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Wahrscheinlichkeitsrechnung

Streuungsparameter

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Ein Lageparameter reicht zur Kennzeichnung einer Verteilung nicht aus, denn er gibt lediglich an, um welche Zahl herum die Werte liegen. Die Frage allerdings, ob die Werte weit weg oder nah dran liegen an einem Lageparameter, wird erst beantwortet durch sog. Streuungsparameter. Es existieren

  • die Varianz

  • die Standardabweichung.

Man muss zunächst die Varianz berechnen, um hieraus die Standardabweichung ermitteln zu können.  

Merke

Die Varianz einer Zufallsvariablen X ist definiert als

Var(X) = E([X - E(X)]2).

Dies ist jedoch schwerfällig zu rechnen. Deshalb seien folgende Formeln erwähnt:

  • Var(X) = $\frac 1 n\sum _{i\;=\;1}^n\;$(xi - E(X))2 für eine diskrete Zufallsvariable X, die die Ausprägungen x1, x2, ..., xn besitzt.

  • Var(X) = $\int _{-\infty }^{\infty }\;$ x2·(f(x) - E(X))dx, für eine stetige Zufallsvariable X, wenn f die zugehörige Dichtefunktion ist.

Man schreibt oftmals Var(X) = bzw. kürzer einfach Var (X) = σ2. Für das Beispiel des einfachen Würfelwurfes ist die Varianz gegeben durch

Var(X) = (1/6)·$\sum _{i\;=\;1}^6\;$ (xi – 3,5)2

= (1/6)·[(1 – 3,5)2 + (2 – 3,5)2 + ... + (6 – 3,5)2]

= (1/6)·[2,52 + 1,52 + ... + 2,52]

= 2,9167.

Die Standardabweichung σ errechnet sich, wenn die Varianz σ2 bekannt sich, durch $\sigma $ =  $\sqrt{\sigma ^2}$. Also erhält man hier $\sigma $ =  $\sqrt{2,9167}$  = 1,7078. Es gibt noch die Möglichkeit, die Varianz über den Steinerschen Verschiebungssatz auszurechnen:

Methode

Var(X) =$\left(\frac 1 n\sum _{i\;=\;1}^nx_i^2\right)$ - (E(X))2 im diskreten Fall bzw.

Var(X) = $\int _{-\infty }^{\infty }\;$(x2·f(x)) - (E(X))2 für eine stetige Zufallsvariable X.

Man erhält mit dieser – anders aussehenden Formel – natürlich das gleiche Ergebnis wie oben:

Var(X) = (1/6)·(12 + 22 + ... + 62) – (3,5)2 = 2,9167.

Varianz und Streuung - diskrete Verteilungen

Video: Streuungsparameter

Ein Lageparameter reicht zur Kennzeichnung einer Verteilung nicht aus, denn er gibt lediglich an, um welche Zahl herum die Werte liegen. Die Frage allerdings, ob die Werte weit weg oder nah dran liegen an einem Lageparameter, wird erst beantwortet durch sog. Streuungsparameter. Es existieren die Varianz und die Standardabweichung. Man muss zunächst die Varianz berechnen, um hieraus die Standardabweichung ermitteln zu können.

Verständnis

Video: Streuungsparameter

Ein Lageparameter reicht zur Kennzeichnung einer Verteilung nicht aus, denn er gibt lediglich an, um welche Zahl herum die Werte liegen. Die Frage allerdings, ob die Werte weit weg oder nah dran liegen an einem Lageparameter, wird erst beantwortet durch sog. Streuungsparameter. Es existieren die Varianz und die Standardabweichung. Man muss zunächst die Varianz berechnen, um hieraus die Standardabweichung ermitteln zu können.

Stetig

Video: Streuungsparameter

Ein Lageparameter reicht zur Kennzeichnung einer Verteilung nicht aus, denn er gibt lediglich an, um welche Zahl herum die Werte liegen. Die Frage allerdings, ob die Werte weit weg oder nah dran liegen an einem Lageparameter, wird erst beantwortet durch sog. Streuungsparameter. Es existieren die Varianz und die Standardabweichung. Man muss zunächst die Varianz berechnen, um hieraus die Standardabweichung ermitteln zu können.

Varianz und Streuung

Video: Streuungsparameter

Ein Lageparameter reicht zur Kennzeichnung einer Verteilung nicht aus, denn er gibt lediglich an, um welche Zahl herum die Werte liegen. Die Frage allerdings, ob die Werte weit weg oder nah dran liegen an einem Lageparameter, wird erst beantwortet durch sog. Streuungsparameter. Es existieren die Varianz und die Standardabweichung. Man muss zunächst die Varianz berechnen, um hieraus die Standardabweichung ermitteln zu können.

Übersicht Erwartungswert und Varianz

Video: Streuungsparameter

Ein Lageparameter reicht zur Kennzeichnung einer Verteilung nicht aus, denn er gibt lediglich an, um welche Zahl herum die Werte liegen. Die Frage allerdings, ob die Werte weit weg oder nah dran liegen an einem Lageparameter, wird erst beantwortet durch sog. Streuungsparameter. Es existieren die Varianz und die Standardabweichung. Man muss zunächst die Varianz berechnen, um hieraus die Standardabweichung ermitteln zu können.