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Wahrscheinlichkeitsrechnung - Linearkombinationen von Zufallsvariablen

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Wahrscheinlichkeitsrechnung

Linearkombinationen von Zufallsvariablen

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Oftmals hat man es mit linear zusammengesetzten Zufallsvariablen zu tun, d.h. mit Funktionen, die als Summe oder Differenz aus anderen Zufallsvariablen aufgebaut sind.

Wir interessieren uns im folgenden speziell für die Linearkombination a·X + b·Y + c·Z, wenn die Zufallsvariablen X, Y und Z gegeben sind.

Beispiel

Beispiel

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Die Studenten Egon, Paul und Klara bilden eine Wohngemeinschaft und legen zur Finanzierung derselben ihr Geld zusammen. X1 gibt das Einkommen von Egon an, X2 jenes von Paul und X3 jenes von Klara.  

Wir diskutieren speziell drei Linearkombinationen aus X1, X2 und X3, die für die Studenten relevant sind:

  • Die Frage des Gesamteinkommens wird beantwortet durch X+ X2 + X3 = $\sum _{i\;=\;1}^3\;$ Xi. Für den Vermieter der Wohnung bspw. ist nicht wichtig, wieviel jeder einzelne verdient, d.h. was Xi ist, i = 1,2,3, sondern wie hoch das Gesamteinkommen ist, d.h. welche Werte $\sum _{i\;=\;1}^3\;$Xi annimmt.

  • Genauso können sich die drei Studenten fragen, wie hoch ihr Durchschnittseinkommen ist. Hierfür bildet man$1\over{3}$ (X1 + X2 + X3), kürzer geschrieben als $\frac 1 3$  $\sum _{i\;=\;1}^3\;$ Xi. Wir reden also im allgemeinen Fall vom arithmetischen Mittel $\overline X$ =  $\frac 1 n$  $\sum _{i\;=\;1}^n\;$Xi.

  • Wenn Paul doppelt soviel wie die beiden anderen einzahlt, erhält der Vermieter als Summe X+ 2·X2 + X3. Über diese neue Zufallsvariable hat er dann Erwartungen zu bilden und möglicherweise eine Streuung zu berechnen.

All jene Fragen führen auf den Begriff der Linearkombination.

Eine Linearkombination der Zufallsvariablen X, Y und Z ist gegeben durch LK = a·X + b·Y + c·Z, wobei a, b und c reelle Zahlen sind.

Im ersten Beispiel war a = b = c = 1, im zweiten ist a = b = c = 1/3, im dritten hingegen a = c = 1 und b = 2.

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  • a, b und c sind Zahlen, also konstant und werden i.A. mit kleinen Buchstaben bezeichnet,
  • X, Y und Z hingegen sind zufällig (also nur in Ausnahmefällen konstant, nämlich bei konstanten Zufallsvariablen) und i.a. mit großen Buchstaben benannt
  • LK ist als Summe von Zufallsvariablen selbst eine Zufallsvariable, denn a·X ist als Produkt von Zahl und Zufallsvariable eine Zufallsvariable, genauso b·Y und c·Z.

Wichtig ist der Begriff der Linearkombination von Zufallsvariablen insbesondere für Erwartungswert und Streuung:

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E(a·X + b·Y + c·Z ) = a·E(X) + b·E(Y) + c·E(Z) 

für den Erwartungswert dreier Zufallsvariablen und  

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Var(a·X + b·Y + c·Z ) = a2 Var(X) + b2 Var(Y) + c2 Var(Z) + 2ab$\sqrt{\mathit{Var}(X)}\sqrt{\mathit{Var}(Y)}$ ρX,Y + 2ac $\sqrt{\mathit{Var}(X)}\sqrt{\mathit{Var}(Z)}$ρX,Z + 2bc $\sqrt{\mathit{Var}(Y)}\sqrt{\mathit{Var}(Z)}$ρY,Z

für die Varianz dreier Zufallsvariablen.

Für zwei Zufallsvariablen X und Y liest sich diese Formel ein bißchen leichter:

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Var (a·X + b·Y ) = aVar(X) + bVar(Y) +2ab$\sqrt{\mathit{Var}(X)}\sqrt{\mathit{Var}(Y)}$ ρX,Y.

Sollten X und Y außerdem unabhängig sein (also insbes. unkorreliert, d.h. ρX,Y = 0), dann gilt sogar

Var (a·X + b·Y ) = aVar(X) + bVar(Y)

Beispiel

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Für das vorige Beispiel lässt sich nun ausrechnen, welche Zahlungen bzw. welches Durchschnittseinkommen man erwarten kann. Angenommen, Egon verdient im Jahr gesehen unterschiedlich viel, aber im Durchschnitt 1.000 € pro Monat bei einer Streuung von 200 €. Paul erwartet mehr, nämlich 1.500 €. Diese Erwartung ist unsicherer, die Streuung beträgt nämlich 500 €. Klara wiederum verdient jeden Monat den gleichen Betrag, nämlich 1.200 €. Die Einkommensströme von Egon und Paul hängen linear zusammen mit einem Korrelationskoeffizienten von 0,6. Das Einkommen von Klara ist unabhängig von jenen der beiden anderen.

  • Der Erwartungswert für das Einkommen in der WG insgesamt ist

    E(X + Y + Z ) = 1·1.100 + 1·1.500 + 1·1.200 = 3.700 €.

  • Die Varianz berechnet sich durch

    Var(X + Y + Z ) = Var(X) + Var(Y) + Var(Z) + 2 $\sqrt{\mathit{Var}(X)}\sqrt{\mathit{Var}(Y)}$ρX,Y + 2ac$\sqrt{\mathit{Var}(X)}\sqrt{\mathit{Var}(Z)}$ ·0 + 2bc $\sqrt{\mathit{Var}(Y)}\sqrt{\mathit{Var}(Z)}$· 0 = 2002 + 5002 + 02 + 200 · 500 · 0,6 + 0 + 0 = 350.000€2.

    Die Streuung der Summe der Einkommen ist damit die Wurzel aus der Varianz, also 591,61 €. Die drei Studenten können damit insgesamt im langfristigen Durchschnitt 3.700 € für ihre Ausgaben aufwenden, wobei ihr Gesamteinkommen streut mit σX + Y + Z = 591,61 €.

  • Für den Fall des Durchschnittseinkommens gilt, dass der Erwartungswert E($1\over{3}$ (X1 + X2 + X3)) =$1\over{3}$ E(X1) + $1\over{3}$E(X2) + $1\over{3}$E(X3) = $1\over{3}$× 1.000 +$1\over{3}$ × 1.500 +$1\over{3}$ · 1.200 = 1.233,33 € ist. Die Varianz lautet Var ( $1\over{3}$(X1 + X2 +X3)) = $\left(\frac 1 3\right)^2$Var(X) +$\left(\frac 1 3\right)^2$ Var(Y) + $\left(\frac 1 3\right)^2$Var(Z) + 2 ·$1\over{3}$ ·${1\over{3}}\sqrt{\mathit{Var}(X)}\sqrt{\mathit{Var}(Y)}$ ρX,Y =$1\over{9}$ ·2002 +$1\over{9}$ ·5002 +$1\over{9}$ · 02+ 2 ·$1\over{3}$ ·$1\over{3}$· 200·500·0,6 = 38.888,89 €2.

    Für die Streuung gilt damit σ = 197,20 €.

  • Für den Fall 3 rechnet man E(X + 2Y + Z) = 1.000 + 2·1500 + 1.200 = 5.200 €. Die Varianz ist Var (X + 2Y + Z) = 2002 + 22 ·5002 + 12 ·02 + 1·2·200·500·0,6 = 1.160.000 €2, die Streuung damit 1.077,03 €.

    Wenn Paul also die doppelte Last trägt, so ist klarerweise ein höheres Einkommen zu erwarten (5.200 € statt 3.700 €), wobei die Unsicherheit hierüber größer ist (1.077,03 € statt 591,61 €).

Videos

Berechnung des Erwartungswertes

Video: Linearkombinationen von Zufallsvariablen

Varianz für korrelierte Zufallsvariablen

Video: Linearkombinationen von Zufallsvariablen

Varianz für unkorrelierte Zufallsvariablen

Video: Linearkombinationen von Zufallsvariablen