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Stichprobentheorie - Gemischte Übungsaufgaben zur Stichprobentheorie (Aufgaben 1 bis 5)

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Stichprobentheorie

Gemischte Übungsaufgaben zur Stichprobentheorie (Aufgaben 1 bis 5)

1. Aufgabe:

Einem Spielhallenbesitzer wird von einigen Spielenden vorgeworfen, dass die Würfel manipuliert wurden. Als Begründung wurde dafür genannt, dass noch nie jemand bei einem Würfelspiel den Hautgewinn gemacht hat. Der Spielhallenbesitzer versichert jedoch, dass es sich um ganz normale Spielwürfel handelt und die Chancen eine bestimmte Zahl zu werfen, genau so liege, wie bei jedem anderen Würfel auch. Trotz der Erklärung bestehen die Spielenden darauf das auszutesten, indem mit 120 normalen Würfeln getestet werden soll, ob die Würfel aus der Spielhalle tatsächlich die gleichen Wahrscheinlichkeiten für das Würfeln aller Zahlen aufweisen.

Mit $p_i$  wird die Wahrscheinlichkeit i $1\leqslant i\leqslant 6$ zu würfeln, bezeichnet.

Da die Spielhalle regelmäßig vom Ordnungsamt überprüft wird, ist eine Fairness-Voraussetzung anzunehmen von: $p_1=...=p_6=\frac 1 6.$

Im Falle dessen, dass es zu vermehrten Abweichungen kommt, wird auch die natürliche Abnutzung oder Beschädigungen am Würfel berücksichtigt.

Die Durchführung ergab folgende Werte:

Augenzahl i

1

2

3

4

5

6

Beobachtete Häufigkeit

17

19

22

22

12

28

Die Wahrscheinlichkeit, dass man sich irrt, liegt bei zehn Prozent.

Frage: Ist die Wahrscheinlichkeit jede Augenzahl würfeln zu können gleich hoch?

Vertiefung

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Lösung:
Anzuwenden ist hierfür der Hypothesentest:

Augenzahl i

1

2

3

4

5

6

Festgestellte Häufigkeit $h_i$

17

19

22

22

12

28

Ausgerechnete

Häufigkeit $np_{i}=120 p{i}$

20

20

20

20

20

20

Auswahl des richtigen Tests

1. Wie viele Stichproben sind gegeben?
-> Ein einfacher Stichprobenumfang von n = 120 ist nach Voraussetzung gegeben.
-> Folglich ist Schema a) anzuwenden.

2. Bezieht sich die Hypothese auf eine Verteilung oder einen Parameter?
-> Die Hypothese betrifft die Verteilung der Grundgesamtheit.
-> Folglich ist der Test 3.2.7 anzuwenden.

   

  1. Anwendungsvoraussetzungen
    Es wurde deutlich, dass die Anwendungsvoraussetzungen gegeben sind.

  2. Wahl der Hypothese
    Getestet wird, ob das Würfeln aller Augenzahlen gleichwahrscheinlich ist, d.h.:
    a) $H_0:F=F_0$        gegen        $H_1:F\neq F_0.$
    Die Gleichverteilung entspricht im diskreten Fall: $F_o$
    Es ist r = 0, da keine Parameter geschätzt werden müssen.

  3. Signifikanzniveau
    Gemäß der Aufgabenstellung ist  $\alpha =0,1$

  4. Testfunktionswert
    Die disjunkten aneinander grenzenden Intervalle sind:
    a) $I_1=\text (0;1\text ];I_2=\text (1;2\text ],...,I_6=\text (5;6\text ]$
    b) Die ermittelte Häufigkeiten in den Intervallen sind in der oberen Tabelle abzulesen, denn beispielsweise ist im Intervall (0;1] die Häufigkeit $h_i=17$ vertreten.
    c) Für jedes der Intervalle entspricht die Eintrittswahrscheinlichkeit:
    $\frac 1 6>\frac 5{120}\approx 0,042$

    Der Testfunktionswert wird berechnet:
    $\text v=\frac{\sum _{j=1}^6(h_j-\mathit{np}_j)^2}{\mathit{np}_j}=\frac{(17-20)^2}{20}+\frac{(19-20)^2}{20}+\frac{(22-20)^2}{20}+\frac{(22-20)^2}{20}+\frac{(12-20)^2}{20}$
    $+\frac{(28-20)^2}{20}\text =7,3$

  5. Verwerfungsbereich
    Das $1-\alpha $    Fraktil der   $\chi ^2(6-0-1)$     liegt vor durch:  $x_{1-0,1}=x_{0,9}=9,236.$
    $B=\text (9,236;\infty \text ).$

  6. Testentscheidung
    Auf Grund von $\text v\notin \mathit{B.}$ wird $H_0$ nicht verworfen.

  7. Deutung
    Auf der Grundlage eines Signifikanzniveaus von zehn Prozent konnte nicht bewiesen werden, dass es nicht wahrscheinlich sei, alle Augenzahlen gleichermaßen "häufig" zu werfen. Akzeptiert wird hierfür die Nullhypothese.

2. Aufgabe:

Eine Vielzahl an Onlineanbietern musste feststellen, dass es nicht genügt, die Produkte einfach zum Kauf im Internet zur Verfügung zu stellen. Es hat sich erwiesen, dass Produkte besser vertrieben werden, wenn Influencer gezielt dafür werben. Dieser Effekt konnten auch durch statistische Untersuchungen bestätigt werden.

Von dem Ergebnis wurde eine Vielzahl an Onlineanbietern überzeugt. Aus der Buchführung ist zu entnehmen, dass jeder Influencer für sich 200 € für die Präsentation eines Produktes erhält.

1. Die Provision der Influencer hängt davon ab, wie viele Produkte verkauft wurden. Nun kam es allerdings aufgrund der Mehrwertsteuererhöhung auch zur Erhöhung der Listenpreise. Da die Listenpreise jedoch auch mit der Provision zusammenhängen, müssen die Influencer mehr Produkte vermarkten, um auf die gleiche Bezahlung wie davor zu kommen.

2. Im Laufe der Zeit kommt es zu einer zunehmenden Konkurrenz durch den Vertrieb von ähnlichen Produkten. Da Influencer auch für diese werben, gewinnt auch die Konkurrenz zunehmend mehr Kunden. Dadurch geht auch eine Verlagerung der Umsätze einher.

Frage: Hat sich die Provision der Influencer geändert oder ist diese gleichgeblieben?

Ausgewertet wurden 100 Provisionen von Influencern, welche für Produkte von Onlineanbieter werben.
Dafür wurde eine einfache Stichprobe erhoben.

Es resultiert ein Wert von $\overline x=195\text{€}.$ Es ist $\sigma =70\text{€}.$

Der Fehler erster Art soll von Seiten des Onlineanbieters möglichst gering gehalten werden, um zu vermeiden, dass mehr Provision gezahlt werden muss als notwenig. Dazu wird $\alpha =0,01$ gewählt.

Vertiefung

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Lösung

Da nur Informationen über Änderungen von Interesse sind und nicht inwieweit sich diese genau verändert haben, reicht die Durchführung eines zweiseitigen Tests.

Wahl des richtigen Tests

1. Wie viele Stichproben sind gegeben?
-> Gegeben ist ein einfacher Stichprobenumfang von n = 100.
-> Folglich kann direkt Schema a) angewendet werden.

2. Bezieht sich die Hypothese auf eine Verteilung oder einen Parameter?
-> Die Hypothese betrifft die durchschnittliche Provision der Influencer entsprechend des Parameters $\mu .$
-> Folglich sind die Tests .3.2.1-3.2.4. anwendbar. 

3. Um welche Verteilung der Grundgesamtheit handelt es sich?
-> Die Verteilung der Grundgesamtheit ist unbekannt.
-> Folglich ist der Test 3.2.3 oder 3.2.4. anzuwenden.

4. Ist die Standardabweichung gegeben?
-> Ja, sie ist gegeben.
-> Folglich ist der Test 3.2.3 anzuwenden.

 

  1. Anwendungsvoraussetzungen
    Es wurde ersichtlich, dass diese gegeben sind. Es ist n > 30.

  2. Wahl der Hypothese
    a) $H_0:\mu =200$        gegen      $H_1:\mu \neq 200$

  3. Signifikanzniveau
    $\alpha =0,01.$

  4. Testfunktionswert
    $\text v=\frac{\overline x-\mu _0}{\sigma }\sqrt n=\frac{195-200}{70}\sqrt{100}\approx -0,714$

  5. Verwerfungsbereich
    $B=\text (-\infty ;-z_{1-\frac{\alpha } 2}\text )\cup \text (z_{1-\frac{\alpha } 2};\infty \text ).$

    Gegeben ist das $1-\frac{\alpha } 2=1-0,005=0,995$                      - Fraktil z der Standardnormalverteilung durch: $z_{0,995}\approx 2,576.$  

    Das bedeutet: $B=\text (-\infty ;-2,576\text )\cup \text (2,576;\infty \text )$.

  6. Testentscheidung
    Weil $\text v\notin \mathit{B.}$ wird $H_0$ nicht verworfen 

  7. Deutung
    Auf der Grundlage eines Signifikanzniveaus von einem Prozent konnte nicht bewiesen werden, dass die Provision geringer ausfiel, als vor der Listenpreiserhöhung. Der Stichprobenwert von 195 € konnte auf keine wesentliche Abweichung vom Ursprungswert hindeuten.

3. Aufgabe

Aufgrund des steigenden Strompreises sollen zunehmend mehr energiesparende Lampen in Fabriken und Unternehmen angebracht werden. Allerdings soll sich diese Änderung auch insofern lohnen, dass die Lampen eine möglichst lange Lebensdauer haben. Am optimalsten wäre es allerdings, wenn alle Lampen eine identische Lebensdauer hätten. Demnach sollen sich die Lampen darin ähneln und in jedem Fall nicht mehr als 220 Stunden von einander „abweichen“.

Folglich sei zu ermitteln, ob sich die Lampen mehr als 220 Stunden zueinander von ihrer Lebensdauer unterscheiden. Zugunsten der Stichprobe wird ein Umfang von n = 30 aus der Grundgesamtheit an Leuchtmitteln entnommen. Dabei entspricht die Grundgesamtheit einer Normalverteilung. Es hat sich eine mittlere Lebensdauer von 9000 Stunden und eine Streuung von 280 Stunden herausgestellt.

Frage: Unterscheidet sich die Lebensdauer der Leuchtmittel mehr als 220 Stunden voneinander?

Eine Abweichung von bis zu 50 Promille ist erlaubt. Es handelt sich um eine einfache Stichprobe.

Vertiefung

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Lösung

Wahl des richtigen Tests

1. Wie viele Stichproben sind gegeben ?
-> Gegeben ist nach Voraussetzung ein einfacher Stichprobenumfang von n = 30.
-> Folglich ist Schema a) anzuwenden.

2. Bezieht sich die Hypothese auf eine Verteilung oder einen Parameter?
-> Die Hypothese betrifft die Varianz der Lebensdauer der Leuchtmittel. Demnach den Parameter $\sigma ^2.$
-> Folglich wäre Test 3.2.6 unter Vorbehalt anzuwenden.

3. Um welche Verteilung der Grundgesamtheit handelt es sich?
-> Es handelt sich um eine normalverteilte Grundgesamtheit.
-> Folglich ist sicher Test 3.2.6 anzuwenden.

    

 

  1. Anwendungsvoraussetzungen
    Es wurde ersichtlich, dass diese gegeben sind.

  2. Wahl der Hypothese
    c) $H_0:\sigma ^2\leqslant 220$         gegen              $H_1:\sigma ^2>220$     

     
  3. Signifikanzniveau
    $\alpha =0,05.$

  4. Testfunktionswert
    $\text v=(n-1)\frac{s^2}{\sigma _0^2}=\text v=\frac{(30-1)\ast 280}{220}\approx 36,91.$

  5. Verwerfungsbereich
    $B=\text (x_{1-0,05};\infty \text ).$          
    Für das Fraktil der $\chi ^2(30-1)$           Verteilung  ergibt sich: $x_{0,95}=42,557.$       
    Also $B=\text (42,557;\infty \text ).$

  6. Testentscheidung
    Weil $\text v\notin \mathit{B.}$ wird $H_0$  nicht verworfen.

  7. Deutung
    Auf einem Signifikanzniveau von fünf Prozent kann nicht angenommen werden, dass die Varianz der Lebensdauer der Leuchtstoffröhren signifikant größer als 220 Stunden ist. Somit akzeptieren wir die Nullhypothese $H_0.$

4. Aufgabe

Stimmen im Bundestag meinen, dass die Mehrheit bei der Opposition liegen würde und diese der aktuellen Regierung fehlt. Behauptet wird konkret, dass ein unentschieden von jeweilig 50 % beider Anteilswerte besteht.
Diese Behauptung soll anhand einer gleichmäßig verteilten Meinungsumfrage bestätigt oder widerlegt werden. Dazu werden im ganzen Land 500 wahlberechtigte Personen befragt. Es stellte sich heraus, dass von diesen Personen 52 % für die Regierung stimmten. Eine Fehlerquote von einem Prozent wird angegeben. Es handelt sich bei der Stichprobe um eine einfache Grundgesamtheit.

Vertiefung

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Lösung

Wahl des richtigen Tests

1. Wie viele Stichproben sind gegeben?
-> Gegeben ist nach Voraussetzung ein Stichprobenumfang von n = 500.
-> Folglich ist Schema a) anzuwenden.

2. Bezieht sich die Hypothese auf eine Verteilung oder einen Parameter?
-> Die Hypothese betrifft einen Parameter bzw. die Anteilswerte der Parteien.
-> Folglich wäre Test 3.2.5 unter Vorbehalt anzuwenden. 

3. Um welche Verteilung der Grundgesamtheit handelt es sich?
-> Es handelt sich um eine binominalverteilte Grundgesamtheit. Es besteht nur die Möglichkeit für oder gegen die Regierung.
-> Folglich wäre Test 3.2.5 unter Vorbehalt anzuwenden.

  1.  Anwendungsvoraussetzungen
    Dafür gilt:    $500\ast 52{\%}=260\geqslant 5$       
    und $500\ast 51{\%}=260\leqslant 500-5=455.$
    Es wird deutlich, dass die Anwendungsvoraussetzungen gegeben sind.

  2. Wahl der Hypothese
    a)   $H_0:p=p_0=50{\%}$                       gegen           $H_1:p\neq 50{\%}.$ 
        
       
  3. Signifikanzniveau
    $\alpha =0,01.$

  4. Testfunktionswert
    $\text v=\frac{\overline x-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)}}\sqrt n=\frac{0,52-0,5}{\sqrt{0,5(1-0,5)}}\sqrt{500}\approx 0,89.$

  5. Verwerfungsbereich
    $B=\left(-\infty ;-z_{1-\frac{\alpha } 2}\right)\cup \left(z_{1-\frac{\alpha } 2};\infty \right),$            wobei  $z_{1-\frac{\alpha } 2}=z_{0,995}=2,57.$

    Demnach $B=\left(-\infty ;-2,57\right)\cup \left(2,57;\infty \right).$

  6. Testentscheidung
    Weil $\text v\notin \mathit{B.}$ wird $H_0$ nicht verworfen.

  7. Deutung
    Auf einem Signifikanzniveau von einem Prozent kann nicht gezeigt werden, dass kein Patt der Anteile vorliegt. Akzeptiert wird die Hypothese von $H_0$. Anzunehmen ist demnach, dass ein Patt bezüglich des Stimmenanteils besteht. Es ist keine wesentliche Abweichung von 50 % zu vernehmen.

5. Aufgabe

Dem Chef eines Unternehmens fällt auf, dass es bereits häufiger vorkam, dass seine Angestellten nicht zur Arbeit kamen, da sie krankgeschrieben sind. Darunter zählen sowohl die Frauen als auch die Männer. Es handelt sich um eine normalverteilte Grundgesamtheit. Von Interesse ist nun, ob es einen erheblichen Unterschied zwischen der durchschnittlichen Arbeitsunfähigkeit von Männer und Frauen gibt aufgrund von krankheitsbedingtem Ausfall. Wenn dem so wäre, so würde der Firmenchef in Erwägung ziehen, die Einstellungsanforderungen zu verändern. Der Test soll Klarheit darüber verschaffen, indem eine Stichprobe der krankgemeldeten Beschäftigten aus dem letzten Jahr erhoben wird. Daraus resultieren die folgenden Werte:

Es waren $n_1=45$ Männer $\overline x_1=63$ Arbeitsstunden je Person  

und

$n_2=57$ Frauen $\overline x_2=59$ Arbeitsstunden je Person krankgemeldet.

                                                                                                                                                                          

Es ergab sich eine Varianz von $\sigma ^2=64\mathit{St}^{2.}$ Stunden, wenngleich $\sigma ^2=\sigma _1^2=\sigma _2^2.$

Gewählt wird $\alpha =1{\%}$ . Um zu umgehen, dass fehlerhafte Rückschlüsse oder Vorurteile von Seiten des Firmenchefs gezogen werden, wird für die Hypothese $H_0$ ein niedriges Signifikanzniveau bestimmt. 

Aufgabe: Zugunsten der Entscheidungsfindung ist ein entsprechender Test durchzuführen.

Vertiefung

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Lösung

Wahl des richtigen Tests

1. Wie viele Stichproben sind gegeben?
-> Gegeben sind zwei Stichproben. Der erste Stichprobenumfang beträgt $n_1=45$      und der zweite $n_2=57.$     Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann klar gesagt werden, dass zwei unabhängige Stichproben gegeben sind, denn es liegt kein konkreter Zusammenhang vor, wie beispielsweise eine ansteckende Krankheit.
-> Folglich ist Schema b) zu wählen.

2. Bezieht sich die Hypothese auf eine Verteilung oder einen Parameter?
-> Die Hypothese betrifft den Vergleich der durchschnittlichen krankheitsbedingten Abwesenheit der männlichen und weiblichen Mitarbeiter, demnach die Parameter $\mu _1\text{und}\text{ }\mu _2.$
-> Folglich können die Tests 3.3.1. - 3.3.6 angewendet werden.

3 Um welchen Vergleich geht es?
-> Zu vergleichen ist die durchschnittliche krankheitsbedingte Abwesenheit der männlichen und weiblichen Mitarbeiter, demnach die der Parameter    $\mu _1\text{und}\text{ }\mu _2.$
-> Es ist bereits bekannt, dass es sich um zwei einfache Stichproben handelt.
-> Folglich können die Tests 3.3.1  - 3.3.5 angewendet werden.

4. Um welche Verteilung der Grundgesamtheit handelt es sich?
-> Es handelt sich bei beiden um eine normalverteilte Grundgesamtheit.
-> Folglich kann der Test 3.3.1 oder 3.3.2 angewendet werden.

5. Ist die Varianz gegeben ?
-> Ja die Varianz ist bekannt und zwar  $\sigma ^2=\sigma _1^2=\sigma _2^2=64.$
-> Folglich ist der Test 3.3.1 anzuwenden.


 1. Anwendungsvoraussetzungen

Es wurde deutlich, dass die Anwendungsvoraussetzungen gegeben sind.

 2. Wahl der Hypothese

           a)  $H_0:\mu _1=\mu _2$                        gegen           $H_0:\mu _1\neq \mu _2.$                

Zu ermitteln ist nicht die Abweichung nach oben oder unten.      

 3. Signifikanzniveau

$\alpha =0,01.$

 4. Testfunktionswert
$\text v=\frac{\overline x_1-\overline x_2}{\sqrt{\frac{\sigma _1^2}{n_1}+\frac{\sigma _2^2}{n_2}}}=\frac{63-59}{\sqrt{\frac{64}{45}+\frac{64}{57}}}=\frac 4{\sqrt{\frac{64}{45}+\frac{64}{57}}}\approx 2,507.$
 
 5. Verwerfungsbereich

Gegeben ist das Fraktil der $z_{0,995}$    N(0;1) Verteilung durch: $z_{0,995}=2,57.$
Demnach $B=\left(-\infty ;-2,57\right)\cup \left(2,57;\infty \right)$

 6. Testentscheidung
Weil $\text v\notin \mathit{B.}$ wird $H_0$  nicht verworfen.

7. Deutung
Anhand eines 1%-igen Signifikanzniveaus kann nicht gezeigt werden, dass ein erheblicher Unterschied zwischen den durchschnittlichen krankheitsbedingten Fehlzeiten zwischen den männlichen und weiblichen Mitarbeitern besteht.