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Übungsaufgaben zu Ereignissen

WebinarTerminankündigung aus unserem Online-Kurs Volks- und Betriebswirtschaft:
 Am 12.01.2017 (ab 18:00 Uhr) findet unser nächstes Webinar statt.
Gratis-Webinar Grundbegriffe der Bilanzierung
- In diesem 60-minütigen Gratis-Webinar gibt Daniel Lambert einen Überblick über die zentralen Begriffe der Bilanzierung - hier im Besonderen dem Bilanzausweis.
[weitere Informationen] [Terminübersicht]

Aufgabe 1:

Es werde eine faire Münze mit den Seiten Kopf und Zahl insgesamt dreimal geworfen. Gib folgendes an:

a) die Ereignismenge.

b) Berechne mit den Regeln der Kombinatorik, aus wie vielen Elementen sie bestehen muss

Lösung:

a) Die Menge der ElementarEreignisse sieht folgendermaßen aus: Ω = {(K,K,K), (K,K,Z), (K,Z,K), (Z,K,K), (K,Z;Z), (Z,Z,K), (Z,K,Z), (Z,Z,Z)}.

b) Es gibt insgesamt # Ω = 23 Elementareignisse, denn in jedem einzelnen Wurf sind es 2 Möglichkeiten. Da die Würfe unabhängig voneinander sind, gibt es insgesamt 2·2·2 = 8 Möglichkeiten.

Aufgabe 2:

Wirf eine faire Münze mit den Seiten Kopf und Zahl dreimal.

a) Gib folgende Ereignisse explizit an:

  • A: Zahl kommt häufiger vor als Kopf

  • B: Kopf tritt häufiger ein als Zahl

  • C: es fallen genau zwei Köpfe

  • D: insgesamt erscheint dreimal Zahl

b) Beschreibe verbal und analytisch folgende Ereignisse:

  • A $\cap B, A \cup B, \overline{A}, \overline{D}$,

Lösung:

a) Hiervon sind in den Mengen A, B, C und D folgende Elementarereignisse enthalten:

  • A = {(Z,Z,K), (Z,K,Z), (Z,Z,Z), (K,Z,Z)}

  • B = {(K,K,Z), (K,Z,K), (K,K,K), (Z,K,K)}

  • C = {(K,K,Z), (K,Z,K), (Z,K,K)}

  • D = {(Z,Z,Z)}

b) A $\cap$ B: Darunter versteht man die Menge aller Ereignisse, die sowohl in A als auch in B vertreten sind. In der vorliegenden Aufgabe gibt es kein Ereignis, das sowohl in A als auch in B vertreten ist, woraus folgt, dass A $\cap$ B = Ø, also die leere Menge, ist.

Unter A $\cup$ B versteht man die Menge der Ereignisse, die entweder

  • in A

  • oder in B

  • oder in beiden Mengen

enthalten sind.

Im Falle der Aufgabenstellung sind dies folgende Ereignisse:

Ω = {( Z,Z,K), (Z,K,Z), (Z,Z,Z), (K,Z,Z), (K,K,Z), (K,Z,K), (K,K,Z), (Z,K,K)}

$\overline{D}$ enthält alle Ereignisse außer das Ereignis D, also alles außer (Z,Z,Z).

Dies sind folgende Ereignisse:

Ω = {( Z,Z,K), (Z,K,Z), (Z,Z,Z), (K,Z,Z), (K,K,Z), (K,Z,K), (K,K,Z), (Z,K,K)}

$\overline{A}$ enthält demnach alle Ereignisse mit Ausnahme des Ereignisses A selbst, also:

$\overline{A}$= {( K,K,Z),(K,Z,K),(Z,K,K),(K,K,K)}.

Aufgabe 3:

Überprüfen Sie diese Aussagen auf Wahrheitsgehalt:

a) Wenn ein Ereignis die Wahrscheinlichkeit null aufweist, ist es unmöglich und umgekehrt.

b) In einem Venn-Diagramm lassen sich bestimmte Wahrscheinlichkeiten visualisieren.

c) Die de Morganschen Regeln besagen z.B., dass das Komplement des Schnitts zweier Ereignisse gleich ist dem Schnitt der Komplemente der Ereignisse.

d) Das Ereignis A $\cup$ B bedeutet, dass entweder Ereignis A oder Ereignis B eintritt.

Lösung:

a) Wenn ein Ereignis die Wahrscheinlichkeit null aufweist, ist es unmöglich und umgekehrt.

Falsch. Es gibt Ereignisse, die die Wahrscheinlichkeit null aufweisen und trotzdem möglich sind! So ist z.B. die Wahrscheinlichkeit, dass bei unendlich (!) – fachen Münzwurf immer „Kopf“ fällt, durchaus ein mögliches Ereignis (wenngleich auch sehr unwahrscheinlich). Es hat allerdings die Wahrscheinlichkeit null.

b) In einem Venn-Diagramm lassen sich bestimmte Wahrscheinlichkeiten visualisieren.

Richtig.

c) Die de Morganschen Regeln besagen z.B., dass das Komplement des Schnitts zweier Ereignisse gleich ist dem Schnitt der Komplemente der Ereignisse.

Falsch. Sie besagt, dass das Komplement des Schnitts zweier Ereignisse gleich ist der Vereinigung der Komplemente der Ereignisse, in Zeichen: (A $\cap$ B)C = AC $\cup$ BC.

d) Das Ereignis A $\cup$ B bedeutet, dass entweder Ereignis A oder Ereignis B eintritt.

Falsch. Das Vereinigt-Zeichen „$\cup$“ bedeutet in der Statistik (so wie generell in der Mathematik) ein „einschließendes Oder“. A $\cup$ B heißt also,

  • dass A eintritt, oder

  • dass B eintritt oder

  • dass A und B beide gleichzeitig eintreten.

Bild von Autor Daniel Lambert

Autor: Daniel Lambert

Dieses Dokument Übungsaufgaben zu Ereignissen ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Dipl.-Math. Dipl.-Kfm. Daniel Lambert gibt seit vielen Jahren Kurse zur Prüfungsvorbereitung. Er unterrichtet stets orientiert an alten Prüfungen und weiß aus langjähriger Erfahrung, wie sich komplexe Sachverhalte am besten aufbereiten und vermitteln lassen. Daniel Lambert ist Repetitor aus Leidenschaft seit nunmehr 20 Jahren.
Vorstellung des Online-Kurses WahrscheinlichkeitsrechnungWahrscheinlichkeitsrechnung
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    Ein Kursnutzer am 23.07.2015:
    "Weiter so!! viele Grüße aus Nürnberg"

  • Gute Bewertung für Wahrscheinlichkeitsrechnung

    Ein Kursnutzer am 08.06.2015:
    "Ich finde, dass Herrn Lambert eine große Gabe hat, schwierige Sachverhalte einfach und strukturiert wiederzugeben. Man gewinnt außerdem den Eindruck, dass er Spaß an der Erklärung hat und an wichtiger Stelle die Fokussierung mit Witz und Präzision in der Wortwahl den Stoff einleuchtend vermittelt. Ich würde mal sagen, das war ein ganz schön dickes LOB! :-) Danke! "

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    Ein Kursnutzer am 19.01.2015:
    "Super toll , besser als ein Buch"

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