Verteilungsfunktion

Diskrete Verteilungsfunktion

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X Werte bis zur Stelle x annimmt, ist gleich dem Flächeninhalt bis zur Zahl x, in Zeichen:

P(X ≤ x) = $\int_{-\infty}^{x}$ f(u)du

Dies bedeutet, dass für diskrete Zufallsvariablen alle Werte einer Wahrscheinlichkeitsfunktion bis zum Wert x summiert werden:

F(x) = P(X ≤ x) = P(X = 0) + P(X = 1) + … + P(X = x – 1) + P(X = x) = f(0) + f(1) + … + f(x – 1) + f(x) = f(k).

Bei stetigen Zufallsvariablen macht man dies auch, bezeichnet es jedoch als Integrieren. Es wird die Fläche unterhalb der Dichtefunktion bis zum Wert x  errechnet:

F(x) = f(u)du.

Die Verteilungsfunktion F für das Beispiel des einfachen Würfelwerfens stellt sich wie folgt dar:

F(1) = P(X ≤ 1) = P(X = 1) = f(1) = ${1 \over{6}}$,

F(2) = P(X ≤ 2) = P(X = 1) + P(X = 2) = f(1) + f(2)=${1 \over{6}}$ + ${1 \over{6}}$= ${1 \over{3}}$,

F(3) = P(X ≤ 3) = f(1) + f(2) + f(3) = ${1 \over{6}}$ + ${1 \over{6}}$ + ${1 \over{6}}$ = ${1 \over{2}}$ sowie

F(4) = ${2 \over{3}}$,

F(5) = ${5 \over{6}}$ und

F(6) = ${6 \over{6}}$ =1

"Groß F"  stellt die Wahrscheinlichkeit dar, dass maximal der Wert x angenommen wird. Der x-Wert wird durch die Wahrscheinlichkeitsfunktion f bestimmt:

Es ist auch zu beachten, dass die Verteilungsfunktion auch an "krummen" Stellen ausgerechnet werden kann.

Dabei ist insbesondere wichtig, dass man auch an „krummen“ Stellen die Verteilungsfunktion berechnen kann.

Bspw. bei 3,2 (drei Komma zwei):

F(3,2) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = ${1 \over{6}}$ + ${1 \over{6}}$ + ${1 \over{6}}$ = ${1 \over{2}}$.

Für 8 jedoch ist der Wert schon 1: F(8) = P(X ≤ 8) = P(X ≤ 6) = f(1) + ... + f(6) = ${1 \over{6}}$ +${1 \over{6}}$+ … + ${1 \over{6}}$ = 1.

Zwischen 2 und 3 ist das Ergebnis der Verteilungsfunkton immer gleich ${1 \over{3}}$ ohne sich zu ändern: F(2,3) = F(2,5) = F(2,9) = P(X ≤ 2) = ${2 \over{6}}$ = ${1 \over{3}}$.

an der Stelle 5 dann bei ${5\over{6}}$:

F(5) = P(X ≤ 5) = ${5 \over{6}}$ usw.

Die Verteilungsfunktion F stellt also die Wahrscheinlichkeiten dar, höchstens eine gewisse Augenzahl zu werfen. Bedeutet also nichts anderes, als dass man eine 1, eine 2, oder eine Zahl x würfelt.

Grafisch stellen sich die kumulierten Werte der Verteilungsfunktion aus unserem Würfelbeispiel so dar:

 Abschließend noch eine Fragen zu Verteilungsfunktionen (die Antworten knüpfen an unser Würfelbeispiel an):

Frage:

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, im oben beschriebenen Experiment maximal k Erfolge zu erzielen?

Antwort:

Immer wird bei Verteilungsfunktionen nach P(X ≤ k) gesucht, was gleich F(k) ist. Bei diskreten Zufallsvariablen berechnet man die Verteilungsfunktion F durch Addieren der Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktion f bis an die Stelle k.

Grafisch stellt es sich folgendermaßen dar:

Desweiteren sei zu beachten, dass sich die B(n,p) (hergeleiet von n unabhängigen B(1,p)) Verteilungen, also aus n unabhängigen Laplace-Verteilungen. Es gilt folgende Reproduktionseigenschaft:

Es seien X₁, X₂, ..., X_k jeweils B(n_i,p)-verteilt und unabhängig voneinander. Dann ist die Summe dieser Zufallsvariablen, also X = X₁ + X₂ + ... + X_k, damit B(n, p)-verteilt, wobei n = n₁ + n₂ + ... + n_k ist.

Die Fragen aus unserem Beispiel, können wir zu folgenden fünf Eigenschaften einer Verteilungsfunktion generalisieren:

Aufgabe:

Die folgenden Aussagen sind entweder richtig oder falsch. Entscheide.

1. Bei einer Verteilungsfunktion zu einer diskreten Zufallsvariablen X setzt sich der Wert F(x) zusammen aus der Summe der Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktion bis an die Stelle x, d.h. F(x) = f(x_i).
   
   

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   Lösung 1:

   Bei einer Verteilungsfunktion zu einer diskreten Zufallsvariablen X setzt sich der Wert F(x) zusammen aus der Summe der Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktion bis an die Stelle x, d.h. F(x) = $\sum_{x_i ≤ x}$f(xi).

   Richtig.

2. Die Werte einer Dichtefunktion, kann man nicht, im Vergleich zu einer Wahrscheinlichkeitsfunktion, als Wahrscheinlichkeiten deuten.
   
   

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   Lösung 2:

   Diese Aussage ist richtig.

3. Bei stetigen Verteilungen, kann man die Wahrscheinlichkeit als Flächeninhalt unterhalb der Verteilungsfunktion interpretieren.
   
   

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   Lösung 3:

   Diese Aussage ist falsch. Eine Wahrscheinlichkeit kann man im stetigen Fall als Flächeninhalt unterhalb der Dichtefunktion verstehen.

4. Die Verteilungsfunktion einer stetigen Verteilung ist immer stetig, während die Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen lediglich linksseitig stetig ist.
   
   

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   Lösung 4:

   Die Verteilungsfunktion einer stetigen Verteilung ist immer stetig, während die Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen lediglich linksseitig stetig ist.

   Falsch. Die Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen ist nur rechtsseitig stetig. Im stetigen Falle ist die Verteilungsfunktion sowohl rechtsseitig, als auch linksseitig stetig und daher insgesamt stetig.