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Die mathematische Bestimmung bei perfekten Komplementen

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Optimales Güterbündel bei perfekten Komplementen

Nun folgt der Fall der perfekten Komplemente.

Beispiel:

m = 100,
$\ p_1 = 2 $,
$\ p_2 = 3 $,
Nutzenfunktion: $$\ u(x_1; x_2) = min \{ {1 \over 2} x_1; {1\over 4} x_2\} $$

Die Nutzenfunktion gibt uns ein optimales Einsatzverhältnis der Güter vor, hier $\ {1 \over 2} x_1 = {1 \over 4} x_2 $. Für eine Outputeinheit werden 2 Einheiten von $\ x_1 $ und 4 von $\ x_2 $ benötigt. Wie kommen jetzt diese Zahlen zustande, obwohl in der Funktion $\ {1 \over 2} $ und $\ {1 \over 4} $ steht? Dazu ein Beispiel:

Praxisbeispiel:

Ein Frühstück besteht bei Lena immer aus zwei Tassen Kaffee und drei Schalen Müsli.
Ihre Nutzenfunktion für ein Frühstück lautet:
1 Frühstück = mindestens { (Tasse Kaffee)/2 ; (Schale Müsli)/3}. Werfen wir einen Blick in Lenas Vorratsschrank. Sie hat noch Kaffee für insgesamt 10 Tassen da, allerdings nur noch Müsli für 6 Schalen. Ersetzen wir "Tasse Kaffee" und "Schale Müsli" in der Klammer durch diese Werte, erhalten wir: $$\ Frühstück=min \{ {10\over 2} = 5 ; {6 \over 3}=2 \} $$ Durch das "min" vor der Klammer beachten wir nur die kleinste Zahl, also "2". Lena hat nur noch genug Zutaten im Haus um 2 mal ihr optimales Frühstück zu essen. Die Menge an kompletten Frühstücken wird durch das Müsli begrenzt.

Fahren wir mit der Berechnung von ganz oben fort. $\ {1 \over 2} x_1 = {1 \over 4} x_2 $ wird nach $\ x_1 $ oder $\ x_2 $ umgeformt, $\ x_1={1 \over 2} x_2 $ oder $\ x_2=2x_1 $. Die Umformung sagt aus, wieviele $\ x_1 $, bzw. $\ x_2 $ auf eine Einheit des anderen Faktors kommen. So wird für eine Einheit von $\ x_1 $ eine halbe Einheit $\ x_2 $ benötigt.
Eines dieser Verhältnisse setzen wir nun in die Budgetgerade ein. (Hier ersetzten wir $\ x_1 $; es geht aber auch ohne Probleme $\ x_2 $; Zur Übung sollte dieser Weg auch versucht werden) $$\ 100=2 \cdot {1 \over 2} x_2 + 3 \cdot x_2 \Leftrightarrow 100= x_2 + 3 \cdot x_2 \Leftrightarrow 100 =4 \cdot x_2 \Leftrightarrow 25=x_2 $$ Schon erhalten wir die optimale Einsatzmenge von Gut $\ x_2 $, womit wir leicht die Menge von $\ x_1 $ errechnen können, indem 25 für $\ x_2 $ in die Budgetgerade eingesetzt wird. Wir erhalten für $\ x_1 $ = 12,5.
Das optimale Bündel lautet: (12,5; 25).


Es gibt einen leichten Weg das Ergebnis zu überprüfen. Dazu müssen die Ergebnisse für $\ x_1 $ und $\ x_2 $ nur in die Nutzenfunktion eingesetzt werden. In diesem Beispiel kommt für beide Zahlen das Ergebnis 6,25 heraus. Es können somit 6,25 Outputeinheiten hergestellt oder konsumiert werden.

Multiple-Choice
Ein Konsument sieht sich folgender Nutzenfunktion gegenüber: u=min{0,5x1;0,25x2}. Er hat ein Einkommen von m=117 und beobachtet am Markt die Preise p1=8 und p2=5. Welches Konsumgüterbündel sollte er optimal wählen?
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Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Kommentare zum Thema: Die mathematische Bestimmung bei perfekten Komplementen

  • Lukas Linnig schrieb am 29.07.2014 um 15:28 Uhr
    Hallo ihr, könntet Ihr bitte mal genau angeben, auf welche Aufgabe ihr euch bezieht, bzw. auf welchen Absatz? Wir können dann auch genau auf Eure Wünsche eingehen. Liebe Grüße!
  • Philip schrieb am 08.07.2014 um 20:37 Uhr
    Das Ergebnis im Beispiel ist falsch. Es können nicht 6.5, sondern 6.25 Outputeinheiten hergestellt werden.
  • Diana Kwiatkowski schrieb am 25.06.2014 um 18:54 Uhr
    anstatt 131/3 müsste es 40/3 sein: Für 1 Einheit x1 wird 5/3 Einheit x2 Benötigt (nächste Zeile) (3x1=5x2 dann durch 3 dividieren, dann gilt x1 = (5/3)x2 (einsetzten in Nutzenfunktion) 56 = 3 * ((5/3)x2) + 2x2 (auflösen) 56 = 5x2 + 2x2 (7 auf die andere seite, sodass 56/7) x2 = 8 (einsetzten in x1 = (5/3)x2 (s.o.)) x1 = 5/3 * 8 = 40/3 Probe: 3x1 = 5x2 3* 40/3 = 5* 8 40 = 40
  • Jan Hockmann schrieb am 20.06.2014 um 09:58 Uhr
    Das erste Ergebnis kommt auf den Wert. In der Rechnung 3x1=5x2 x=5/3x2 3*(5/3)*x2+2x2=7x2=56 ->x2=8 3x1=5*8=40 ->x2=13 1/3 In der Probe: 13 1/3 *3+8*2=40+16=56
  • Daniel schrieb am 07.05.2014 um 16:39 Uhr
    Keiner der Lösungsverschläge kommt auf 56 als Nutzen in der Probe.. sind die Ergebnisse falsch? Haben mehrfach genau nach Muster nachgerechnet..
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