Linearkombinationen von Zufallsvariablen

Oftmals hat man es mit linear zusammengesetzten Zufallsvariablen zu tun, d.h. mit Funktionen, die als Summe oder Differenz aus anderen Zufallsvariablen aufgebaut sind.

Wir interessieren uns im folgenden speziell für die Linearkombination a·X + b·Y + c·Z, wenn die Zufallsvariablen X, Y und Z gegeben sind.

Beispiel

Wir diskutieren speziell drei Linearkombinationen aus X₁, X₂ und X₃, die für die Studenten relevant sind:

• Die Frage des Gesamteinkommens wird beantwortet durch X₁ + X₂ + X₃ = $\sum _{i\;=\;1}^3\;$ X_i. Für den Vermieter der Wohnung bspw. ist nicht wichtig, wieviel jeder einzelne verdient, d.h. was X_i ist, i = 1,2,3, sondern wie hoch das Gesamteinkommen ist, d.h. welche Werte $\sum _{i\;=\;1}^3\;$X_i annimmt.

• Genauso können sich die drei Studenten fragen, wie hoch ihr Durchschnittseinkommen ist. Hierfür bildet man$1\over{3}$ (X₁ + X₂ + X₃), kürzer geschrieben als $\frac 1 3$  $\sum _{i\;=\;1}^3\;$ X_i. Wir reden also im allgemeinen Fall vom arithmetischen Mittel $\overline X$ =  $\frac 1 n$  $\sum _{i\;=\;1}^n\;$X_i.

• Wenn Paul doppelt soviel wie die beiden anderen einzahlt, erhält der Vermieter als Summe X₁ + 2·X₂ + X₃. Über diese neue Zufallsvariable hat er dann Erwartungen zu bilden und möglicherweise eine Streuung zu berechnen.

All jene Fragen führen auf den Begriff der Linearkombination.

Eine Linearkombination der Zufallsvariablen X, Y und Z ist gegeben durch LK = a·X + b·Y + c·Z, wobei a, b und c reelle Zahlen sind.

Im ersten Beispiel war a = b = c = 1, im zweiten ist a = b = c = 1/3, im dritten hingegen a = c = 1 und b = 2.

Merke

Wichtig ist der Begriff der Linearkombination von Zufallsvariablen insbesondere für Erwartungswert und Streuung:

für den Erwartungswert dreier Zufallsvariablen und  

für die Varianz dreier Zufallsvariablen.

Für zwei Zufallsvariablen X und Y liest sich diese Formel ein bißchen leichter:

Sollten X und Y außerdem unabhängig sein (also insbes. unkorreliert, d.h. ρ_X,Y = 0), dann gilt sogar

Var (a·X + b·Y ) = a^2·Var(X) + b^2·Var(Y)

• Der Erwartungswert für das Einkommen in der WG insgesamt ist

  E(X + Y + Z ) = 1·1.100 + 1·1.500 + 1·1.200 = 3.700 €.

• Die Varianz berechnet sich durch

  Var(X + Y + Z ) = Var(X) + Var(Y) + Var(Z) + 2 $\sqrt{\mathit{Var}(X)}\sqrt{\mathit{Var}(Y)}$ρ_X,Y + 2ac$\sqrt{\mathit{Var}(X)}\sqrt{\mathit{Var}(Z)}$ ·0 + 2bc $\sqrt{\mathit{Var}(Y)}\sqrt{\mathit{Var}(Z)}$· 0 = 200² + 500² + 0² + 200 · 500 · 0,6 + 0 + 0 = 350.000€².

  Die Streuung der Summe der Einkommen ist damit die Wurzel aus der Varianz, also 591,61 €. Die drei Studenten können damit insgesamt im langfristigen Durchschnitt 3.700 € für ihre Ausgaben aufwenden, wobei ihr Gesamteinkommen streut mit σ_{X + Y + Z} = 591,61 €.

• Für den Fall des Durchschnittseinkommens gilt, dass der Erwartungswert E($1\over{3}$ (X₁ + X₂ + X₃)) =$1\over{3}$ E(X₁) + $1\over{3}$E(X₂) + $1\over{3}$E(X₃) = $1\over{3}$× 1.000 +$1\over{3}$ × 1.500 +$1\over{3}$ · 1.200 = 1.233,33 € ist. Die Varianz lautet Var ( $1\over{3}$(X₁ + X₂ +X₃)) = $\left(\frac 1 3\right)^2$Var(X) +$\left(\frac 1 3\right)^2$ Var(Y) + $\left(\frac 1 3\right)^2$Var(Z) + 2 ·$1\over{3}$ ·${1\over{3}}\sqrt{\mathit{Var}(X)}\sqrt{\mathit{Var}(Y)}$ ρ_X,Y =$1\over{9}$ ·200² +$1\over{9}$ ·500² +$1\over{9}$ · 0²+ 2 ·$1\over{3}$ ·$1\over{3}$· 200·500·0,6 = 38.888,89 €².

  Für die Streuung gilt damit σ = 197,20 €.

• Für den Fall 3 rechnet man E(X + 2Y + Z) = 1.000 + 2·1500 + 1.200 = 5.200 €. Die Varianz ist Var (X + 2Y + Z) = 200² + 2² ·500² + 1² ·0² + 1·2·200·500·0,6 = 1.160.000 €², die Streuung damit 1.077,03 €.

  Wenn Paul also die doppelte Last trägt, so ist klarerweise ein höheres Einkommen zu erwarten (5.200 € statt 3.700 €), wobei die Unsicherheit hierüber größer ist (1.077,03 € statt 591,61 €).

Videos

Berechnung des Erwartungswertes

Varianz für korrelierte Zufallsvariablen

Varianz für unkorrelierte Zufallsvariablen