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Eindimensionale Verteilungen (ohne Namen)

WebinarTerminankündigung:
 Am 08.12.2016 (ab 18:00 Uhr) findet unser nächstes Webinar statt.
Gratis-Webinar Diskrete und stetige Verteilungen in der Wahrscheinlichkeitsrechnung
- In diesem 60-minütigen Gratis-Webinar gehen wir darauf ein, welche diskreten und stetigen Verteilungen Sie in der Prüfung beherrschen müssen.
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Video: Eindimensionale Verteilungen (ohne Namen)

Wir unterscheiden im folgenden diskrete Verteilungen ohne Namen und mit Namen, sowie stetige Verteilungen ohne Namen und mit Namen.

Wir unterscheiden im folgenden

  • diskrete Verteilungen

    • ohne Namen und

    • mit Namen sowie

  • stetige Verteilungen

  • ohne Namen und

  • mit Namen.

Methode

Die Unterscheidung „ohne Namen“ und „mit Namen“ werden Sie so nur in diesem Werk vorfinden, dieser ist, da völlig unmathematisch, so in der Literatur nicht auffindbar. Wir finden diese allein aus didaktischen Gründen jedoch sehr praktikabel und verwenden sie daher hier.

Zufallsvariable

Merke

Definition:

Gegeben sei eine Ereignismenge Ω. Eine reelle Funktion X : Ω $\rightarrow$ R, die jedem Elementarereignis eine reelle Zahl zuordnet, heisst Zufallsvariable.

Die Definition ist eigentlich deutlich komplizierter. Wir lassen – allein aus didaktischen Gründen – die korrekte Definition außen vor.

So ist z.B. der doppelte Würfelwurf zu betrachten:

Ω = {(1,1), (1,2), (1,3), ...,(1,6)

(2,1), (2,2), (2,3), ...,(2,6)

(6,1), ... ,(6,6)}.

Wir interessieren uns nun lediglich für das Ereignis Pasch.

  • ohne den Begriff der Zufallsvariablen würden wir die Elementarereignisse aufschreiben müssen, die günstig sind:

    • P(Pasch) = P({(1,1), (2,2), (3,3), ... (6,6)})

  • mit einer Zufallsvariablen hingegen ist deutlich weniger Schreibarbeit zu leisten. Man notiert

    X(ω) = $\dbinom {1     \text{ω ist Pasch}}{0                         \text{sonst}}$.

    Gemeint ist hiermit folgendes: wenn (2,3) das Ergebnis des doppelten Würfelwurfes ist, dann hat die Zufallsvariable den Wert 0. Wenn (4,4) herauskommt, ist sie hingegen 1. Also X((2,3)) = 0, X((4,4)) = 1. Damit gilt aber:

  • P(Pasch) = P(X = 1).

Man schreibt also nicht mehr die einzelnen Elementarereignisse auf, sondern nur noch, welche Werte die Zufallsvariable in den gewünschten Fällen annimmt.

Die Zufallsvariablen lassen sich nun einteilen nach der Größe des Bereiches Ω, auf dem sie definiert ist, in

  • diskrete und

  • stetige Zufallsvariablen.

Merke

Eine Zufallsvariable heißt diskret, wenn sie nur abzählbar viele Werte annimmt. Eine Menge heißt wiederum abzählbar, wenn man sie abzählen kann. 

Klingt tautologisch, ist aber schwerer als man denkt:

  • jede endliche Menge ist abzählbar, weil man die Elemente anordnen und durchzählen kann,

  • eine Menge mit unendlich vielen Elemente ist abzählbar, wenn sie so viele Elemente hat wie natürliche Zahlen existieren. Genauer gesagt: falls eine Bijektion existiert zwischen der Menge der natürlichen Zahlen und der beschriebenen Menge.  

Beispiel

Die Anzahl der Menschen auf der Erde, wenn die Erde und die Menschheit unendlich lange existieren.

Merke

Eine diskrete Zufallsvariable ist also dadurch gekennzeichnet, dass sie Löcher hat. So ist die Augenzahl beim einfachen Würfelwurf 1 oder 2 oder 3 usw., aber nicht 1,23, nicht 1,79 usw. Genauso im beschriebenen Beispiel der Menschen: es gibt im Laufe der Zeit 314.000 oder 314.001 Menschen, aber nicht 314.000,739.

Eine Zufallsvariable heißt stetig, wenn sie überabzählbar viele Werte annehmen kann.

Sie ist damit durch zwei Eigenschaften gekennzeichnet:

  • es müssen auf jeden Fall unendlich viele Elemente sein

  • es müssen „mehr Zahlen“ als natürliche Zahlen sein, nämlich so viele wie es reelle Zahlen gibt.

Mathematiker sprechen von der Mächtigkeit einer Menge. Die Mengen R der reellen Zahlen und N der natürlichen Zahlen N besitzen beide zwar beide unendlich viele Elemente, R hat aber eine größere Mächtigkeit und damit – im Rahmen der Anschauung - „mehr“ Elemente.

Merke

Beispiele aus der Praxis sind schwer zu finden und hängen immer von der Denkweise ab. Die Körpergröße eines Menschen ...

  • ist eine stetige Zufallsvariable, wenn man unendlich genau messen könnte

  • ist hingegen eine diskrete Zufallsvariable,

Abschließend gibt die folgende Übersicht Aufschluss über diskrete und stetige Zufallsvariablen.

Abb. 5.1: Einteilung von Zufallsvariablen
Abb. 5.1: Einteilung von Zufallsvariablen

Unterschied abzählbar - überabzählbar

Video: Eindimensionale Verteilungen (ohne Namen)

Wir unterscheiden im folgenden diskrete Verteilungen ohne Namen und mit Namen, sowie stetige Verteilungen ohne Namen und mit Namen.

Übersicht über die Zufallsvariablen

Video: Eindimensionale Verteilungen (ohne Namen)

Wir unterscheiden im folgenden diskrete Verteilungen ohne Namen und mit Namen, sowie stetige Verteilungen ohne Namen und mit Namen.
Multiple-Choice

In einer Urne befinden sich schwarze und weiße Kugeln. Jeder schwarzen wird eine 1 zugeordnet, jeder weißen eine 0. Welche der folgenden Aussagen ist falsch?

0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Bild von Autor Daniel Lambert

Autor: Daniel Lambert

Dieses Dokument Eindimensionale Verteilungen (ohne Namen) ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Dipl.-Math. Dipl.-Kfm. Daniel Lambert gibt seit vielen Jahren Kurse zur Prüfungsvorbereitung. Er unterrichtet stets orientiert an alten Prüfungen und weiß aus langjähriger Erfahrung, wie sich komplexe Sachverhalte am besten aufbereiten und vermitteln lassen. Daniel Lambert ist Repetitor aus Leidenschaft seit nunmehr 20 Jahren.
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    "Weiter so!! viele Grüße aus Nürnberg"

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    Ein Kursnutzer am 08.06.2015:
    "Ich finde, dass Herrn Lambert eine große Gabe hat, schwierige Sachverhalte einfach und strukturiert wiederzugeben. Man gewinnt außerdem den Eindruck, dass er Spaß an der Erklärung hat und an wichtiger Stelle die Fokussierung mit Witz und Präzision in der Wortwahl den Stoff einleuchtend vermittelt. Ich würde mal sagen, das war ein ganz schön dickes LOB! :-) Danke! "

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