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Wahrscheinlichkeitsrechnung - Linearkombinationen von Zufallsvariablen

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Wahrscheinlichkeitsrechnung

Linearkombinationen von Zufallsvariablen

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Häufig ist es der Fall, dass man eine linear zusammengesetzte Zufallsvariable hat. Diese Funktionen setzten sich als Summe oder Differrenz anderer Zufallsvariablen zusammen.

Dieser Abschnitt behandelt besonders die Linearkombination a·X + b·Y + c·Z, wo die Zufallsvariablen X,Y und Z schon bekannt sind.

Beispiel

Beispiel

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Die Rentner Peter, Paul und Mary wollen, da sie im hohen Alter nicht alleine leben wollen, eine Senioren-WG gründen und werfen für die Finanzierung Anteile ihre Renten zusammen. Dabei ist dann X1 der Anteil von Peter, X2 die von Paul und X3 Marys.

Somit ergibt sich für die Senioren speziell drei Linearkombinationen aus X1, X2 und X3 die besprochen werden können:

  1. Für den Vermieter bspw. ist egal, wie viel der Rente jeder Einzelne einbringt (also was Xi ist, i = 1,2,3), für ihn ist nur das Gesamtbudget X1 + X2 + X3 = $\sum _{i\;=\;1}^3\;$ Xi der Gemeinschaft von Interesse, also wie groß $\sum _{i\;=\;1}^3\;$Xi ist.

  2. Auch können sich die Senioren fragen, wie hoch deren Anteile durchschnittlich sind. Für unser Beispiel also $1\over{3}$ (X1 + X2 + X3), oder kurz $\frac 1 3$ $\sum _{i\;=\;1}^3\;$ Xi
    Im allgemeinen also das arithmetischen Mittel $\overline X$ = $\frac 1 n$ $\sum _{i\;=\;1}^n\;$Xi.

  3. Es könnte aber auch sein, dass Peters Anteil 1,5-fach so groß ist, da er z.B. eine höhere Rente bezieht. Also besteht das Gesamtbuget aus X1 + 1,5·X2 + X3. Über diese neue Zufallsvariable hat er dann Erwartungen zu bilden und möglicherweise eine Streuung zu berechnen.

Diese Gedankenspiele führen alle zu Linearkombination hin. Die Linearkombination LK = a·X + b·Y + c·Z bei gegebenen Zufallsvariablen X, Y und Z, dabei sind a, b und c ∈ $\mathbb{R}$

Für unsere Beispiele gilt:

  1. a = b = c = 1
  2. a = b = c = ${1 \over 3}$
  3. a = c = 1 und b = 1,5.

 

Merke

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a, b und c sind Zahlen, also konstant und allgemein als Kleinbuchstaben geschrieben.

im Gegensatz dazu sind X,Y und Z i.d.R. zufällig (nur in besonderen Fälle konstante Zufallsvariablen) und werden mit Großbuchstaben bezeichnet.

Da die Linearkombination LK die Summe von Zufallsvariablen ist, ist sie selber auch zufällig, denn das Produkt aus Zahl und Zufallsvariable (a·X, b·Y, c·Z)  stellt ebenfalls eine Zufallsvariable dar.

Wichtig ist der Begriff der Linearkombination von Zufallsvariablen insbesondere für Erwartungswert und Streuung:

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E(a·X + b·Y + c·Z ) = a·E(X) + b·E(Y) + c·E(Z) für den Erwartungswert dreier Zufallsvariablen

 und  

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Var(a·X + b·Y + c·Z ) = a2 Var(X) + b2 Var(Y) + c2 Var(Z)
+ 2ab$\sqrt{\mathit{Var}(X)}\sqrt{\mathit{Var}(Y)}$ ρX,Y + 2ac $\sqrt{\mathit{Var}(X)}\sqrt{\mathit{Var}(Z)}$ρX,Z 
+ 2bc $\sqrt{\mathit{Var}(Y)}\sqrt{\mathit{Var}(Z)}$ρY,Z

für die Varianz dreier Zufallsvariablen.

 

Bei zwei Zufallsvariablen X und Y ist die Formel etwas übersichtlicher:

Merke

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Var (a·X + b·Y ) = aVar(X) + bVar(Y) +2ab$\sqrt{\mathit{Var}(X)}\sqrt{\mathit{Var}(Y)}$ ρX,Y

Sind X und Y zudem unabhängig voneinander (also insbes. unkorreliert, d.h. ρX,Y = 0), dann gilt sogar

Var (a·X + b·Y ) = a2·Var(X) + b2·Var(Y)

Beispiel

Beispiel

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Nehmen wir für obiges Beispiel jetzt mal konkrete Zahlen an. Wir möchten nun das durchschnittlich zu erwartende Einkommen der Gruppe berechnen. So ist bei Peter ein Durchschnitt von 1300€ p.M. mit einer Streuung von 250€ zu erwarten. Paul hingegen bringt ein größeren Anteil mit ein nämlich 1600€, dabei ist aber die Unsicherheit größer, diese beträgt 350 €. Dabei hängen die Anteile von Peter und Paul linear zusammen mit einem Korrelationskoeffizienten von 0,7. Mary hingegen bringt jeden Monat konstant 1400€ mit ein, unabhänig von Peter und Paul.

 

 

Vertiefung

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Das zu erwartende Einkommmen der WG instgesamt liegt bei

E(X + Y + Z ) = 1·1300€ + 1·1600€ + 1·1400€ = 4300 €.

Vertiefung

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Berechne die Varianz und die Streuung:

Die Varianz ergibt sich aus:

Var(X + Y + Z ) = Var(X) + Var(Y) + Var(Z) + 2 $\sqrt{\mathit{Var}(X)}\sqrt{\mathit{Var}(Y)}$ρX,Y + 2ac$\sqrt{\mathit{Var}(X)}\sqrt{\mathit{Var}(Z)}$ ·0 + 2bc $\sqrt{\mathit{Var}(Y)}\sqrt{\mathit{Var}(Z)}$· 0 = 2502 + 3502 + 02 + 250· 350· 0,7 + 0 + 0 = 246.250€2.

Die Streuung der Summe der Einkommen ergibz sich somit aus der Quadratwurzel der Varianz nämlich 496,24€.
Das bedeutet für die Gruppe, dass sie langfristig ein durchschnittliches WG-Einkommen von 4300 € haben, es aber monatlich bis zu σX + Y + Z = 591,61 € streuen kann.

Vertiefung

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Wie hoch ist das zu erwartende Durchschnittseinkommen (Varianz & Streuung) ?

Für den Fall des Durchschnittseinkommens gilt, dass der Erwartungswert:

E($1\over{3}$ (X1 + X2 + X3)) =$1\over{3}$ E(X1) + $1\over{3}$E(X2) + $1\over{3}$E(X3) = $1\over{3}$ · 1300 +$1\over{3}$ · 1600 +$1\over{3}$ · 1400 = 1.433,33 €

Die Varianz lautet:

Var ( $1\over{3}$(X1 + X2 +X3)) = $\left(\frac 1 3\right)^2$Var(X) +$\left(\frac 1 3\right)^2$ Var(Y) + $\left(\frac 1 3\right)^2$Var(Z) + 2 ·$1\over{3}$ ·${1\over{3}}\sqrt{\mathit{Var}(X)}\sqrt{\mathit{Var}(Y)}$ ρX,Y =
$1\over{9}$ ·2502 +$1\over{9}$ ·3502 +$1\over{9}$ · 02+ 2 ·$1\over{3}$ ·$1\over{3}$· 250·350·0,7 = 34.166,66 €2.

Für die Streuung gilt damit σ = 184,84 €.

Vertiefung

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Berechne das zu erwartende Einkommmen der WG instgesamt für Fall 3 (inkl. Varianz & Streuung)

Für den Fall 3 rechnet man:

E(X + 1,5·Y + Z) = 1300 + 1,5·1600+ 1.400 = 5.100 €.

Die Varianz ist Var (X + 1,5·Y + Z) = 12 ·2502 + 1,52 ·3502 + 12 ·02 + 1·250·1,5·350·0,7 = 430.000 €2

Die Streuung ist somit 655,74 €.

Wenn Paul also die doppelte Last trägt, so ist klarerweise ein höheres Einkommen zu erwarten (5.200 € statt 3.700 €), wobei die Unsicherheit hierüber größer ist (1.077,03 € statt 591,61 €).

Videos

Berechnung des Erwartungswertes

Video: Linearkombinationen von Zufallsvariablen

Varianz für korrelierte Zufallsvariablen

Video: Linearkombinationen von Zufallsvariablen

Varianz für unkorrelierte Zufallsvariablen

Video: Linearkombinationen von Zufallsvariablen