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Gesetz der großen Zahlen

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Video: Gesetz der großen Zahlen

Im Folgenden unterstellen wir, dass Xi unabhängig, identisch verteilte Zufallsvariablen sind. Die neue Zufallsvariable $\overline X_n$ = $\frac 1 n\sum _{i\;=\;1}^nX_i$ bezeichnet das arithmetische Mittel dieser Zufallsvariablen.

Grundlagen

Im Folgenden unterstellen wir, dass Xi unabhängig, identisch verteilte Zufallsvariablen sind. Die neue Zufallsvariable $\overline X_n$ =  $\frac 1 n\sum _{i\;=\;1}^nX_i$ bezeichnet das arithmetische Mittel dieser Zufallsvariablen.

Beispiel

Beispiel

Wir werfen eine faire Münze n mal. Wenn Kopf fällt, ist die Zufallsvariable Xi, die das Ergebnis des i. Wurfs angibt, gleich 1, bei Zahl ist sie gleich null (Kopf werfen ist also hier der Erfolg):

Xi = $\left\{\genfrac{}{}{0pt}{0}{1,\ \ \ \mathit{Kopf}}{0,\ \ \ \mathit{Zahl}}\right.$.

  • Beispielsweise ist dann bei n = 5 maligem Werfen ein mögliches Ergebnis unter vielen (1,0,0,1,1), d.h. dass im ersten, vierten und fünften Wurf Kopf fällt, in allen anderen Würfen Zahl.

  • Das arithmetische Mittel $\overline X_n$ =  $\frac 1 n\sum _{i\;=\;1}^nX_i$ ist dann $\overlune{x_5}$=$1\over{5}$ (1 + 0 + 0 + 1 + 1) = 0,6. Man weiß also durch die Summe der Zufallsvariablen  $\frac 1 n\sum _{i\;=\;1}^nX_i$ = 1 + 0 + 0 + 1 + 1 = 3, dass insgesamt dreimal Kopf fiel. Man weiß jedoch nicht, in welchen Würfen genau.

  • Durch die Zufallsvariable des arithmetischen Mittels $\overline X$ ist bekannt, dass in fast der Hälfte der Fälle, nämlich in 60 %, Kopf fiel. $\overline X$ misst also die relative Häufigkeit des Eintretens des Ereignisses Kopf.

Bei der von Misesschen Wahrscheinlichkeitsdefinition hatten wir das Problem angesprochen, mit der Zufallsvariablen $\overline X$ (die eine relative Häufigkeit angibt) für immer größeres n die Wahrscheinlichkeit für Kopf zu messen. Bei fünfmaligem Werfen würden wir sagen, dass P(Kopf) = 0,6 ist, wenn z.B. (1,1,0,0,1) fällt. Bei zwanzigfachem Werfen, also für deutlich größeres n, könnte (1,0,0,1,0,0,1,1,1,1,0,0,0,1,1,1,0,0,1,1) das Ergebnis sein, d.h. $\overline X_{20}$ =  $\frac{11}{20}$ = 55 %. Also könnte man durch die Erhöhung der Anzahl der Würfe näher drankommen an das, was man sich bei einem fairen Würfel erhofft, nämlich P(Kopf) = 50 %. Es ist aber selbstverständlich auch möglich, dass bei n = 20 fachem Wurf das Ergebnis ganz anders lautet, nämlich bspw. (1,1,1,0,0,0,0,1,1,0,0,1,1,0,1,0,0,0,0,0), d.h. $\overline X_{20}$ =  $\frac{8}{20}$ = 40 %. Wir lägen dann also weiter weg von der erhofften (und bei einem fairen Würfel richtigen) Zahl P(Kopf) = 50 %. Das folgende Gesetz, nämlich das schwache Gesetz der großen Zahlen, zeigt uns, dass diese Situation jedoch für immer größeres n immer unwahrscheinlicher wird.

Schwaches Gesetz der großen Zahlen

Schwaches Gesetz der großen Zahlen

Merke

Es sei Xunabhängig, identisch verteilte Zufallsvariablen mit bekanntem Erwartungswert und bekannter Varianz. Dann gilt
$\lim _{n\;\rightarrow \;\infty }\;$ P($\overline X_n$| - E(Xi)| ≥ c) = 0 für alle c > 0
bzw. äquivalent hierzu
$\lim _{n\;\rightarrow \;\infty }\;$ P($\overline X_n$| - E(Xi)| ≤ c) = 1 für alle c > 0.

In Worten:

  • die Wahrscheinlichkeit, dass die Abweichung des arithmetischen Mittels $\overline X_n$ vom Erwartungswert E(Xi) der einzelnen Zufallsvorgänge größer oder gleich einer beliebigen, fest vorgegebenem Wert c ist, (der echt größer als null sein muss!), konvergiert gegen 0 (oberer Grenzwert).

  • die Wahrscheinlichkeit, dass die Abweichung des arithmetischen Mittels $\overline X_n$ vom Erwartungswert E(Xi) der einzelnen Zufallsvorgänge kleiner oder gleich einer beliebigen, fest vorgegebenem Wert c ist, (der echt größer als null sein muss!), konvergiert gegen 1 (unterer Grenzwert)

Angewendet auf unser Beispiel heißt dies, dass E(Xi) = ½ (da die Münze fair ist). Die Abweichung |$\overline X_n$ - E(Xi)| wird immer kleiner, d.h. $\overline X_n$ wird, wenn n immer größer wird, nahe bei ½ liegen.

Merke

Merke

In diesem Sinne konvergiert die relative Häufigkeit $\overline X_n$ gegen die Wahrscheinlichkeit P(Xi), das von Misesche Verständnis einer Wahrscheinlichkeit ist also wegen des schwachen Gesetzes der großen Zahlen berechtigt.

Multiple-Choice

Welche der folgenden Aussagen kommt der Wahrheit am nächsten?

0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Kommentare zum Thema: Gesetz der großen Zahlen

  • Maren Nebeling schrieb am 10.12.2015 um 11:05 Uhr
    Hallo Felix, der Fehler ist behoben und das Video steht nun wieder zur Verfügung. Schöne Grüße
  • Maren Nebeling schrieb am 10.12.2015 um 10:54 Uhr
    Hallo Felix, ich habe das Problem an unsere Techniker weitergeleitet. Wir hoffen das Problem schnellstmöglich beheben zu können. Schöne Grüße
  • Felix Arhelger schrieb am 10.12.2015 um 08:26 Uhr
    das video hier funktioniert nicht..
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Autor: Daniel Lambert

Dieses Dokument Gesetz der großen Zahlen ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Dipl.-Math. Dipl.-Kfm. Daniel Lambert gibt seit vielen Jahren Kurse zur Prüfungsvorbereitung. Er unterrichtet stets orientiert an alten Prüfungen und weiß aus langjähriger Erfahrung, wie sich komplexe Sachverhalte am besten aufbereiten und vermitteln lassen. Daniel Lambert ist Repetitor aus Leidenschaft seit nunmehr 20 Jahren.
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    "Weiter so!! viele Grüße aus Nürnberg"

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    Ein Kursnutzer am 08.06.2015:
    "Ich finde, dass Herrn Lambert eine große Gabe hat, schwierige Sachverhalte einfach und strukturiert wiederzugeben. Man gewinnt außerdem den Eindruck, dass er Spaß an der Erklärung hat und an wichtiger Stelle die Fokussierung mit Witz und Präzision in der Wortwahl den Stoff einleuchtend vermittelt. Ich würde mal sagen, das war ein ganz schön dickes LOB! :-) Danke! "

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