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Wahrscheinlichkeiten

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Video: Wahrscheinlichkeiten

Es existieren unterschiedliche Möglichkeiten, eine Wahrscheinlichkeit zu definieren: klassischer Wahrscheinlichkeitsbegriff, axiomatischer Wahrscheinlichkeitsbegriff (= Kolmogoroffscher Wahrscheinlichkeitsbegriff), statistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff, subjektiver Wahrscheinlichkeitsbegriff.

Wir interessieren uns nun für die Frage, welche Wahrscheinlichkeit ein zufälliges Ereignis A besitzt.  

Wahrscheinlichkeitsbegriffe

Es existieren unterschiedliche Möglichkeiten, eine Wahrscheinlichkeit zu definieren:

  • klassischer Wahrscheinlichkeitsbegriff,

  • axiomatischer Wahrscheinlichkeitsbegriff (= Kolmogoroffscher Wahrscheinlichkeitsbegriff),

  • statistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff,

  • subjektiver Wahrscheinlichkeitsbegriff.

Klassischer Wahrscheinlichkeitsbegriff

Merke

 Zunächst zum klassischen Wahrscheinlichkeitsbegriff (= Laplacescher Wahrscheinlichkeitsbegriff), d.h. man zählt die Elemente der Menge A und dividiert dies durch die Anzahl der Elemente von Ω:

$ P(A) = { \textrm{#A} \over {\textrm {#Ω}}} =  {\textrm{Anzahl günstige Fälle} \over {\textrm{Anzahl mögliche Fälle}}}. $

Achtung: wir schreiben im folgenden immer P(A) für die Wahrscheinlichkeit (= Probability) des Ereignisses A. Manche Autoren schreiben eher W(A) (mit W wie Wahrscheinlichkeit).

Beispiel

Beispiel 1:

Beim zweifachen Würfelwurf ist nach der Wahrscheinlichkeit dafür gefragt, eine Augensumme von 7 zu würfeln.  

Die Menge A der günstigen Elemente ist A = {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)} und besteht aus # A = 6 Elementen (hierbei ist „#“ das Anzahlzeichen). Die Menge aller Elementarereignisse Ω besteht aus # Ω = 36 Elementen, d.h. die Wahrscheinlichkeit für A ist $ P(A) = { \textrm{#A} \over {\textrm {#Ω}}} = { 6 \over 36} = { 1 \over 6} $.

Beispiel

Beispiel 2:

Beim dreifachen Münzwurf interessiert man sich für die Wahrscheinlichkeit, dass genau zwei Köpfe fallen.  

Es ist Ω = {K,K,K), (K,K,Z), (K,Z,K), (Z,K,K), (K,Z,Z), (Z,K,Z), (Z,Z,K), (Z,Z,Z)} die Menge der Elementarereignisse, die nach den Regeln der Kombinatorik (Variation mit Wiederholung) aus nk = 23 = 8 Ereignissen besteht. Das Ereignis A, dass genau zwei Köpfe fallen, wird bezeichnet durch A = {(K,K,Z), (K,Z,K), (Z,K,K)} mit # A = 3, die Wahrscheinlichkeit für A ist damit P(A) = P(genau zwei Köpfe fallen) = ${\textrm{#A} \over {\textrm {#Ω}}} = {3 \over 8} $ = 0,375.

Voraussetzungen des klassischen Wahrscheinlichkeitsbegriffs

  • die Ergebnismenge Ω hat nur endlich viele Elemente

  • die Elemente von Ω, also die sogenannten Elementarereignisse, sind gleichwahrscheinlich.

Diese Bedingungen bereiten bei vielen Experimenten Schwierigkeiten. Es gibt nämlich Situationen, in denen der klassische Wahrscheinlichkeitsbegriff nicht anwendbar ist, so z.B. wenn A nicht endlich viele Elemente hat (und damit Ω erst recht nicht) oder die Elementarereignisse nicht gleichwahrscheinlich sind.

Axiomatischer Wahrscheinlichkeitsbegriff

Man behilft sich dann mit dem

Merke

Kolmogoroffschen Wahrscheinlichkeitsbegriff (= axiomatischer Wahrscheinlichkeitsbegriff)

Die Axiome lauten

1. P(A) ≥ 0 für alle Ereignisse A

2. P(Ω) = 1

3. P(A1 $\cup$ A2 $\cup$ ...) = P(A1) + P(A2) + ... für endlich viele bzw. für abzählbar unendlich viele paarweise disjunkte Ereignisse, d.h. für die Ai $\cap$ Aj = Ø gilt, wenn i ≠ j ist.

MERKE:

  • Das dritte Axiom lässt sich für endlich viele Ai auch lesen als P(A1 $\cup$ A2 $\cup$ ... $\cup$ An) = P(A1) + P(A2) + ... + P(An) für paarweise disjunkte Ereignisse.

  • Ein Axiom ist ein Gesetz, das sich nicht beweisen lässt. Man muss es also hinnehmen, alles weitere lässt sich auf diesen Axiomen aufbauen, d.h. beweisen. Wenn man ein Axiom nicht hinnimmt, d.h. als falsch ansieht, so muss man alles, was sich nur mit diesem Axiom beweisen lässt, verwerfen.

Statistische Wahrscheinlichkeitsbegriff

Der statistische Wahrscheinlichkeitsbegriff lässt sich mit einem Beispiel motivieren:

Beispiel

Bei einer Münze ist unbekannt, ob sie fair ist oder nicht, d.h. ob die Wahrscheinlichkeit für Kopf sowie für Zahl genau gleich ½ ist.

Wie kann man herausfinden, welche Wahrscheinlichkeit die Ereignisse Kopf bzw. Zahl besitzen?

Um sich eine Vorstellung hiervon zu machen, kann man die Münze einfach 100-mal werfen und die Anzahl der gefallenen Köpfe und Zahlen aufschreiben. Sollten z.B. genau 30 Köpfe gefallen sein, so würde man als Anhaltspunkt (nicht als genauen Wert!) die Zahl 30/100= 0,3 für P(Kopf) nehmen; entsprechend ${70\over{100}}$ = 0,7 für P(Zahl). Genauer: als Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von A definiert man den Grenzwert der relativen Häufigkeit des Eintretens dieses Ereignisses bei zunehmender Anzahl von Wiederholungen des Zufallsexperiments, d.h. P(ω) = $ {\lim_{n \to \infty}{h_n} (ω)}$ .

Merke

Da die Münze lediglich endlich oft gewürfelt werden kann, ist der Grenzwert in der Praxis nicht ausrechenbar. Insbesondere ist nicht gesichert, dass dieser Grenzwert überhaupt existiert.

Folgende Aussage ist hingegen möglich und aus dem statistischen Wahrscheinlichkeitsbegriff herleitbar: die Wahrscheinlichkeit ist der beste Schätzwert, den man für die relative Häufigkeit in einer langen Zufallsversuchsreihe angeben kann.

Subjektiver Wahrscheinlichkeitsbegriff

Merke

Unter der subjektiven Wahrscheinlichkeit verwendet man den Überzeugtheitsgrad einer Person bei Eintreten eines zufälligen Ereignisses, so z.B. eine Expertenmeinung.

Nachfolgend nochmal ein Überblick über die verschiedenen Wahrscheinlichkeitsbegriffe:

Video: Wahrscheinlichkeiten

Es existieren unterschiedliche Möglichkeiten, eine Wahrscheinlichkeit zu definieren: klassischer Wahrscheinlichkeitsbegriff, axiomatischer Wahrscheinlichkeitsbegriff (= Kolmogoroffscher Wahrscheinlichkeitsbegriff), statistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff, subjektiver Wahrscheinlichkeitsbegriff.
Multiple-Choice

Beim Wahrscheinlichkeitsbegriff nach Kolmogoroff spielen sog. Axiome eine Rolle. Was versteht man hierunter? 

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Autor: Daniel Lambert

Dieses Dokument Wahrscheinlichkeiten ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Dipl.-Math. Dipl.-Kfm. Daniel Lambert gibt seit vielen Jahren Kurse zur Prüfungsvorbereitung. Er unterrichtet stets orientiert an alten Prüfungen und weiß aus langjähriger Erfahrung, wie sich komplexe Sachverhalte am besten aufbereiten und vermitteln lassen. Daniel Lambert ist Repetitor aus Leidenschaft seit nunmehr 20 Jahren.
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    "Weiter so!! viele Grüße aus Nürnberg"

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