Linearkombinationen von Zufallsvariablen

Häufig ist es der Fall, dass man eine linear zusammengesetzte Zufallsvariable hat. Diese Funktionen setzten sich als Summe oder Differrenz anderer Zufallsvariablen zusammen.

Dieser Abschnitt behandelt besonders die Linearkombination a·X + b·Y + c·Z, wo die Zufallsvariablen X,Y und Z schon bekannt sind.

Beispiel

Somit ergibt sich für die Senioren speziell drei Linearkombinationen aus X₁, X₂ und X₃ die besprochen werden können:

1. Für den Vermieter bspw. ist egal, wie viel der Rente jeder Einzelne einbringt (also was X_i ist, i = 1,2,3), für ihn ist nur das Gesamtbudget X₁ + X₂ + X₃ = $\sum _{i\;=\;1}^3\;$ X_i der Gemeinschaft von Interesse, also wie groß $\sum _{i\;=\;1}^3\;$X_i ist.
   
   
2. Auch können sich die Senioren fragen, wie hoch deren Anteile durchschnittlich sind. Für unser Beispiel also $1\over{3}$ (X₁ + X₂ + X₃), oder kurz $\frac 1 3$ $\sum _{i\;=\;1}^3\;$ X_i
   Im allgemeinen also das arithmetischen Mittel $\overline X$ = $\frac 1 n$ $\sum _{i\;=\;1}^n\;$X_i.
   
   
3. Es könnte aber auch sein, dass Peters Anteil 1,5-fach so groß ist, da er z.B. eine höhere Rente bezieht. Also besteht das Gesamtbuget aus X₁ + 1,5·X₂ + X₃. Über diese neue Zufallsvariable hat er dann Erwartungen zu bilden und möglicherweise eine Streuung zu berechnen.

Diese Gedankenspiele führen alle zu Linearkombination hin. Die Linearkombination LK = a·X + b·Y + c·Z bei gegebenen Zufallsvariablen X, Y und Z, dabei sind a, b und c ∈ $\mathbb{R}$

Für unsere Beispiele gilt:

1. a = b = c = 1
2. a = b = c = ${1 \over 3}$
3. a = c = 1 und b = 1,5.

Wichtig ist der Begriff der Linearkombination von Zufallsvariablen insbesondere für Erwartungswert und Streuung:

 und  

Bei zwei Zufallsvariablen X und Y ist die Formel etwas übersichtlicher:

Beispiel

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Berechnung des Erwartungswertes

Varianz für korrelierte Zufallsvariablen

Varianz für unkorrelierte Zufallsvariablen