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Wahrscheinlichkeitsrechnung - Übungsaufgaben zu Ereignissen

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Wahrscheinlichkeitsrechnung

Übungsaufgaben zu Ereignissen

Inhaltsverzeichnis

Aufgabe 1:

Aus einer Urne mit 3 unterschiedlich farbingen Kugeln (Rot, Gelb, Blau) wird zweimal mit Zurücklegen der Kugeln gezogen.

Gib folgendes an:

  1. die Ereignismenge.
  2. Berechne mit den Regeln der Kombinatorik, aus wie vielen Elementen sie bestehen muss

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Lösung 1a:

Die Ergebnisenge der aller ElementarEreignisse lautet

$Ω$ = {(R,R), (R,G), (R,B), (G,R), (G,G), (G,B), (B,R), (B,G), (B,B)}.

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Lösung 1b:

Es gibt insgesamt $Ω=3^2=3⋅3=9$ mögliche Elementareignisse. Bei jedem Zug aus der Urne sind 3 Farben möglich, da die Kugel nach dem ersten Zug wieder zurückgelegt wird.

Aufgabe 2:

Aus einer Urne mit 3 unterschiedlich farbingen Kugeln (Rot, Gelb, Blau) wird zweimal mit Zurücklegen der Kugeln gezogen.

  1. Gib folgende Ereignisse explizit an:
    • $A$: zweimal die selbe Farbe
    • $B$: mindestens einmal gelb
    • $C$: einmal gelb
    • $D$: die erste Farbe ist blau

  2. Beschreibe verbal und analytisch folgende Ereignisse:
    • $A \cap B$
    • $A \cup B$,
    • $\overline{D}$
    • $\overline{A}$,

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Lösung 2a:

Hiervon sind in den Mengen A, B, C und D folgende Elementarereignisse enthalten:

$A$ = {(R,R), (G,G), (B,B)}
$B$ = {(R,G), (G,R), (G,G), (G,B), (B,G)}
$C$ = {(R,G), (G,R), (G,B), (B,G)}
$D$ = {(B,R), (B,G), (B,B)}

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Lösung 2b:

  1. $A \cap B$ : Die Menge aller Ereignisse, die sowohl in A als auch in B vorhanden sind.
    • Hier also $A \cap B$= {(G,G)}

  2. Unter $A \cup B$ ist die Menge der Ereignisse gemeint, die entweder in $A$ oder in $B$ oder in beiden Mengen enthalten sind. Für diese Aufgabe:
    • $Ω$ = {(R,R), (G,G), (B,B), (R,G), (G,R), (G,G), (G,B), (B,G)}

  3. $\overline{D}$ enthält alle Ereignisse außer das Ereignis $D$. Ergo folgende Ereignisse:
    • $Ω$ = {(R,R), (R,G), (R,B), (G,R), (G,G), (G,B)}

  4. $\overline{A}$enthält demnach alle Ereignisse mit Ausnahme des Ereignisses $A$ selbst:
    • $\overline{A}$ = {(R,G), (R,B), (G,R), (G,B), (B,R), (B,G)}

Aufgabe 3:

Überprüfen Sie diese Aussagen auf Wahrheitsgehalt:

  1. Wenn ein Ereignis die Wahrscheinlichkeit null aufweist, ist es unmöglich und umgekehrt.
  2. In einem Venn-Diagramm lassen sich bestimmte Wahrscheinlichkeiten visualisieren.
  3. Die de Morganschen Regeln besagen z.B., dass das Komplement des Schnitts zweier Ereignisse gleich ist dem Schnitt der Komplemente der Ereignisse.
  4. Das Ereignis A $\cup$ B bedeutet, dass entweder Ereignis A oder Ereignis B eintritt.

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Lösung 3:
  1. Wenn ein Ereignis die Wahrscheinlichkeit null aufweist, ist es unmöglich und umgekehrt.

    Falsch. Es gibt Ereignisse, die die Wahrscheinlichkeit null aufweisen und trotzdem möglich sind! So ist z.B. die Wahrscheinlichkeit, dass bei unendlich (!) – fachen Münzwurf immer „Kopf“ fällt, durchaus ein mögliches Ereignis (wenngleich auch sehr unwahrscheinlich). Es hat allerdings die Wahrscheinlichkeit null.

  2. In einem Venn-Diagramm lassen sich bestimmte Wahrscheinlichkeiten visualisieren.
    Richtig.

  3. Die de Morganschen Regeln besagen z.B., dass das Komplement des Schnitts zweier Ereignisse gleich ist dem Schnitt der Komplemente der Ereignisse.

    Falsch. Sie besagt, dass das Komplement des Schnitts zweier Ereignisse gleich ist der Vereinigung der Komplemente der Ereignisse, in Zeichen: (A $\cap$ B)C = AC $\cup$ BC.

  4. Das Ereignis A $\cup$ B bedeutet, dass entweder Ereignis A oder Ereignis B eintritt.

    Falsch. Das Vereinigt-Zeichen „$\cup$“ bedeutet in der Statistik (so wie generell in der Mathematik) ein „einschließendes Oder“. A $\cup$ B heißt also,
    - dass A eintritt, oder
    - dass B eintritt oder
    - dass A und B beide gleichzeitig eintreten.