., als Anteil der noch funktionierenden Teile im Alter x.

    Die Ausfallrate lässt sich damit berechnen als

    $\frac{f(x)}{1\;-\;F(x)}$ =  $\frac{\Lambda \;\cdot \;e^{-\Lambda \;\cdot \;x}}{e^{-\Lambda \;\cdot \;x}}$ = λ für x > 0, sie ist also stets gleich dem Parameter λ, der die Exponentialverteilung ausmacht.

Aufgabe (Richtig-Falsch-Fragen zur Exponentialverteilung):

Die folgenden Aussagen sind richtig oder falsch. Entscheide.

a) Die Exponentialverteilung wird auch als Verteilung ohne Gedächtnis bezeichnet.

b) Eine Verteilung ohne Gedächtnis besagt folgendes: an jeder Stelle x ist die Restlebensdauer genau so verteilt wie die Ausgangsvariable X (Lebensdauer eines neuen Gerätes).

c) Der Modus einer exponentialverteilten Zufallsvariable ist null.

d) Der Erwartungswert einer exponentialverteilten Zufallsvariablen zum Parameter λ ist gleich dieser Zahl λ.

Lösung:

a) Die Exponentialverteilung wird auch als Verteilung ohne Gedächtnis bezeichnet.

Richtig.

b) Eine Verteilung ohne Gedächtnis besagt folgendes: an jeder Stelle x ist die Restlebensdauer genau so verteilt wie die Ausgangsvariable X (Lebensdauer eines neuen Gerätes).

Richtig.

c) Der Modus einer exponentialverteilten Zufallsvariable ist null.

Richtig.

d) Der Erwartungswert einer exponentialverteilten Zufallsvariablen zum Parameter λ ist gleich dieser Zahl λ.

Falsch, der Erwartungswert ist 1/λ.

Zusammenfassung

Wichtig ist, dass man Erwartungswert und Varianz (und damit auch die Standardabweichung) der wichtigen Verteilungen kennt, deshalb hier nochmals zusammengestellt für die wichtigsten Verteilungen:

Verteilung

Erwartungswert

Varianz

Laplace-Verteilung

p

p∙(1 - p)

Binomialverteilung B(n,p)

n∙p

n∙p∙(1 - p)

hypergeometrische Verteilung H(N,M,n)

n∙$\frac M N$

n·$\frac M N\;\cdot \;\frac{N\;-\;M} N\;\cdot \;\frac{N\;-\;n}{N\;-\;1}$

Poissonverteilung

λ

λ

Stetige Gleichverteilung auf [a,b] mit a < b (= Rechteckverteilung

$\frac{a\;+\;b}{2}$ $\frac{(b\;-\;a)^2}{12}$

Exponentialverteilung exp(λ)

$\frac 1{\lambda }$ $\frac 1{\lambda ^2}$

Normalverteilung N(µ,σ2)

µ°

σ2

Merke

Merke

Wenn n/N klein ist, lässt sich die Varianz der hypergeometrischen Verteilung auch ohne Korrekturfaktor $\frac{N\;-\;n}{N\;-\;1}$ angeben, sie ist dann approximativ gegeben durch n·$\frac M N\;\cdot \;\frac{N\;-\;M} N$.

Video zur Exponentialverteilung

Video: Exponentialverteilung

Eine stetige Zufallsvariable, die die Dichtefunktion f(x) besitzt ( > 0), heißt exponentialverteilt zum Parameter λ mit λ > 0.