Eindimensionale Verteilungen (ohne Namen)

Wir unterscheiden im folgenden

• diskrete Verteilungen

  • ohne Namen und

  • mit Namen sowie

• stetige Verteilungen

• ohne Namen und

• mit Namen.

Zufallsvariable

Die Definition ist eigentlich deutlich komplizierter. Wir lassen – allein aus didaktischen Gründen – die korrekte Definition außen vor.

So ist z.B. der doppelte Würfelwurf zu betrachten:

Ω = {(1,1), (1,2), (1,3), ...,(1,6)

(2,1), (2,2), (2,3), ...,(2,6)

(6,1), ... ,(6,6)}.

Wir interessieren uns nun lediglich für das Ereignis Pasch.

• ohne den Begriff der Zufallsvariablen würden wir die Elementarereignisse aufschreiben müssen, die günstig sind:

  • P(Pasch) = P({(1,1), (2,2), (3,3), ... (6,6)})

• mit einer Zufallsvariablen hingegen ist deutlich weniger Schreibarbeit zu leisten. Man notiert

  X(ω) = $\dbinom {1     \text{ω ist Pasch}}{0                         \text{sonst}}$.

  Gemeint ist hiermit folgendes: wenn (2,3) das Ergebnis des doppelten Würfelwurfes ist, dann hat die Zufallsvariable den Wert 0. Wenn (4,4) herauskommt, ist sie hingegen 1. Also X((2,3)) = 0, X((4,4)) = 1. Damit gilt aber:

• P(Pasch) = P(X = 1).

Man schreibt also nicht mehr die einzelnen Elementarereignisse auf, sondern nur noch, welche Werte die Zufallsvariable in den gewünschten Fällen annimmt.

Die Zufallsvariablen lassen sich nun einteilen nach der Größe des Bereiches Ω, auf dem sie definiert ist, in

• diskrete und

• stetige Zufallsvariablen.

Klingt tautologisch, ist aber schwerer als man denkt:

• jede endliche Menge ist abzählbar, weil man die Elemente anordnen und durchzählen kann,

• eine Menge mit unendlich vielen Elemente ist abzählbar, wenn sie so viele Elemente hat wie natürliche Zahlen existieren. Genauer gesagt: falls eine Bijektion existiert zwischen der Menge der natürlichen Zahlen und der beschriebenen Menge.  

Eine Zufallsvariable heißt stetig, wenn sie überabzählbar viele Werte annehmen kann.

Sie ist damit durch zwei Eigenschaften gekennzeichnet:

• es müssen auf jeden Fall unendlich viele Elemente sein

• es müssen „mehr Zahlen“ als natürliche Zahlen sein, nämlich so viele wie es reelle Zahlen gibt.

Mathematiker sprechen von der Mächtigkeit einer Menge. Die Mengen R der reellen Zahlen und N der natürlichen Zahlen N besitzen beide zwar beide unendlich viele Elemente, R hat aber eine größere Mächtigkeit und damit – im Rahmen der Anschauung - „mehr“ Elemente.

Abschließend gibt die folgende Übersicht Aufschluss über diskrete und stetige Zufallsvariablen.

Abb. 5.1: Einteilung von Zufallsvariablen

Unterschied abzählbar - überabzählbar

Übersicht über die Zufallsvariablen