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Wahrscheinlichkeitsrechnung - Streuungsparameter

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Wahrscheinlichkeitsrechnung

Streuungsparameter

Der Lageparameter alleine ist jedoch zur Beschreibung einer Verteilung nicht genug, weil er nur zeigt, um welche Zahl herum sich die Werte bewegen. Allerdings trifft er keine Aussage darüber wie groß die Streuung dieser Werte ist, also wie nah oder weit sich die Werte von diesem Lageparameter befinden.
Darüber trifft nur der Streuungsparameter eine Aussage. Dabeit gibt es einmal die Varianz und dann die Standardabweichung.

Als erste muss man die Varianz bestimmen, um anschließend den Streuungsparameter errechnen zu können.

Merke

Unter der Varianz einer Zufallsvariablen X versteht man:

Var(X) = E([X - E(X)]2).

Das lässt sich doch nicht so einfache rechnen, darum sollen diese Formeln noch genannt werden:

Für eine diskrete Zufallsvariable X, die die Ausprägungen x1, x2, ..., xn besitzt:

Var(X) = $\frac 1 n\sum _{i\;=\;1}^n\;$(xi - E(X))2


Für eine stetige Zufallsvariable X, wenn f die zugehörige Dichtefunktion ist:

Var(X) = $\int _{-\infty }^{\infty }\;$ x2·(f(x) - E(X))dx,

 

Häufig wird Var(X) = oder kurz Var (X) = σ2 geschrieben.

Beispiel

In unserem Beispiel des einfachen Würfelwurfs berechent sich die Varianz wie folgt:

Var(X) =${1 \over 6}$·$\sum _{i\;=\;1}^6\;$ (xi – 3,5)2 =${1 \over 6}$·[(1 – 3,5)2 + (2 – 3,5)2 + ... + (6 – 3,5)2] = ${1 \over 6}$·[2,52 + 1,52 + ... + 2,52] = 2,9167.

Die Standardabweichung σ kann man bei bekannter Varianz σ2 dann so berecchnen:

$\sigma $ = $\sqrt{\sigma ^2}$

$\sigma $ = $\sqrt{2,9167}$ = 1,7078.

Eine weitere Methode die Varianz zu bestimmen ist über den Verschiebungssatz (oder auch Steinerschen Verschiebungssatz)

Methode

Steinerscher Verschiebungssatz:

Für diskrete Zufallsvariablen X:

Var(X) =$\left(\frac 1 n\sum _{i\;=\;1}^nx_i^2\right) - (E(X))^2$

Für stetige Zufallsvariablen X:

Var(X) = $\int _{-\infty }^{\infty }\;(x^2$·$f(x)) - (E(X))^2$

Wie zu ergibt sich das selbe Ergebnis wie beim oberenn Rechenweg:

Var(X) = ${1 \over 6}$·(12 + 22 + ... + 62) – (3,5)2 = 2,9167.