Inhaltsverzeichnis
21. Aufgabe
Eine andere Bezeichnung für das Signifikanzniveau ist die Überschreitungswahrscheinlichkeit. Versuchen Sie sich diese bildlich vorzustellen und eine Antwort auf die folgende Frage zu geben:
Die einseitige Überschreitungswahrscheinlichkeit für das Ausmaß einer Prüfgröße sei gegeben und umfasse die Größe von 2,5 % .
a) Welche Prüfverteilung ist geeignet, damit die Überschreitungswahrscheinlichkeit für eine zweiseitige Hypothesenprüfung direkt bestimmbar ist?
b) Zu bestimmen ist die Überschreitungswahrscheinlichkeít aus dem obigen Wert, wenn eine normalverteilte Prüfgröße vorliegt.
Vertiefung
Lösung
Zu a):
Möglich ist dies nur bei einer symmetrischen Prüfverteilung, da nur hierbei die zweiseitige Überschreitungswahrscheinlichkeit sofort aus der einseitigen Überschreitungswahrscheinlichkeit bestimmt werden kann.
Bei der folgenden Verteilung ist das möglich:
Normalverteilungen und t-Verteilungen.
Zu b):
Berechnet wird die zweiseitige Überschreitungswahrscheinlichkeit zu 2,5% + 2,5% = 5%.
22. Aufgabe
Ein Merkmal Y sei in einer Grundgesamtheit hinreichend normalverteilt. Vorzustellen sei nun, dass unendlich viele Stichproben der Größe n = 121 zu ziehen sind. Danach ist für jede einzelne Stichprobe der Mittelwert zu bestimmen.
a) Was kann für die Verteilung der Stichprobenmittelwerte erwartet werden?
b) In Bezug auf a): Mit Hilfe welcher Größe wird das Konfidenzintervall festgelegt?
Vertiefung
Lösung
Zu a):
Es wurde entschieden, Stichproben vom Umfang $n=121$ zu ziehen. Außerdem ist das Merkmal Y in der Gesamtheit normalverteilt, wodurch automatisch die Stichprobenmittelwerte ebenso einer Normalverteilung entsprechen, wegen der Reproduktionseigenschaft der Normalverteilung.
Zu b):
Abhängig ist die Breite des Konfidenzintervalls für Stichprobenmittelwerte…
- Vom Signifikanz- oder auch Konfidenzniveau für das Konfidenzintervall. Das Signifikanzniveau wirkt sich zudem direkt auf den Verwendungsbereich aus.
- Von $\sigma $ der Standardabweichung.
- Von dem Umfang n der Stichprobe.
23. Aufgabe
Erwachsene Personen, die aus einem bestimmten Gebiet stammen, weisen eine annähernd normalverteilte Körpergröße auf. Dazu wird eine Stichprobe von Männern und Frauen durchgeführt mit einer Ziehung vom Umfang n= 235. Daraus ging ein Durchschnittswert von 182 cm Körpergröße und die Standardabweichung von 8 cm einher.
a) In welchem Bereich ist der Mittelwert der Grundgesamtheit mit einer Wahrscheinlichkeit von 99 % zu finden?
Vertiefung
Lösung
Zu a):
Das Baumschema gibt an, dass das Schema 5 anzuwenden ist.
Nach Voraussetzung ist es n > 30.
1. Das Konfidenzniveau ist: $1-\alpha =99\text{\%}.$
Der Wert von einem Prozent wird von dem Signifikanzniveau angenommen, das bedeutet $\alpha =0,01.$
2. $1-\frac{\alpha } 2=1-\frac{0,01} 2=0,995.$
3. Durch: z = 2,57 liegt das 0,995- Fraktil der N(0;1)-Verteilung vor.
4. Das arithmetische Mittel liegt vor für: $\overline x=182.$
Die Standardabweichung liegt vor für: $\sigma =\hat{\sigma }=8.$
5. Für die halbe Breite des Konfidenzintervalls ergibt sich: $\frac{8\ast 2,57}{\sqrt{235}}$ =1,34.
6. Folglich erhalten wir für das Konfidenzintervall:
$\mathit{KI}=\left[182-1,34;182+1,34\right]=[180,66;183,34]$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 99 % liegt der Populationsmittelwert zwischen 180,66 und 183,34.
24. Aufgabe
Ausgehend von einer gegebenen Verteilung eines Merkmals in der Grundgesamtheit von $N(\mu ;\sigma )-\text{Verteilung}.$
In einer Stichprobe und einem Umfang n wird ein und dasselbe Merkmal gezogen. Daraus resultierten die Werte: $\overline x\text{und s .}$
a) Auf welche weise kann geprüft bzw. entschieden werden, ob die Stichprobe als Zufallsstichprobe in Bezug auf den Mittelwert aus der Grundgesamtheit betrachtet werden kann?
Vertiefung
Lösung
Zur Prüfung dessen bestehen die folgenden Möglichkeiten:
- Das Konfidenzintervalls für Stichproben der Größe n wird bestimmt.
- Der Stichprobenmittelwert wird mit dem Populationsmittelwert verglichen.
25. Aufgabe
Das Unternehmen Tela lässt seine Ware ausschließlich in China produzieren, verkauft diese jedoch in Deutschland. Dies hat den Vorteil, dass die Ware möglichst kostengünstig produziert werden und gleichermaßen zu guten Preisen weiterverkauft werden können.
Um im Ausland produzieren zu können, müssen die folgenden Voraussetzungen gegeben sein:
a) Die zu produzierende Warenmenge muss groß sein.
b) Die Kunden müssen registriert werden.
Das Unternehmen Tela gibt an, insgesamt 8000 Kunden zu haben. Im Rahmen der Stichprobe werden n = 46 Kunden dazu befragt, wie bislang ihre Kauferfahrungen gewesen sind. Wegen des zugrunde liegenden Interessenschwerpunktes des Unternehmens, sind die Antwortmöglichkeiten vorgegeben. Die zu beantwortende Frage lautet:
Die Wartezeiten zwischen der Bestellung und der Ankunft der Ware sind zu lang.
1 = Stimme vollkommen zu
2 = Stimme zu
3 = Stimme teilweise zu
4 = Stimme überhaupt nicht zu
Aus der Stichprobe ergab sich eine Standardabweichung von 0,85 und ein Mittelwert von 1,6.
Wie würde die Antwort aller 8000 Kunden mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % ausfallen?
Auszugehen ist davon, dass die Stichprobe ein repräsentatives Abbild liefert und für die Gesamtanzahl der Kundenmeinungen ingesamt steht.
Vertiefung
Lösung
Gesucht wird für den Mittelwert aller Kunden ein geeigneter Schätzwert.
Das Baumschema führt uns zu dem Schema 5.
1. Das Konfidenzniveau liegt vor durch:
$1-\alpha =95{\%}<=>\alpha =5{\%}.$
2. $1-\frac{\alpha } 2=1-\frac{0,05} 2=0,975.$
3. Das 0,975-Fraktil der Standardnormalverteilung ist: z=1,96.
4. $\overline x=1,6\text{ }\text{und}\text{ }\hat{\sigma }=0,85.$
5. Die halbe Breite des Konfidenzintervalls liegt vor durch:
$\frac{\hat{\sigma }z}{\sqrt n}=\frac{0,85\ast 1,96}{\sqrt{46}}$ = 0,25.
6. Es ergibt sich für das Konfidenzintervall:
KI=[1,6-0,25;1,6+0,25]=[1,35; 1,625].
Der Mittelwert der Anzahl der Befragten befindet sich zwischen 1,35 und 1,625.
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