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Wahrscheinlichkeitsrechnung - Gesetz der großen Zahlen

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Wahrscheinlichkeitsrechnung

Gesetz der großen Zahlen

Grundlagen

Im Folgenden unterstellen wir, dass Xi unabhängig, identisch verteilte Zufallsvariablen sind. Die neue Zufallsvariable $\overline X_n$ =  $\frac 1 n\sum _{i\;=\;1}^nX_i$ bezeichnet das arithmetische Mittel dieser Zufallsvariablen.

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Wird eine schwarz-rote Wählmarke n-mal geworfen, so sei die Zufallsvariable Xi, welche das Ergebnis des i. Wurfes angibt, gleich eins, wenn sie schwarz anzeigt und gleich null bei rot. (Schwarz ist hier also der Erfolg):

Wir werfen eine faire Münze n mal. Wenn Kopf fällt, ist die Zufallsvariable Xi, die das Ergebnis des i. Wurfs angibt, gleich 1, bei Zahl ist sie gleich null:

Xi = $\left\{\genfrac{}{}{0pt}{0}{1,\ \ \ \mathit{schwarz}}{0,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathit{rot}}\right. $

Ist z.B. n = 6, wird die Marke also sechs mal geworfen könnte ein möglicher Ausgang {s,r,s,s,r,s} sein. Bedeutet im ersten, dritten, vierten und letzem Wurf fällt schwarz, in den anderen Fällen rot.

Das arithmetische Mittel ist:

$\overline X_n$ =  $\frac 1 n\sum _{i\;=\;1}^nX_i$ = $1\over{6}$ (1 + 0 + 1 + 1 + 0 + 1) = $ 4 \over 6$ = $ 2 \over 3$.

Durch die Summe der Zufallsvariablen $\frac 1 n\sum _{i\;=\;1}^nX_i$ = (1 + 0  + 1 + 1 + 0 + 1) = 4, weiß man, dass insgesamt viermal schwarz gefallen ist, kann aber nicht sagen, in welchen Würfen genau.
Die Zufallsvariable des arithmetischen Mittels $\overline X$ gibt also lediglich Auskunft darüber, dass in $ 2 \over 3$ der Fälle, nämlich in 66,67 %, schwarz gefallen ist. $\overline X$ zeigt also nur die relative Häufigkeit des Eintretens des Ereignisses schwarz an.

Bei der Misesschen Wahrscheinlichkeitsdefinition haben wir das Problem erwähnt, mit der Zufallsvariablen $\overline X$ immer größere n die Wahrscheinlichkeit für schwarz zu messen. Bei sechsmaligem Werfen hatten wir schon das mögiche Beispiel von P(schwarz) =  $ 2 \over 3$ für {s,r,s,s,r,s}.
Werfen wir die Wählmarke häufiger, bspw. n = 15 mal, könnte das Ergebnis {s,r,s,s,r,s,r,r,s,r,s,s,r,s,r,} sein. Die Wahrscheinlichkeit wäre dann $\overline X_{15}$ = $\frac{8}{15}$ = 53,33 %
Wir sehen also, dass bei einer deutlich größeren Anzahl an Würfen mit der Wählmarke sich die Wahrscheinlichkeit annähert, an die Wahrscheinlichkeit, die man sich vo einer fairen Wählmarke P(schwarz)=$\frac{1}{2}$ = 50 % wünscht.
Trotzdem wäre es möglich, dass das Ergebnis für n = 15 auch ganz anders verläuft z.B. (r,s,s,r,r,r,r,s,s,r,r,s,r,r,r) $\overline X_{15}$ = $\frac{5}{15}$ = 33,3 %
Dann wären wir also weiter weg von der erhofften (und bei einer fairen Münze richtigen) Zahl P(schwarz) = 50 %.

Das schwache Gesetz der großen Zahlen zeigt uns aber, dass dieses Szenario für ein immer größer werdendes n immer unwahrscheinlicher wird.

Schwaches Gesetz der großen Zahlen

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Es sei Xi unabhängig, identisch verteilte Zufallsvariablen mit bekanntem Erwartungswert und bekannter Varianz. Dann gilt

$\lim _{n\;\rightarrow \;\infty }\;$ P($\overline X_n$| - E(Xi)| ≥ c) = 0 für alle c > 0
bzw. äquivalent hierzu
$\lim _{n\;\rightarrow \;\infty }\;$ P($\overline X_n$| - E(Xi)| ≤ c) = 1 für alle c > 0.

Das bedeutet:

  1. dass die Wahrscheinlichkeit, dass das arithmetische Mittel $\overline X_n$ vom Erwartungswert E(Xi) der einzelnen Zufallsvorgänge abweicht, größer oder gleich einer beliebigen, von einem fest vorgegebenem Wert c (welcher echt größer als null sein muss!), gegen null verläuft (oberer Grenzwert).

  2. dass die Wahrscheinlichkeit, dass das arithmetische Mittel $\overline X_n$ vom Erwartungswert E(Xi) der einzelnen Zufallsvorgänge abweicht, kleiner oder gleich einer beliebigen, von einem fest vorgegebenem Wert c (welcher echt größer als null sein muss!), gegen eins verläuft (unterer Grenzwert).

Angewendet für unser Beispiel bedeutet das, dass E(Xi) = $1 \over 2$ (weil die Marke fair ist). Die Abweichung |$\overline X_n$ - E(Xi)| wird immer kleiner, also $\overline X_n$ wird, wenn n immer größer wird, nahe bei $1 \over 2$ liegen.

Merke

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Deshalb verläuft die relative Häufigkeit $\overline X_n$ gegen die Wahrscheinlichkeit P(Xi), das von Misesche Verständnis einer Wahrscheinlichkeit, ist also wegen des schwachen Gesetzes der großen Zahlen berechtigt.