Aufgaben 16 bis 20 zur Stichprobentheorie

Wahl des richtigen Tests

1. Wie viele Stichproben sind gegeben?
-> Gegeben ist eine einfache Stichprobe von n = 32 Kunden. Die Kunden sind unabhängig voneinander, da davon ausgegangen wird, dass sie keinen Einfluss aufeinander ausüben.
-> Folglich ist Schema a) anzuwenden.

2. Bezieht sich die Hypothese auf eine Verteilung oder einen Parameter?
-> Die Hypothese betrifft die durchschnittliche Anzahl unzufriedener Kunden und bezieht sich demnach auf einen Parameter.
-> Folglich wären die Tests  3.2.1-3.2.6. anwendbar.

3. Worin liegt der Vergleich?
Verglichen werden soll die durchschnittliche Anzahl unzufriedener Kunden in Form eines Tests in Bezug auf den Erwartungswert.
-> Folglich wären die Tests  3.2.1 -3.2.4. anzuwenden.

4. Um welche Verteilung der Grundgesamtheiten handelt es sich?
-> Es handelt sich um eine normalverteilte Grundgesamtheit.
Folglich ist der Test  3.2.1 oder 3.2.2. anwendbar.

5. Liegt die Standardabweichung der Grundgesamtheit vor?
-> Nein, es liegt nur die Stichprobenstandardabweichung vor.
-> Folglich ist der Test 3.3.2. anzuwenden.

 1. Anwendungsvoraussetzungen

Diese sind gegeben.

 2. Wahl der Hypothese

$H_0:$ Die Grundgesamtheit ergibt sich gleichermaßen aus den Kunden im Sommer und Oktober. In diesem Fall würde sich die mittlere Kundenzufriedenheit im Sommer nicht erheblich von der im Oktober unterscheiden. Außerdem wäre es auch denkbar, dass die Kunden im Sommer noch schlechter eingestellt waren, als wie im Oktober. Darüber hinaus könnte eine andere Begründung sein, dass nicht alle Faktoren von den  Untersuchenden mit einbezogen wurden.

$H_1:$    Im Sommer zeigte sich, dass die Kunden wesentlich weniger unzufrieden waren.
b) $H_0:\mu \geqslant 54,125$                     gegen     $H_1:\mu <54,125$      
    

 3. Signifikanzniveau

Gemäß der Aufgabenstellung beträgt das Konfidenzniveau 95 %, d.h.

$1-\alpha =95{\%}<=>\alpha =0,05$

 4. Testfunktionswert

In Anlehnung an die vorherige Aufgabe c) entspricht es  $\text v=\frac{50-55,68}{4,2}\approx -1,35.$       

5. Verwerfungsbereich

Passend zur Hypothesenwahl wird der Verwerfungsbereich gewählt. Das 95 %  Fraktil der t(31-1) Verteilung liegt vor durch:

$t_{0,95}(30)=1,7.$

Demnach ist:     $B=\text (-\infty ;-1,7\text ).$

 6. Testentscheidung

Weil $\text v\notin \mathit{B.}$ wird es nicht verworfen.

7. Deutung

Auf der Grundlage eines 5%-igen Signifikanzniveaus konnte nicht nachgewiesen werden, dass die Kunden im Sommer wesentlich weniger unzufrieden gewesen sind, als wie im Oktober. Demnach wird hier die Nullhypothese akzeptiert.

Antwort d) ist richtig.

Es ergeben sich für die Anzahl in der Stichprobe die folgenden Werte:

Männer:

$100\ast \frac{1960}{3110}$   = 63,02

Frauen:

$100\ast \frac{1150}{3110}$   = 36,98

Das bedeutet:

Ersichtlich wird, dass jedes prüfstatistische Verfahren die folgenden Komponenten als Grundgerüst umfasst:

Zu a):
Zu untersuchen ist hier das Ergebnis (die Leistung) des Konzentrationstests, woraus sich das Merkmal ergibt.
Es hat den Anspruch zumindest intervallskaliert zu sein, d.h. dass eine Zuordnung zu einem Skalenniveau möglich ist. Das Beispiel zeigt, dass das gegeben ist, aufgrund der Punkte- oder Zahlenskala, durch welche die Ergebnisse zu bewerten sind. Außerdem ist die Leistung im Konzentrationstest in den Gesamtmenge vergleichbarer Jugendlicher normalverteilt.

Zu b):
Zu prüfen ist, ob eine Abweichung der Stichprobenvarianzen vorliegt.

Wahl des richtigen Tests

1. Wie viele Stichproben sind gegeben?
-> Gegeben sind zwei einfache Stichproben nach Voraussetzung vom Umfang

$n_A=21\text{ }\text{und}\text{ }n_B=14$

-> Die Schüler aus den Akademikerfamilien üben keinen Einfluss auf die Schüler der   Arbeiterfamilien.
-> Folglich ist Schema b) anzuwenden.

2. Bezieht sich die Hypothese auf eine Verteilung oder einen Parameter?
-> Die Hypothese betrifft den Parameter „Varianzen“.
-> Folglich wären die Tests  3.3.1 bis  3.3.6  anwendbar.

3. Worin liegt der Vergleich?
-> Zu vergleichen sind die („unbekannten“) Varianzen.
-> Folglich ist Test  3.3.5 unter Vorbehalt anwendbar.

4. Welche Verteilung der beiden Grundgesamtheiten liegt vor?
-> Es handelt sich bei beiden um normalverteilte Grundgesamtheiten.
-> Folglich ist Test 3.3.5. anzuwenden.

1. Anwendungsvoraussetzungen

Es wurde ersichtlich, dass diese gegeben sind.

2. Wahl der Hypothese
a) $H_0:\sigma _1^2=\sigma _2^2$                          gegen     $H_1:\sigma _1^2\neq \sigma _2^2.$                      
                                           
3. Signifikanzniveau

$\alpha =5\text{\%}$

4. Testfunktionswert

Dafür bedarf es etwas Vorarbeit. Uns ist bekannt, dass die einzelnen Varianzen durch die gegebene Formel geschätzt werden können. Demnach
$\hat{\sigma }_A=s_A\sqrt{\frac{n_A}{n_A-1}}=13\sqrt{\frac{21}{21-1}}$                  =13,32

und 

$\hat{\sigma }_B=s_B\sqrt{\frac{n_B}{n_B-1}}=12\sqrt{\frac{14}{14-1}}$                    =12,45.

Als Prüfgroße erhalten wir:
$\text v=\frac{\hat{\sigma }_A^2}{\hat{\sigma }_B^2}$                 = 1,14.

5. Verwerfungsbereich

$B=\left[0;\frac 1{x_{0,975}}\right)\cup \text (x_{0,975}^{'};\infty \text )=\left[0;\frac 1{2,64}\right)\cup \text (2,95;\infty \text )=\left[0;0,38\right)\cup \text (2,95;\infty \text )$

Es ist $x^{'}$ das jeweilige Fraktil der-Verteilung und x das jeweilige Fraktil der $F(20,13)$          -Verteilung.

6. Testentscheidung

$H_0$ wird nicht verworfen, weil $1,14=v\notin B$

7. Deutung

Auf der Grundlage eines 5%-igen Signifikanzniveaus konnte nicht deutlich werden, dass die Varianzen ungleich sind. Auf Grund der vorliegenden Konformität, wird die Nullhypothese akzeptiert.


Zu c):
c)   $H_0:\mu _A\geqslant \mu _B$                          gegen     $H_1:\mu _A<\mu _B.$ 

$H_1:$   Von Interesse ist das Merkmal der besseren mittleren Leistung von Stichprobe B.