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Stichprobentheorie - Gemischte Übungsaufgaben zur Stichprobentheorie (Aufgaben 1 bis 5)

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Stichprobentheorie

Gemischte Übungsaufgaben zur Stichprobentheorie (Aufgaben 1 bis 5)

Aufgabe 1

In einem Casino kommt es zur Unruhe, weil mehrere Personen (Spieler) eines Würfelspiels behaupten, dass der Würfel manipuliert sei. Der Grund für die Behauptung ist, dass keine der Personen je einen deutlichen Gewinn gemacht hätte. Das Casino versichert, dass der Würfel „fair“ ist und somit alle Augenzahlen gleichwahrscheinlich sind. Die Spieler und das Casino verständigen sich darauf, dass mit 120 einfachen Würfen nachgeprüft werden soll, ob der Würfel „fair“ ist, d.h. alle Augenzahlen sind gleichwahrscheinlich.

Die Wahrscheinlichkeit i, $1\leqslant i\leqslant 6,$ zu werfen wird mit $p_i$ bezeichnet. Da sämtliche Tätigkeiten im Casino von der Ordnungsbehörde beaufsichtigt werden kann folgende Fairness Voraussetzung angenommen werden: $p_1=...=p_6=\frac 1 6.$

Ein Grund für mögliche Abweichungen kann zum Beispiel die äußere, kaum wahrnehmbare, Beschädigung des Würfels sein. Nach dem durchgeführten Versuch ergaben sich folgende Werte:

Augenzahl i

1

2

3

4

5

6

Beobachtete Häufigkeit

17

19

22

22

12

28

Die Wahrscheinlichkeit sich zu irren sei zehn Prozent. Sind alle Augenzahlen gleichwahrscheinlich ?

Vertiefung

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Lösung:

Bei dieser Aufgabe haben wir einen Hypothesentest durchzufüren.

Augenzahl i

1

2

3

4

5

6

Beobachtete Häufigkeit $h_i$

17

19

22

22

12

28

Erwartete

Häufigkeit $np_{i}=120 p{i}$

20

20

20

20

20

20

Auswahl des richtigen Tests

1. Frage: Wie viele Stichproben liegen vor ?

Antwort: Es liegt nach Voraussetzung eine einfache Stichprobe vom Umfang n = 120 vor.

Folgerung: Schema a).

2. Frage: Betrifft die Hypothese einen Parameter oder eine Verteilung ?

Antwort: Die Hypothese bezieht sich auf die Verteilung der Grundgesamtheit.

Folgerung: Test 3.2.7.

     1. Schritt: Anwendungsvoraussetzungen

Wir stellten gerade fest, dass die Anwendungsvoraussetzungen erfüllt sind..

     2. Schritt: Hypothesenwahl.

Wir testen, ob alle Augenzahlen gleichwahrscheinlich sind, d.h.

a) $H_0:F=F_0$        gegen        $H_1:F\neq F_0.$

$F_o$  ist die Gleichverteilung im diskreten Fall.

Es müssen keine Paramter geschätzt werden, d.h. r = 0

     3. Schritt: Signifikanzniveau

Nach Aufgabenstellung ist  $\alpha =0,1$

     4. Schritt: Testfunktionswert

Die disjunkten aneinander grenzenden Intervalle sind:

a) $I_1=\text (0;1\text ];I_2=\text (1;2\text ],...,I_6=\text (5;6\text ]$

b) Die in den Intervallen auftretenden Häufigkeiten können wir der obigen Tabelle entnehmen, z.B ist im Intervall (0;1] die Häufigkeit $h_i=17$

c) Die Eintrittswahrscheinlichkei beträgt für jedes Intervall:

$\frac 1 6>\frac 5{120}\approx 0,042$

Berechnung des Testfunktionswertes:

$\text v=\frac{\sum _{j=1}^6(h_j-\mathit{np}_j)^2}{\mathit{np}_j}=\frac{(17-20)^2}{20}+\frac{(19-20)^2}{20}+\frac{(22-20)^2}{20}+\frac{(22-20)^2}{20}+\frac{(12-20)^2}{20}$

$+\frac{(28-20)^2}{20}\text =7,3$

     5. Schritt: Verwerfungsbereich

Das $1-\alpha $    Fraktil der   $\chi ^2(6-0-1)$        ist gegeben durch  

$x_{1-0,1}=x_{0,9}=9,236.$

$B=\text (9,236;\infty \text ).$

     6. Schritt: Testentscheidung

$H_0$   wird nicht verworfen, da $\text v\notin \mathit{B.}$

Interpretation

Auf einem Signifikanzniveau von zehn Prozent ist es nicht möglich zu zeigen, dass alle Augenzhlen nicht gleichwahrscheinlich sind. Hier akzeptieren wir die Nullhypothese

Aufgabe 2:

Viele Unternehmen haben gemerkt, dass es nicht reicht, ihr Produkt nur über die Medien vorzustellen. Um den Absatz zu erhöhen, ist ein direkter Einsatz beim Kunden vor Ort sehr empfehlenswert. Dies hat man anhand von statistischen Untersuchungen festgestellt.

Dies veranlaßt einen Internetanbieter Kunden zu gewinnen durch Einsatz mobiler Vertreter direkt beim Kunden vor Ort. Aus der Buchführung geht hervor, dass in der Vergangenheit jeder Vertreter unabhängig von den anderen eine durchschnittliche Provision von 200 € erhielt.

Aufgrund der Wirtschaftslage kommt es zu folgenden zwei Änderungen:

  1. Wegen der Mehrwertsteuererhöhung werden die Listenpreise erhöht. Da die Provision an die

    Listenpreise gekoppelt ist, müßte jeder der Vertreter nun mehr verdienen um auf das gleiche Gehalt wie vorher zu kommen.

  2. Ein Konkurrent bringt ebenfalls ein sehr lukratives Internetangebot auf den Markt. Dadurch

    gewinnt er Kunden. Damit ist aber sofort eineVerlagerung der Umsätze verbunden.

Nun kommt die Frage auf, ob die Provision gleich geblieben ist, oder ob sie sich geändert hat. Dazu wird die Provision von 100 Vertretern dieses Unternehmens herangezogen. Es liegt eine einfache Stichprobe vor.

Dabei ergibt sich ein Wert von $\overline x=195\text{€}.$ Es ist $\sigma =70\text{€}.$

Das Unternehmen möchte den Fehler erster Art sehr gering halten. Dadurch wird vermieden, dass mehr Provision gezahlt wird als nötig. Also wird $\alpha =0,01$ gewählt.

Vertiefung

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Lösung

Es ist ein Zweiseitiger Test durchzuführen, da uns nur die Änderung interessiert und nicht die Veränderung nach oben oder nach unten.

Auswahl des richtigen Tests

1. Frage: Wie viele Stichproben liegen vor ?

Antwort: Es liegt nach Voraussetzung eine einfache Stichprobe vom Umfang n = 100 vor.

Folgerung: Somit können wir uns sofort Schema a) zuwenden.

2. Frage: Betrifft die Hypothese einen Parameter oder eine Verteilung ?

Antwort: Die Hypothese bezieht sich auf die durchschnittliche Provision der Vertreter. Also den Parameter $\mu .$

Folgerung: Tests .3.2.1-3.2.4.

3. Frage: Wie ist die Grundgesamtheit verteilt ?

Antwort: Es ist nicht bekannt, wie die Grundgesamtheit verteilt ist.

Folgerung: Test 3.2.3 oder 3.2.4.

4. Frage: Ist die Standardabweichung bekannt ?

Antwort: Ja.

Folgerung: Test 3.2.3.

      1. Schritt: Anwendungsvoraussetzungen

Diese sind, wie gerade festgestellt, erfüllt. Es ist n > 30.

      2. Schritt: Hypothesenwahl

         a) $H_0:\mu =200$        gegen      $H_1:\mu \neq 200$

      3. Schritt: Signifikanzniveau

$\alpha =0,01.$

      4. Schritt: Testfunktionswert

$\text v=\frac{\overline x-\mu _0}{\sigma }\sqrt n=\frac{195-200}{70}\sqrt{100}\approx -0,714$

      5. Schritt: Verwerfungsbereich

$B=\text (-\infty ;-z_{1-\frac{\alpha } 2}\text )\cup \text (z_{1-\frac{\alpha } 2};\infty \text ).$

Das $1-\frac{\alpha } 2=1-0,005=0,995$                      - Fraktil z der Standardnormalverteilung ist gegeben durch: $z_{0,995}\approx 2,576.$  

Das heiß: $B=\text (-\infty ;-2,576\text )\cup \text (2,576;\infty \text )$.

      6. Schritt: Testentscheidung

$H_0$  wird nicht verworfen, da $\text v\notin \mathit{B.}$

Interpretation

Auf einem Signifikanzniveau von einem Prozent kann nicht angenommen werden, dass die Provision kleiner ist als vor der Änderung der wirtschaftlichen Lage. Der Stichprobenwert 195 € stellt keine signifikante Abweichung vom Ursprungswert dar.

3. Aufgabe

Eine Stadtgemeinde hat vor, energiesparende Leuchtstoffröhren in öffentlichen Gebäuden zu installieren. Das Ziel ist selbstverständlich, dass diese Lampen möglichst lange leuchten. Nun ist es allerdings so, dass wenn sie kaputt gehen, dann sollen sie alle nach der gleichen Lebensdauer kaputt gehen. Der Grund für ein solche Forderung ist die Vorratshaltung. Die Lebensdauer der Leuchtstoffröhren soll sich nur wenig untereinander unterscheiden. Auf gar keinen Fall sollen  220 Stunden überschritten werden.

Somit ist zu prüfen, ob die Lebensdauer der Lampen untereinander tatsächlich mehr als 220 Stunden Unterschied aufweist. Es werden aus der Grundgesamtheit n = 30 Leuchtstoffröhren betrachtet. Diese selbst sei normalverteilt.  Dabei ergibt sich eine mittlere Lebensdauer von 9000 St. und eine Streuung von 280 St.
Ist der Unterschied der Leuchtstoffröhren untereinander größer als 220 St.? Ein Vertun um  50 Promille ist gestattet. Die Stichprobe selbst ist einfach.

Vertiefung

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Lösung

Auswahl des richtigen Tests


1. Frage: Wie viele Stichproben liegen vor ?
Antwort: Es liegt nach Voraussetzung eine einfache Stichprobe vom Umfang n = 30 vor.
Folgerung: Somit können wir uns sofort Schema a) zuwenden.

2. Frage: Betrifft die Hypothese einen Parameter oder eine Verteilung ?
Antwort: Die Hypothese bezieht sich auf die Varianz der Lebensdauer der Leuchtstoffröhren. Also den  Parameter $\sigma ^2.$
Folgerung: Test 3.2.6 unter Vorbehalt.

3. Frage: Wie ist die Grundgesamtheit verteilt ?
Antwort: Die Grundgesamtheit ist normalverteilt.
Folgerung: Definitiv Test 3.2.6.

 1. Schritt:  Anwendungsvoraussetzungen


Diese sind, wie gerade festgestellt,  erfüllt.


 2. Schritt: Hypothesenwahl


           c) $H_0:\sigma ^2\leqslant 220$         gegen              $H_1:\sigma ^2>220$       

                                  
 3. Schritt: Signifikanzniveau

$\alpha =0,05.$


 4. Schritt: Testfunktionswert


$\text v=(n-1)\frac{s^2}{\sigma _0^2}=\text v=\frac{(30-1)\ast 280}{220}\approx 36,91.$


 5. Schritt:  Verwerfungsbereich


$B=\text (x_{1-0,05};\infty \text ).$           Für das Fraktil der $\chi ^2(30-1)$           Verteilung  ergibt sich:

$x_{0,95}=42,557.$        

Also $B=\text (42,557;\infty \text ).$

6. Schritt: Testentscheidung


$H_0$  wird nicht verworfen, da $\text v\notin \mathit{B.}$

Interpretation

Auf einem Signifikanzniveau von fünf Prozent kann nicht angenommen werden, dass die Varianz der Lebensdauer der Leuchtstoffröhren signifikant größer als 220 Stunden ist. Somit akzeptieren wir die Nullhypothese $H_0.$

Aufgabe 4

Ein Politiker behauptet, dass die jetzige Regierung keine Mehrheit mehr gegenüber der Opposition hätte. Er sagt: „Es besteht ein Patt mit Anteilswerten von je genau 50 %.“ Ein Meinungsforschungsinstitut veranlaßt daraufhin eine Meinungsumfrage - gleichmäßig verteilt - über das gesamte  betreffende Land. Es werden 500 Volljährige Personen befragt. Von denen waren 52 % für die Regierung.
Führen Sie den entsprechenden Test durch, um zu entscheiden, ob der Politiker recht hat. Man räumt sich einen Fehler von einem Prozent ein. Die aus der Grundgesamtheit entnommene Probe ist einfach.

Vertiefung

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Lösung

Auswahl des richtigen Tests

1. Frage: Wie viele Stichproben liegen vor ?
Antwort: Es liegt nach Voraussetzung eine einfache Stichprobe vom Umfang n = 500 vor.
Folgerung: Somit können wir uns sofort Schema a) zuwenden.

2. Frage: Betrifft die Hypothese einen Parameter oder eine Verteilung ?
Antwort: Die Hypothese bezieht sich auf einen Parameter, nämlich auf die Anteilswerte von Parteien.
Folgerung: Tests 3.2.5 unter Vorbehalt.

3. Frage: Wie ist die Grundgesamtheit verteilt ?
Antwort: Die Grundgesamtheit ist binomialverteilt. Entweder ist eine Person für die Regierung oder die Opposition  
Folgerung: Test 3.2.5 unter Vorbehalt.

 1. Schritt:  Anwendungsvoraussetzungen

Es gilt:     $500\ast 52{\%}=260\geqslant 5$       

und $500\ast 51{\%}=260\leqslant 500-5=455.$

Also sind die Anwendungsvoraussetzungen erfüllt.

 2. Schritt: Hypothesenwahl

           a)   $H_0:p=p_0=50{\%}$                       gegen           $H_1:p\neq 50{\%}.$       

                   
 3. Schritt: Signifikanzniveau

$\alpha =0,01.$

 4. Schritt: Testfunktionswert

$\text v=\frac{\overline x-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)}}\sqrt n=\frac{0,52-0,5}{\sqrt{0,5(1-0,5)}}\sqrt{500}\approx 0,89.$

 5. Schritt:  Verwerfungsbereich

$B=\left(-\infty ;-z_{1-\frac{\alpha } 2}\right)\cup \left(z_{1-\frac{\alpha } 2};\infty \right),$                  

wobei  $z_{1-\frac{\alpha } 2}=z_{0,995}=2,57.$

Also $B=\left(-\infty ;-2,57\right)\cup \left(2,57;\infty \right).$

 6. Schritt: Testentscheidung

$H_0$   wird nicht verworfen, da  $\text v\notin \mathit{B.}$

Interpretation

Auf einem Signifikanzniveau von einem Prozent kann nicht gezeigt werden, dass kein Patt vorliegt.
Die Hypothese $H_0$  wird akzeptiert. Es kann angenommen werden, dass ein Patt bezüglich
des Stimmenanteils vorliegt. Eine signifikante Abweichung von 50 % ist nicht erkennbar..

Aufgabe 5

Ein Unternehmen bemerkt, dass sowohl die männlichen Beschäftigten, als auch die weiblichen Beschäftigten öfters nicht zur Arbeit antreten. Beide Grundgesamtheiten sind normalverteilt. Der Grund ist bei allen krankheitsbedingt. Nun möchte das Unternehmen wissen, ob die durchschnittliche krankheitsbedingte Abwesenheit der Männer und Frauen vom Arbeitsplatz, signifikant unterschiedlich ist. In diesem Fall würde das Unternehmen die Einstellungsbedingugnen überdenken und vielleicht auch ändern.    
Dies hat zu Folge, dass ein Test durchgeführt werden soll. Eine Stichprobe unter den im letzten Jahr krankgemeldeten Mitarbeitern ergab folgende Werte.

$n_1=45$ Männer waren $\overline x_1=63$ Stunden je Person abwesend      

und

$n_2=57$ Frauen waren $\overline x_2=59$ Stunden je Person abwesend

                                                                                                                                                                          

Es wurde eine Varianz von $\sigma ^2=64\mathit{St}^{2.}$ Stunden ermittelt, wobei $\sigma ^2=\sigma _1^2=\sigma _2^2.$

Es wird $\alpha =1{\%}$ gewählt. Das Signifikanzniveau wird sehr niedrig gewählt, da ausgeschlossen werden soll, dass eine richtige Hypothesea $H_0$ bgelehnt wird. Denn sonst könnte es unberechtigterweise zu Vorurteilen in der Firma kommen. 

Führen Sie den entsprechenden Test durch, um zu einer Entscheidung zu gelangen.

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Lösung

Auswahl des richtigen Tests

1. Frage: Wie viele Stichproben liegen vor ?
Antwort: Es liegen zwei Stichproben vor. Der Umfang der ersten Stichprobe ist $n_1=45$      und der der zweiten ist $n_2=57.$      Es kann ohne Beschränkumg der Allgemeinheit davon ausgegangen werden, dass zwei unabhängige Stichproben vorliegen, da hier nicht von ansteckenden Krankheiten die Rede ist.
Folgerung: Somit können wir uns sofort Schema b) zuwenden.

2. Frage: Betrifft die Hypothese einen Parameter oder eine Verteilung ?
Antwort: Die Hypothese bezieht sich auf den Vergleich der durchschnittlichen krankheitsbedingten Abwesenheit der Männer und Frauen im Unternehmen, also die Parameter $\mu _1\text{und}\text{ }\mu _2.$
Folgerung: Tests 3.3.1.-3.3.6.

3 Frage: Was wird verglichen ?
Antwort: Es soll die durchschnittliche krankheitsbedingte Abwesenheit der Männer und Frauen im Unternehmen verglichen werden. Also vergleich der Parameter    $\mu _1\text{und}\text{ }\mu _2.$
Erinnerung: Es wurde schon festgestellt, dass zwei einfache Stichproben vorliegen.
Folgerung: Tests 3.3.1 -3.3.5.

4. Frage: Wie sind die Grundgesamtheiten verteilt ?
Antwort: Die Grundgesamtheiten sind beide normalverteilt.
Folgerung: Test 3.3.1 oder 3.3.2.

5. Frage: Ist die Varianz bekannt  ?
Antwort: Ja.  $\sigma ^2=\sigma _1^2=\sigma _2^2=64.$
Folgerung: Test 3.3.1.

 1. Schritt:  Anwendungsvoraussetzungen

Diese sind, wie gerade festgestellt,  erfüllt.

 2. Schritt: Hypothesenwahl

           a)  $H_0:\mu _1=\mu _2$                        gegen           $H_0:\mu _1\neq \mu _2.$                

Es ist nicht nach der Abweichung nach oben oder unten gefragt.       

 3. Schritt: Signifikanzniveau

$\alpha =0,01.$

 4. Schritt: Testfunktionswert
$\text v=\frac{\overline x_1-\overline x_2}{\sqrt{\frac{\sigma _1^2}{n_1}+\frac{\sigma _2^2}{n_2}}}=\frac{63-59}{\sqrt{\frac{64}{45}+\frac{64}{57}}}=\frac 4{\sqrt{\frac{64}{45}+\frac{64}{57}}}\approx 2,507.$
 
 5. Schritt:  Verwerfungsbereich

Das Fraktil der $z_{0,995}$    N(0;1) Verteilung ist gegeben durch: $z_{0,995}=2,57.$
Also $B=\left(-\infty ;-2,57\right)\cup \left(2,57;\infty \right)$

 6. Schritt: Testentscheidung
$H_0$  wird nicht verworfen, da $\text v\notin \mathit{B.}$

Interpretation
Auf einem Signifikanzniveau von einem Prozent kann nicht gezeigt werden, dass ein signifikanter Unterschied zwischen den kankheitsbedingten Fehlzeiten der Männer und Frauen besteht.