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Mehrdimensionale Verteilungen

WebinarTerminankündigung:
 Am 08.12.2016 (ab 18:00 Uhr) findet unser nächstes Webinar statt.
Gratis-Webinar Diskrete und stetige Verteilungen in der Wahrscheinlichkeitsrechnung
- In diesem 60-minütigen Gratis-Webinar gehen wir darauf ein, welche diskreten und stetigen Verteilungen Sie in der Prüfung beherrschen müssen.
[weitere Informationen] [Terminübersicht]

Video: Mehrdimensionale Verteilungen

Wenn man mehrere Merkmale bei ein- und demselben Zufallsvorgang beobachtet oder hintereinander ausführbare Zufallsvorgänge betrachtet und die einzelnen Zufallsvariablen mit Xi bezeichnet, i = 1,...,n, so spricht man von einer n-dimensionalen Zufallsvariablen X = (X1,X2,...,Xn) mit Werten im Rn. So lassen sich z.B. bei Menschen mehrere Dinge messen die Körpergröße (in cm), die Schuhgröße, der Intelligenzquotient. So bezeichnet X = (X1,X2,X3) = (180,40,120) das Ereignis, dass ein 1,80 m großer Mensch eine Schuhgröße von 40 und einen IQ von 120 besitzt.

Wenn man

  • mehrere Merkmale bei ein- und demselben Zufallsvorgang beobachtet oder

  • hintereinander ausführbare Zufallsvorgänge betrachtet

und die einzelnen Zufallsvariablen mit Xi bezeichnet, i = 1,...,n, so spricht man von einer n-dimensionalen Zufallsvariablen X = (X1,X2,...,Xn) mit Werten im Rn.

So lassen sich z.B. bei Menschen mehrere Dinge messen

  • die Körpergröße (in cm),

  • die Schuhgröße,

  • der Intelligenzquotient.

So bezeichnet X = (X1,X2,X3) = (180,40,120) das Ereignis, dass ein 1,80 m großer Mensch eine Schuhgröße von 40 und einen IQ von 120 besitzt.

Beispiel

Beispiel

Die gemeinsame Verteilung der Zufallsvariablen sei gegeben durch

X\Y

1

2

3

Summe

0

0,1

0,1

0,15

0,35

1

0,05

0,2

0,05

0,3

2

0,2

0,1

0,05

0,35

Summe

0,35

0,4

0,25

1

Berechne folgende Größen

  • andere Darstellungen der gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsfunktion

  • die gemeinsame Verteilungsfunktion

  • die bedingten Verteilungen

  • die Randverteilungen

  • die Randverteilungsfunktionen

  • sind X und Y unabhängig?

Gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion

Es gibt als Darstellungsform einer diskreten zweidimensionalen Wahrscheinlichkeitsfunktion

  • die Tabelle

  • das Streuungsdiagramm

  • das Stabdiagramm.

Die tabellarische Darstellung kennen wir bereits durch die Tabelle

X\Y

1

2

3

Summe

0

0,1

0,1

0,15

0,35

1

0,05

0,2

0,05

0,3

2

0,2

0,1

0,05

0,35

Summe

0,35

0,4

0,25

1

Das Streudiagramm lautet:

Abb. 7.1: Streudiagramm einer zweidimensionalen Verteilung
Abb. 7.1: Streudiagramm einer zweidimensionalen Verteilung

Das Stabdiagramm entsprechend

Abb. 7.2: Stabdiagramm einer zweidimensionalen Verteilung
Abb. 7.2: Stabdiagramm einer zweidimensionalen Verteilung

Unabhängigkeit und Unkorreliertheit

Video: Mehrdimensionale Verteilungen

Wenn man mehrere Merkmale bei ein- und demselben Zufallsvorgang beobachtet oder hintereinander ausführbare Zufallsvorgänge betrachtet und die einzelnen Zufallsvariablen mit Xi bezeichnet, i = 1,...,n, so spricht man von einer n-dimensionalen Zufallsvariablen X = (X1,X2,...,Xn) mit Werten im Rn. So lassen sich z.B. bei Menschen mehrere Dinge messen die Körpergröße (in cm), die Schuhgröße, der Intelligenzquotient. So bezeichnet X = (X1,X2,X3) = (180,40,120) das Ereignis, dass ein 1,80 m großer Mensch eine Schuhgröße von 40 und einen IQ von 120 besitzt.
Multiple-Choice

Wir betrachten folgende Tabelle:

Y →

0

1

Summe

X ↓

2

0,33

0

0,33

3

0,33

0,34 (*)

0,67

Summe

0,66

0,34

1

Was besagt die Zahl 0,34 (im mit * markierten Feld)?

0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Bild von Autor Daniel Lambert

Autor: Daniel Lambert

Dieses Dokument Mehrdimensionale Verteilungen ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Dipl.-Math. Dipl.-Kfm. Daniel Lambert gibt seit vielen Jahren Kurse zur Prüfungsvorbereitung. Er unterrichtet stets orientiert an alten Prüfungen und weiß aus langjähriger Erfahrung, wie sich komplexe Sachverhalte am besten aufbereiten und vermitteln lassen. Daniel Lambert ist Repetitor aus Leidenschaft seit nunmehr 20 Jahren.
Vorstellung des Online-Kurses WahrscheinlichkeitsrechnungWahrscheinlichkeitsrechnung
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  • Kombinatorik
    • Einleitung zu Kombinatorik
    • Permutationen
    • Variationen
    • Kombinationen
      • Kombinationen ohne Wiederholung
      • Kombinationen mit Wiederholung
    • Aufgaben, Beispiele und Berechnungen zur Kombinatorik
  • Ereignisse
    • Einleitung zu Ereignisse
    • Übungsaufgaben zu Ereignissen
  • Wahrscheinlichkeiten
    • Einleitung zu Wahrscheinlichkeiten
    • Formeln für Wahrscheinlichkeiten
    • Übungen, Beispiele und Berechnungen zu Wahrscheinlichkeiten
  • Bedingte Wahrscheinlichkeiten
    • Einleitung zu Bedingte Wahrscheinlichkeiten
    • Bedingte Wahrscheinlichkeiten berechnen
    • Richtige Reihenfolge erkennen
    • Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit
    • Aufgaben, Beispiele und Berechnungen zur bedingten Wahrscheinlichkeit
  • Eindimensionale Verteilungen (ohne Namen)
    • Einleitung zu Eindimensionale Verteilungen (ohne Namen)
    • Wahrscheinlichkeitsfunktion
    • Dichtefunktionen
    • Verteilungsfunktion
    • Verteilungsparameter
      • Lageparameter
      • Streuungsparameter
    • Linearkombinationen von Zufallsvariablen
    • Aufgaben, Beispiele und Berechnungen zur eindimensionalen Verteilung (ohne Namen)
  • Eindimensionale Verteilungen (mit Namen)
    • Diskrete Verteilungen
      • Einleitung zu Diskrete Verteilungen
      • Binomialverteilung
      • Weitere diskrete Verteilungen
    • Stetige Verteilungen
      • Einleitung zu Stetige Verteilungen
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    • Aufgaben, Lösungen und Beispiele zu eindimensionalen Verteilungen (mit Namen)
  • Mehrdimensionale Verteilungen
    • Einleitung zu Mehrdimensionale Verteilungen
    • Gemeinsame Verteilungsfunktion
    • Randverteilungen
    • Aufgaben, Beispiele und Berechnungen zur mehrdimensionalen Verteilung
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    • Einleitung zu Gesetz der großen Zahlen
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    • Aufgabe, Berechnung und Lösung zum Gesetz der großen Zahlen
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    • Einleitung zu Tschebyscheffsche Ungleichung
    • Aufgaben, Beispiele und Berechnungen zur tschebyscheffschen Ungleichung
  • 40
  • 63
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  • Gute Bewertung für Wahrscheinlichkeitsrechnung

    Ein Kursnutzer am 23.07.2015:
    "Weiter so!! viele Grüße aus Nürnberg"

  • Gute Bewertung für Wahrscheinlichkeitsrechnung

    Ein Kursnutzer am 08.06.2015:
    "Ich finde, dass Herrn Lambert eine große Gabe hat, schwierige Sachverhalte einfach und strukturiert wiederzugeben. Man gewinnt außerdem den Eindruck, dass er Spaß an der Erklärung hat und an wichtiger Stelle die Fokussierung mit Witz und Präzision in der Wortwahl den Stoff einleuchtend vermittelt. Ich würde mal sagen, das war ein ganz schön dickes LOB! :-) Danke! "

  • Gute Bewertung für Wahrscheinlichkeitsrechnung

    Ein Kursnutzer am 19.01.2015:
    "Super toll , besser als ein Buch"

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