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Wahrscheinlichkeitsrechnung

Wahrscheinlichkeiten

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Jetzt stellen wir uns die Frage, welche Wharscheinlichkeit ein zufälliges Ereignis A hat.

Wahrscheinlichkeitsbegriffe

Um eine Wahrscheinlichkeit zu definieren, gibt es verschiedene Möglichkeite:

  • klassischer Wahrscheinlichkeitsbegriff,

  • axiomatischer Wahrscheinlichkeitsbegriff (= Kolmogoroffscher Wahrscheinlichkeitsbegriff),

  • statistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff,

  • subjektiver Wahrscheinlichkeitsbegriff.

Klassischer Wahrscheinlichkeitsbegriff

Merke

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Der klassische Wahrscheinlichkeitsbegriff (= Laplacescher Wahrscheinlichkeitsbegriff) ist definiert als Quotient einer Menge A durch die Anzahl der Elemente von Ω:

$ P(A) = { \textrm{#A} \over {\textrm {#Ω}}} =  {\textrm{Anzahl günstige Fälle} \over {\textrm{Anzahl mögliche Fälle}}}. $

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Hier nutzen wir den Ausdruck P(A) (=Probability) eines Ereignisses A, andere Autoren gebrauchen eher W(A) (W=Wahrscheinlichkeit).

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Beispiel 1:

Aus einer Urne mit drei unterschiedlich farbingen Kugeln (Rot, Gelb, Blau) wird zweimal mit Zurücklegen der Kugeln gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird zweimal die selbe Farbe gezogen?

$Ω$ = {(R,R), (R,G), (R,B), (G,R), (G,G), (G,B), (B,R), (B,G), (B,B)} ist die Menge aller möglichen Elementarereignisse .

Das Ereignis A ist die Menge aller günstigen Ereignisse $A$ = {(R,R), (G,G), (B,B)}.

So ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit von $P(A)$ = $P$ (zwei gleiche Farben) = ${\textrm{#A} \over {\textrm {#Ω}}} = {3 \over 9} = {1 \over 3}$

Beispiel

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Beispiel 2:

Aus einer Tüte mit vier übriggeblieben Buchstabenkeksen (A,B,C,D) sollen alle gezogen werden, wobei sie nicht zurückgelegt werden dürfen. Wie groß ist die Wharscheinlickeit, dass die ersten beiden gezogenen Buchstaben A oder B sind.

# $Ω = {N! \over {(N-n)!}} = {4! \over {(4-4)!}} = 24 $ mögliche Ereignisse.

Die Menge A der günstigen Elemente ist A = {(A,B,C,D),(A,B,D,C),(B,A,C,D),(B,A,D,C)} und besteht aus # A = 4 Elementen ( „#“ = Anzahlzeichen).

So ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit von $P(A)$ = $P$ ((A,B,*,*,); (B,A,*,*)) = ${\textrm{#A} \over {\textrm {#Ω}}} = {4 \over 24} = {1 \over 6}$

Für den klassischen Wahrscheinlichkeitsbegriffs muss folgendes erfüllt sein:

  1. die Ergebnismenge Ω hat nur endlich viele Elemente

  2. alle Elementarereignisse der Ergebnismenge Ω sind gleichwahrscheinlich.

Bei vielen Experimenten führen diese Voraussetzungen allerdings zu Problemen, sodass der klassische Wahrscheinlichkeitsbegriff nicht anwendbar ist. Daher muss man auf andere Wahrscheinlichkeitsbegriffe zurückgreifen.

Axiomatischer Wahrscheinlichkeitsbegriff

So bedient man dem Axiomatischer Wahrscheinlichkeitsbegriff (= Kolmogoroffscher Wahrscheinlichkeitsbegriff )

Die Axiome lauten:

  1. P(A) ≥ 0 für alle Ereignisse A
  2. P(Ω) = 1
  3. P(A1 $\cup$ A2 $\cup$ ...) = P(A1) + P(A2) + ... für endlich viele bzw. für abzählbar unendlich viele paarweise disjunkte Ereignisse, d.h. für die Ai $\cap$ Aj = Ø gilt, wenn i ≠ j ist.

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Das dritte Axiom lässt sich für endlich viele Ai auch lesen als P(A1 $\cup$ A2 $\cup$ ... $\cup$ An) = P(A1) + P(A2) + ... + P(An) für paarweise disjunkte Ereignisse.

Unter einem Axiom versteht man ein Gesetz, welches nicht beweisbar ist. Dieses muss akzeptiert werden! Alles andere, was darauf gründet lässt sich wiederum beweisen. Somit muss alles, was darauf beruht, verworfen werden, wenn dieses Axiom nicht als wahr betrachtet wird.

Statistische Wahrscheinlichkeitsbegriff

Der statistische Wahrscheinlichkeitsbegriff lässt sich mit einem Beispiel motivieren:

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Man weiß nicht, ob ein Würfel geszinkt ist oder nicht, also ob die Wahrscheinlichkeit für jede Seite gleich $1 \over 6$ ist.

Wie kann man nun herausfinden, wie die Wahrscheinlichkeit für jede Würfelseite ist?

Um dies Herauszufinden, kann man den Würfel einfach 1000-mal werfen und die Anzahl der geworfenen Augenzahl notieren. Ist die Anzahl der gewürfelten sechsen bspw. 250, so würde man als Anhaltspunkt (nicht als exakten Wert!) die Zahl $P(6) = {250 \over 1000}$ = 0,25 nehmen. Für die anderen Zahlen täte man entsprechendes

So definiert man das Eintreten eines Ereignisses A als Grenzwert der relativen Häufigkeit des Eintretens dieses Ereignisses bei zunehmender Anzahl von Wiederholungen des Zufallsexperiments:

$P(ω) = {\lim_{n \to \infty}{h_n} (ω)}$

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Weil der Würfel nur endlich oft geworfen werden kann, ist der Grenzwert in der Praxis nicht ausrechenbar. Vorallem ist die Existenz des Grenzwertes überhaupt nicht sicher.

Man kann jedoch sagen, dass der beste Schätzwert aus der relativen Häufigkeit einer langen Zufallsversuchsreihe die Wahrscheinlichkeit ist.

Subjektiver Wahrscheinlichkeitsbegriff

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Als subjektive Wahrscheinlichkeit versteht man den subjektiven Gard an Überzeugung einer Person für oder gegen das Eintreffen eines Ereignisses.

Nachfolgend nochmal ein Überblick über die verschiedenen Wahrscheinlichkeitsbegriffe:

Video: Wahrscheinlichkeiten