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Wahrscheinlichkeitsrechnung - Gesetz der großen Zahlen

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Wahrscheinlichkeitsrechnung

Gesetz der großen Zahlen

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Video: Gesetz der großen Zahlen

Grundlagen

Im Folgenden unterstellen wir, dass Xi unabhängig, identisch verteilte Zufallsvariablen sind. Die neue Zufallsvariable $\overline X_n$ =  $\frac 1 n\sum _{i\;=\;1}^nX_i$ bezeichnet das arithmetische Mittel dieser Zufallsvariablen.

Beispiel

Beispiel

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Wir werfen eine faire Münze n mal. Wenn Kopf fällt, ist die Zufallsvariable Xi, die das Ergebnis des i. Wurfs angibt, gleich 1, bei Zahl ist sie gleich null (Kopf werfen ist also hier der Erfolg):

Xi = $\left\{\genfrac{}{}{0pt}{0}{1,\ \ \ \mathit{Kopf}}{0,\ \ \ \mathit{Zahl}}\right.$.

  • Beispielsweise ist dann bei n = 5 maligem Werfen ein mögliches Ergebnis unter vielen (1,0,0,1,1), d.h. dass im ersten, vierten und fünften Wurf Kopf fällt, in allen anderen Würfen Zahl.

  • Das arithmetische Mittel $\overline X_n$ =  $\frac 1 n\sum _{i\;=\;1}^nX_i$ ist dann =$1\over{5}$ (1 + 0 + 0 + 1 + 1) = 0,6. Man weiß also durch die Summe der Zufallsvariablen  $\frac 1 n\sum _{i\;=\;1}^nX_i$ = 1 + 0 + 0 + 1 + 1 = 3, dass insgesamt dreimal Kopf fiel. Man weiß jedoch nicht, in welchen Würfen genau.

  • Durch die Zufallsvariable des arithmetischen Mittels $\overline X$ ist bekannt, dass in fast der Hälfte der Fälle, nämlich in 60 %, Kopf fiel. $\overline X$ misst also die relative Häufigkeit des Eintretens des Ereignisses Kopf.

Bei der von Misesschen Wahrscheinlichkeitsdefinition hatten wir das Problem angesprochen, mit der Zufallsvariablen $\overline X$ (die eine relative Häufigkeit angibt) für immer größeres n die Wahrscheinlichkeit für Kopf zu messen. Bei fünfmaligem Werfen würden wir sagen, dass P(Kopf) = 0,6 ist, wenn z.B. (1,1,0,0,1) fällt. Bei zwanzigfachem Werfen, also für deutlich größeres n, könnte (1,0,0,1,0,0,1,1,1,1,0,0,0,1,1,1,0,0,1,1) das Ergebnis sein, d.h. $\overline X_{20}$ =  $\frac{11}{20}$ = 55 %. Also könnte man durch die Erhöhung der Anzahl der Würfe näher drankommen an das, was man sich bei einem fairen Würfel erhofft, nämlich P(Kopf) = 50 %. Es ist aber selbstverständlich auch möglich, dass bei n = 20 fachem Wurf das Ergebnis ganz anders lautet, nämlich bspw. (1,1,1,0,0,0,0,1,1,0,0,1,1,0,1,0,0,0,0,0), d.h. $\overline X_{20}$ =  $\frac{8}{20}$ = 40 %. Wir lägen dann also weiter weg von der erhofften (und bei einem fairen Würfel richtigen) Zahl P(Kopf) = 50 %. Das folgende Gesetz, nämlich das schwache Gesetz der großen Zahlen, zeigt uns, dass diese Situation jedoch für immer größeres n immer unwahrscheinlicher wird.

Schwaches Gesetz der großen Zahlen

Schwaches Gesetz der großen Zahlen

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Es sei Xunabhängig, identisch verteilte Zufallsvariablen mit bekanntem Erwartungswert und bekannter Varianz. Dann gilt
$\lim _{n\;\rightarrow \;\infty }\;$ P($\overline X_n$| - E(Xi)| ≥ c) = 0 für alle c > 0
bzw. äquivalent hierzu
$\lim _{n\;\rightarrow \;\infty }\;$ P($\overline X_n$| - E(Xi)| ≤ c) = 1 für alle c > 0.

In Worten:

  • die Wahrscheinlichkeit, dass die Abweichung des arithmetischen Mittels $\overline X_n$ vom Erwartungswert E(Xi) der einzelnen Zufallsvorgänge größer oder gleich einer beliebigen, fest vorgegebenem Wert c ist, (der echt größer als null sein muss!), konvergiert gegen 0 (oberer Grenzwert).

  • die Wahrscheinlichkeit, dass die Abweichung des arithmetischen Mittels $\overline X_n$ vom Erwartungswert E(Xi) der einzelnen Zufallsvorgänge kleiner oder gleich einer beliebigen, fest vorgegebenem Wert c ist, (der echt größer als null sein muss!), konvergiert gegen 1 (unterer Grenzwert)

Angewendet auf unser Beispiel heißt dies, dass E(Xi) = ½ (da die Münze fair ist). Die Abweichung |$\overline X_n$ - E(Xi)| wird immer kleiner, d.h. $\overline X_n$ wird, wenn n immer größer wird, nahe bei ½ liegen.

Merke

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In diesem Sinne konvergiert die relative Häufigkeit $\overline X_n$ gegen die Wahrscheinlichkeit P(Xi), das von Misesche Verständnis einer Wahrscheinlichkeit ist also wegen des schwachen Gesetzes der großen Zahlen berechtigt.