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Wahrscheinlichkeitsrechnung - Übungsaufgaben zu Ereignissen

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Wahrscheinlichkeitsrechnung

Übungsaufgaben zu Ereignissen

Inhaltsverzeichnis

Aufgabe 1:

Es werde eine faire Münze mit den Seiten Kopf und Zahl insgesamt dreimal geworfen. Gib folgendes an:

a) die Ereignismenge.

b) Berechne mit den Regeln der Kombinatorik, aus wie vielen Elementen sie bestehen muss

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Lösung:

a) Die Menge der ElementarEreignisse sieht folgendermaßen aus: Ω = {(K,K,K), (K,K,Z), (K,Z,K), (Z,K,K), (K,Z;Z), (Z,Z,K), (Z,K,Z), (Z,Z,Z)}.

b) Es gibt insgesamt # Ω = 23 Elementareignisse, denn in jedem einzelnen Wurf sind es 2 Möglichkeiten. Da die Würfe unabhängig voneinander sind, gibt es insgesamt 2·2·2 = 8 Möglichkeiten.

Aufgabe 2:

Wirf eine faire Münze mit den Seiten Kopf und Zahl dreimal.

a) Gib folgende Ereignisse explizit an:

  • A: Zahl kommt häufiger vor als Kopf

  • B: Kopf tritt häufiger ein als Zahl

  • C: es fallen genau zwei Köpfe

  • D: insgesamt erscheint dreimal Zahl

b) Beschreibe verbal und analytisch folgende Ereignisse:

  • A $\cap B, A \cup B, \overline{A}, \overline{D}$,

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Lösung:

a) Hiervon sind in den Mengen A, B, C und D folgende Elementarereignisse enthalten:

  • A = {(Z,Z,K), (Z,K,Z), (Z,Z,Z), (K,Z,Z)}

  • B = {(K,K,Z), (K,Z,K), (K,K,K), (Z,K,K)}

  • C = {(K,K,Z), (K,Z,K), (Z,K,K)}

  • D = {(Z,Z,Z)}

b) A $\cap$ B: Darunter versteht man die Menge aller Ereignisse, die sowohl in A als auch in B vertreten sind. In der vorliegenden Aufgabe gibt es kein Ereignis, das sowohl in A als auch in B vertreten ist, woraus folgt, dass A $\cap$ B = Ø, also die leere Menge, ist.

Unter A $\cup$ B versteht man die Menge der Ereignisse, die entweder

  • in A

  • oder in B

  • oder in beiden Mengen

enthalten sind.

Im Falle der Aufgabenstellung sind dies folgende Ereignisse:

Ω = {( Z,Z,K), (Z,K,Z), (Z,Z,Z), (K,Z,Z), (K,K,Z), (K,Z,K), (K,K,Z), (Z,K,K)}

$\overline{D}$ enthält alle Ereignisse außer das Ereignis D, also alles außer (Z,Z,Z).

Dies sind folgende Ereignisse:

Ω = {( Z,Z,K), (Z,K,Z), (Z,Z,Z), (K,Z,Z), (K,K,Z), (K,Z,K), (K,K,Z), (Z,K,K)}

$\overline{A}$ enthält demnach alle Ereignisse mit Ausnahme des Ereignisses A selbst, also:

$\overline{A}$= {( K,K,Z),(K,Z,K),(Z,K,K),(K,K,K)}.

Aufgabe 3:

Überprüfen Sie diese Aussagen auf Wahrheitsgehalt:

a) Wenn ein Ereignis die Wahrscheinlichkeit null aufweist, ist es unmöglich und umgekehrt.

b) In einem Venn-Diagramm lassen sich bestimmte Wahrscheinlichkeiten visualisieren.

c) Die de Morganschen Regeln besagen z.B., dass das Komplement des Schnitts zweier Ereignisse gleich ist dem Schnitt der Komplemente der Ereignisse.

d) Das Ereignis A $\cup$ B bedeutet, dass entweder Ereignis A oder Ereignis B eintritt.

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Lösung:

a) Wenn ein Ereignis die Wahrscheinlichkeit null aufweist, ist es unmöglich und umgekehrt.

Falsch. Es gibt Ereignisse, die die Wahrscheinlichkeit null aufweisen und trotzdem möglich sind! So ist z.B. die Wahrscheinlichkeit, dass bei unendlich (!) – fachen Münzwurf immer „Kopf“ fällt, durchaus ein mögliches Ereignis (wenngleich auch sehr unwahrscheinlich). Es hat allerdings die Wahrscheinlichkeit null.

b) In einem Venn-Diagramm lassen sich bestimmte Wahrscheinlichkeiten visualisieren.

Richtig.

c) Die de Morganschen Regeln besagen z.B., dass das Komplement des Schnitts zweier Ereignisse gleich ist dem Schnitt der Komplemente der Ereignisse.

Falsch. Sie besagt, dass das Komplement des Schnitts zweier Ereignisse gleich ist der Vereinigung der Komplemente der Ereignisse, in Zeichen: (A $\cap$ B)C = AC $\cup$ BC.

d) Das Ereignis A $\cup$ B bedeutet, dass entweder Ereignis A oder Ereignis B eintritt.

Falsch. Das Vereinigt-Zeichen „$\cup$“ bedeutet in der Statistik (so wie generell in der Mathematik) ein „einschließendes Oder“. A $\cup$ B heißt also,

  • dass A eintritt, oder

  • dass B eintritt oder

  • dass A und B beide gleichzeitig eintreten.