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Grundlagen der Mikroökonomie - Die mathematische Bestimmung bei perfekten Komplementen

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Grundlagen der Mikroökonomie

Die mathematische Bestimmung bei perfekten Komplementen

Optimales Güterbündel bei perfekten Komplementen

Nun folgt der Fall der perfekten Komplemente.

Beispiel:

m = 100,
$\ p_1 = 2 $,
$\ p_2 = 3 $,
Nutzenfunktion: $$\ u(x_1; x_2) = min \{ {1 \over 2} x_1; {1\over 4} x_2\} $$

Die Nutzenfunktion gibt uns ein optimales Einsatzverhältnis der Güter vor, hier $\ {1 \over 2} x_1 = {1 \over 4} x_2 $. Für eine Outputeinheit werden 2 Einheiten von $\ x_1 $ und 4 von $\ x_2 $ benötigt. Wie kommen jetzt diese Zahlen zustande, obwohl in der Funktion $\ {1 \over 2} $ und $\ {1 \over 4} $ steht? Dazu ein Beispiel:

Praxisbeispiel:

Ein Frühstück besteht bei Lena immer aus zwei Tassen Kaffee und drei Schalen Müsli.
Ihre Nutzenfunktion für ein Frühstück lautet:
1 Frühstück = mindestens { (Tasse Kaffee)/2 ; (Schale Müsli)/3}. Werfen wir einen Blick in Lenas Vorratsschrank. Sie hat noch Kaffee für insgesamt 10 Tassen da, allerdings nur noch Müsli für 6 Schalen. Ersetzen wir "Tasse Kaffee" und "Schale Müsli" in der Klammer durch diese Werte, erhalten wir: $$\ Frühstück=min \{ {10\over 2} = 5 ; {6 \over 3}=2 \} $$ Durch das "min" vor der Klammer beachten wir nur die kleinste Zahl, also "2". Lena hat nur noch genug Zutaten im Haus um 2 mal ihr optimales Frühstück zu essen. Die Menge an kompletten Frühstücken wird durch das Müsli begrenzt.

Fahren wir mit der Berechnung von ganz oben fort. $\ {1 \over 2} x_1 = {1 \over 4} x_2 $ wird nach $\ x_1 $ oder $\ x_2 $ umgeformt, $\ x_1={1 \over 2} x_2 $ oder $\ x_2=2x_1 $. Die Umformung sagt aus, wieviele $\ x_1 $, bzw. $\ x_2 $ auf eine Einheit des anderen Faktors kommen. So wird für eine Einheit von $\ x_1 $ eine halbe Einheit $\ x_2 $ benötigt.
Eines dieser Verhältnisse setzen wir nun in die Budgetgerade ein. (Hier ersetzten wir $\ x_1 $; es geht aber auch ohne Probleme $\ x_2 $; Zur Übung sollte dieser Weg auch versucht werden) $$\ 100=2 \cdot {1 \over 2} x_2 + 3 \cdot x_2 \Leftrightarrow 100= x_2 + 3 \cdot x_2 \Leftrightarrow 100 =4 \cdot x_2 \Leftrightarrow 25=x_2 $$ Schon erhalten wir die optimale Einsatzmenge von Gut $\ x_2 $, womit wir leicht die Menge von $\ x_1 $ errechnen können, indem 25 für $\ x_2 $ in die Budgetgerade eingesetzt wird. Wir erhalten für $\ x_1 $ = 12,5.
Das optimale Bündel lautet: (12,5; 25).


Es gibt einen leichten Weg das Ergebnis zu überprüfen. Dazu müssen die Ergebnisse für $\ x_1 $ und $\ x_2 $ nur in die Nutzenfunktion eingesetzt werden. In diesem Beispiel kommt für beide Zahlen das Ergebnis 6,25 heraus. Es können somit 6,25 Outputeinheiten hergestellt oder konsumiert werden.