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Wahrscheinlichkeitsrechnung - Eindimensionale Verteilungen (ohne Namen)

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Wahrscheinlichkeitsrechnung

Eindimensionale Verteilungen (ohne Namen)

Inhaltsverzeichnis

In diesem Kapitel lernen wir die eindimensionale Verteilungen kennen. Diese werden einmal in diskrete Verteilung (einmal ohne und mit Namen) und stetige Verteilung (auch jeweil mit und ohne Namen) unterteilt.

Der Ausdruck "ohne Namen" bzw. "mit Namen" ist so in Lehrbüchern nicht zu finden, da er gänzlich unmathematisch ist. Jedoch sind wir der Ansicht, dass er das Verständnis der Materie vereinfacht, daher werden wir diesen Begriff hier nutzen.

Zufallsvariable

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Definition:

Unter einer Zufallsvariablen versteht man eine Funktion X, die jedem Elementarereignis genau eine Zahl (x) aus der Menge der reellen Zahlen (R) des Ereignisraums Ω eines Zufallsexperiments  zuordnet.

X: Ω $\rightarrow \mathbb{R}$

Dies ist eine vereinfachte Definition, die Exakte ist deutlich umfangreicher. Diese lassen wir aber aus Gründen der Simplifikation aus.

Beispiel

Werfen wir  bspw. zwei Würfel so ist Ω = {(1,1), (1,2), ... ,(6,6)}. Für uns ist jetzt aber nur das Ereignis Augenzahl =7 interessant.

Würden wir jetzt vorgehen wie bisher, also ohne den Begriff der Zufallsvariablen, müssten wir jedes günstige Elementarereignis einzeln notieren: P(7) = {(1,6); (2,5); ... ; (6,1)}

 

Mit dem Begriff der Zufallsvariablen sieht das Ganze jedoch etwas anders aus:

X(ω) = $\dbinom {1 \text{ω ist 7}}{0 \text{ sonst}}$.

Dieser Ausdruck bedeutet: hat das Wurfergebnis die Augensumme gleich sieben, z.B.: (3,4), so hat die Zufallsvariable X den Wert 1. Ist das Ergebnis ein anderes z.B. (6,5), hat sie den Wert 0:

X((3,4))=1 X((6,5))=0

Somit gilt:

P(Augenzahl=7) = P(X=1)

Es wird also nur noch notiert, welche Werte die Zufallsvariable bei günstigen Ereignissen annimmt. Man spart sich demnach alle günstigen Elementarereignisse zu notieren.

Nach der Größe des Berreichs Ω, auf dem die Zufallsvariable nun definiert ist, lässt sie sich in diskrete und stetige Zufallsvariablen einteilen.

Diskrete Zufallsvariablen:

Merke

Von einer diskreten Zufallsvariablen spricht man, wenn diese eine konkret abzählbare Menge an Werten aufweist. Eine Menge nennt sich konkret abzählbar, wenn man sie zählen kann.

Dies hört sich zunächst redundant an, ist aber nicht ganz so einfach zu verstehen. Als logisch empfindet man noch die Abzählbarkeit endlicher Mengen. Jedoch existieren auch abzählbare Mengen mit unendlich vielen Elementen. Diese weisen so viele Elemente auf, wie es natürliche Zahlen $\rightarrow \mathbb{N}$ gibt. Genauer bedeutet dies, dass jeder Zahl aus dem natürlichen Zahlenraum genau ein Wert aus der beschriebenen Menge zugeordnet werden kann.

Beispiel

Die Anzahl an Planeten im Weltraum.

Es entstehen im Laufe der Zeit immer neue Planeten und der Weltraum dehnt sich auch immer weiter aus. Es kann also davon ausgegangen werden, dass unendlich viele Planeten existieren bzw. existieren werden. Es gibt bspw. 500.000 Planeten und mit der Zeit 500.000 +n. Es hat aber nie 500.000,256 Planeten geben.

Stetige Zufallsvariablen

Merke

Von einer stetigen Zufallsvariablen spricht man, wenn diese überabzählbar viele Werte annehmen kann.

Heißt so viel wie, dass eine stetige Zufallsvariable unendlich viele und nicht abzählbare Werte aufweisen muss. Also das "mehr Zahlen" existieren, als es natürliche Zahlen gibt, nämlich so viele wie reelle Zahlen.

In der Mathematik nutzt man den Begriff der Mächtigkeit einer Menge. Wenn wir die Menge der reelen Zahlen $\mathbb{R}$ mit der der natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ vergleichen, so ist die Menge $\mathbb{R}$ mächtiger, obwohl beide unendlich viele Werte haben. Trotzdem hat $\mathbb{R}$ mehr Elemente als $\mathbb{N}$

Die Abbildung fasst nochmals kurz den Inhalt dieses Kapitels zusammen.

Eindimensionale Verteilungen