Lageparameter

Verteilungsparamter

Die Termini Modus, Median und arithmetisches Mittel sind in der beschreibenden Statistik für eindimensionale Häufigkeitsverteilungen bekannt. Bei zweidimensionalen Häufigkeitsverteilungen kennen wir den Korrelationskoeffizient.

Analog werden wir Verteilungsparameter für Zufallsvariablen kennenlernen und zwar Lageparameter und Streuungsparameter

Gegeben sei ersteinmal eine eindimensionale Zufallsvariable.

Ist diese diskret, sei sie erklärt für x₁, x_2, x₃, ... vielleicht endlich viele Zahlen (es gibt dann ein letztes Glied, hier x_n), eventuell aber auch abzählbar unendlich viele.
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion f hat dann abzählbar unendlich viele Werte f(x₁), f(x₂), f(x₃),...

Ist die Zufallsvariable jedoch stetig, so sei die Verteilung die Dichtefunktion f mit den Werten f(x).

Lageparameter

Die Verteilung ist von verschiedenen Zahlen gekennzeichnet, bzw. ist "um diese Zahlen verteilt". Damit sind in diesem Kapitel die Termini Modus, Median, α-Fraktil und Erwartungswert gemeint:

Modus

Median

Die Zufallsvariable X  nimmt mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,5 Werte an, die wenigstens so groß sind wie der  Median. Umgekehrt ist die Zufallsvariable X maximal gleich dem Median.

Der Median ist also im Vergleich zu Modus immer gesichert.

Unsicher ist (wie Modus auch) die Eindeutigkeit. Für unser Beispiel des einmaligen Würfelwurfs wäre geanuso 3,7 der Median, weil P(X ≥ 3,7) = P(X = 4) + ... + P(X = 6) = 3·{1 \over {6}}$ = $ {1 \over {2}}$ und P(X ≤ 3,7) = P(X = 1) + ... + P(X = 3) = 3·{1 \over {6}}$ = $ {1 \over {2}}$.

So können wir festhalten , dass man jede Zahl x_med, die die Bedingungen erfüllt, als Median bezeichnet. Autoren einiger Fachbücher definieren nur die kleiste Zahl x, welche die Bedingungen erfüllt als Median. Für unser Beispiel wäre das dann nur die Zahl 3.

Der Median lässt sich auch durch die Verteilungsfunktion F rafisch darstellen. Für unser Beispiel sieht es dann so aus:

Denkt man sich von der y-Achse aus bei 0,5 eine Linie bis zur Stelle, an der man das erste Mal auf den Graphen trifft und zieht dann eine Senkrechte zur x-Achse, so trifft man den Median.

Jedoch kann man mit dieser Methode auch auf das Problem stoßen,wie in diesem Diagramm, die zu der Zufallsvariablen X mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion f passt:

Es gibt hier also keine Punkte, bei denen eine der beiden Bedingungen aus der Definition des Medians als Gleichheit gegeben ist. Hingegen fällt ins Auge, dass x = 2 sich als Median anbietet:

P(X ≥ 2) = P(X = 2) + ... P(X = 4) = $ {1 \over {2}}$ + $ {1 \over {8}}$ + $ {1 \over {8}}$ =$ {6 \over {8}}$ = $ {3 \over {4}}$

und

P(X ≤ 2) = P(X = 1) + P(X = 2) = $ {1 \over {4}}$ + $ {1 \over {2}}$ = $ {3 \over {4}}$

Beide Male ist der Wert x größer als $ {1 \over {2}}$ und erfüllt daher keine der zwei Bedinungen für den Median. Es sei auch darauf hingewiesen, dass x= 2,5 keines Falls eine korrekte Alternative wäre:

P(X ≥ 2,5) = P(X = 3) + P(X = 4) = $ {1 \over {8}}$ + $ {1 \over {8}}$ = $ {1 \over {4}}$ und dies ist kleiner als $ {1 \over {2}}$.

Für den Fall einer diskreten Zufallsvariable, wo die gedachte Linie „durchrutscht“, ist der Median sogar eindeutig festgelegt.

Fraktil

Weil der Terminus des α -Fraktils für den stetigen Fall einfacher zu verstehen ist, als  für den Diskreten, lernen wir ersteren zuerst kennen:

stetige Zufallsvariablen

Das eine Zufallsvariable X höchstens den Wert X_α hat genau die Wahrscheinlichkeit α.

1. Der Graph sieht folgendermaßen aus:
   
   
   
   
   
2. Das 0,3-Fraktil x0,3 ist x0,3 = 0,7746. Das Fraktil lässt sich aber auch durch die Dichte erkennen: das gesuchte Fraktil ist da zu finden, wo die Fläche unter der Dichtefunktion auf den Wert 0,3 stößt (30% der Fläche unterhalb des Graphen).
   
   
   

 Analog ist es hier für das 0,7 Fraktil dargestellt:

Da man ein Integral lösen muss die die Rechnung relativ umfangreich. Man fragt sich, welchen Wert x_0,7 haben muss, damit exakt ein Anteil von 0,7 der Fläche unterhalb der Dichtefunktion erreicht ist. Die halbe Fläche liegt hier bei 1, da dort der Median liegt. Aus bleiben daher noch 0,2 zwischen 1 und dem gesuchten Wert für x_0,7 .

Gerechnet wird:

$\int _1^{x_{\alpha }}\;(2 – x)dx = \int _1^{x_{\alpha }}\; 2dx - \int _1^{x_{\alpha }}\; xdx = 2·x \left|\genfrac{}{}{0pt}{0}{\;^{x_{\alpha }}}{\;_1}\right. - \frac 1 2$·$x^2 \left|\genfrac{}{}{0pt}{0}{\;^{x_{\alpha }}}{\;_1}\right.$
$= 2 x_{\alpha } - 1 - \frac 1 2 x_{\alpha }^2 + \frac 1 2$·$1^2= - \frac 1 2 x_{\alpha }^2 + 2x_{\alpha } - 1,5 = 0,2$.

Dies führt auf die Gleichung $x_α^2 - 4x_α + 3,4 = 0$.

Die Lösung hierzu lässt sich mit der p-q-Formel berechnen:

$\Rightarrow$ $x_{1/2} = -\frac{p}{2}\pm \sqrt{({p\over{2}})^2-q}$

$x_{1/2} = -\frac{-4}{2}\pm \sqrt{\frac{(-4)^2}{4}-3,4} $

$x_{1/2} = 2 \pm \sqrt{4-3,4} $

$x_{1/2} = 2 \pm \sqrt{0,6} $

$x_{1/2} = 2 \pm 0,7746$

$x_1 = 2,7746$
$x_2 = 1,2254 $

Die korrekte Lösung muss x_med = 1,2254 sein, da das Ergebnis x₁ außerhalb des Definitionsbereiches der Dichtefunktion f liegt.

diskrete Zufallsvariablen

Für diskrete Zufallsvariablen ist die Definition des α - Fraktils ein wenig komplizierter:

Es bezeichnet [c] die untere Gaußklammer der Zahl c. Diese ist durch Abschneiden der Nachkommastellen zu bekommen. Z.B.: [3,7] = 3, [1,39] = 1, [0,8] = 0 und [4] = 4. ACHTUNG: [5,] = 6, weil 5, schon gleich 6 ist.

Insgesamt kann man sich (sowohl für diskrete als auch stetige Fälle) merken:

Erwartungswert

Der wichtigste Lageparameter ist der Erwartungswert E(X) und wird sehr oft auch mit dem Buchstaben μ bezeichnet.

Wenn wir bei einem Zufallsexperiment auch nicht vorhersagen können, welches Ergebnis wir erhalten, so können wir trotzdem berechenen, welches Ergebnis wir erwarten können.

Wie immer ist dabei die Wahrscheinlichkeit f(x_i) = P(X = x_i), dass die Zufallsvariable X den Wert x_i annimmt. Ist unsere Zufallsvariable X endlich (hat als bspw. n Werte), kann man den Erwartungswert einfach so berechnen:

E(X) = $\sum_{i=1}^{\infty}$ $x_i$·$f(x_i)$

E(X) muss dabei keine Zahl sein, die die Zufallsvariable X auch wirklich annehmen kann. Anhand unseres Beispiels kann man sehen, dass 3,5 nie gewürfelt wird. Diese Zahl stellt vielmehr die im Durchnitt zu erwartende gewürfelte Augenzahl dar. Mann kann den Erwartungswert E(X) also als einen Schwerpunkt der Verteilung verstehen.

Für eine stetige Zufallsvariable X berechnet man den Erwartungswert E(X) als Integral der zugehörigen Dichtefunktion f:

Im Kapitel "stetige Gleichverteilung" werden wir die oben genannte Verteilung zwischen 5 und 15 als solche kennenlernen.