Streuungsparameter

Ein Lageparameter reicht zur Kennzeichnung einer Verteilung nicht aus, denn er gibt lediglich an, um welche Zahl herum die Werte liegen. Die Frage allerdings, ob die Werte weit weg oder nah dran liegen an einem Lageparameter, wird erst beantwortet durch sog. Streuungsparameter. Es existieren

• die Varianz

• die Standardabweichung.

Man muss zunächst die Varianz berechnen, um hieraus die Standardabweichung ermitteln zu können.  

Dies ist jedoch schwerfällig zu rechnen. Deshalb seien folgende Formeln erwähnt:

• Var(X) = $\frac 1 n\sum _{i\;=\;1}^n\;$(x_i - E(X))² für eine diskrete Zufallsvariable X, die die Ausprägungen x₁, x₂, ..., x_n besitzt.

• Var(X) = $\int _{-\infty }^{\infty }\;$ x²·(f(x) - E(X))dx, für eine stetige Zufallsvariable X, wenn f die zugehörige Dichtefunktion ist.

Man schreibt oftmals Var(X) = bzw. kürzer einfach Var (X) = σ². Für das Beispiel des einfachen Würfelwurfes ist die Varianz gegeben durch

Var(X) = (1/6)·$\sum _{i\;=\;1}^6\;$ (x_i – 3,5)²

= (1/6)·[(1 – 3,5)² + (2 – 3,5)² + ... + (6 – 3,5)²]

= (1/6)·[2,5² + 1,5² + ... + 2,5²]

= 2,9167.

Die Standardabweichung σ errechnet sich, wenn die Varianz σ² bekannt sich, durch $\sigma $ =  $\sqrt{\sigma ^2}$. Also erhält man hier $\sigma $ =  $\sqrt{2,9167}$  = 1,7078. Es gibt noch die Möglichkeit, die Varianz über den Steinerschen Verschiebungssatz auszurechnen:

Man erhält mit dieser – anders aussehenden Formel – natürlich das gleiche Ergebnis wie oben:

Var(X) = (1/6)·(1² + 2² + ... + 6²) – (3,5)² = 2,9167.

Varianz und Streuung - diskrete Verteilungen

Verständnis

Stetig

Varianz und Streuung

Übersicht Erwartungswert und Varianz