Zentraler Grenzwertsatz

Die Aussage des Zentralen Grenzwertsatzes lässt sich in Worten dadurch beschreiben, dass die Summe von unabhängigen, identisch verteilten Zufallsvariablen X_i für immer größeres n sich beliebig genau durch eine Normalverteilung berechnen lässt, d.h. dass die Verteilung von $\sum _{i\;=\;1}^nX_i$ immer besser durch N(n·μ, σ·$\sqrt n$) beschrieben wird – hierbei bezeichnet μ den Erwartungswert von X_i, also μ = E(X_i), und σ die Standardabweichung von X_i, also σ = $\sqrt{\mathit{Var}(X_i)}$. Also:

Zentraler Grenzwertsatz

Die Zufallsvariable $\overline X_n$ wird standardisiert, weil die Grenzverteilung von $\sum _{i\;=\;1}^n\;$ X_i, nämlich N(n·μ, σ·$\sqrt n$), noch von der Anzahl n abhängig ist, was als nachteilig empfunden wird.
Die standardisierte Zufallsvariable Y_n =$\frac{\sum _{i\;=\;1}^nX_i\;-\;n_{\mu }}{\sigma \sqrt n}$ hat diesen Nachteil nicht mehr, die Zufallsvariable N(0,1) ist unabhängig von n.

Der Zwecks des Zentralen Grenzwertsatzs ist es, obwohl die exakte Verteilung der einzelnen X_i unbekannt ist, es zu ermöglichen, einfach die entsprechende Normalverteilung zu nehmen, um Wahrscheinlichkeiten näherungsweise zu berechnen, da das Ergebnis  für immer größeres n brauchbar ist.

Exakte Lösung mit der Binomialverteilung

Die einzelnen X_i sind binomialverteilt mit dem Erwartungswert μ = E(X_i) = 1· $1 \over 2$ = 0,5 und der Standardabweichung σ = $\sqrt{1\;\cdot \;\frac 1 2\;\cdot \;(1\;-\;\frac 1 2)}$ = 0,5.
Da die einzelnen X_i unabhängig voneinander sind, gilt $\sum _{i\;=\;1}^n\;$ X_i ~ B(n, $1 \over 2$) als exakte Verteilung.

Für n = 5 gilt also mit der B(5,$1 \over 2$) – Verteilung:

P($\sum _{i\;=\;1}^{5}\;$X_i ≤ 3) = P($\sum _{i\;=\;1}^{5}\;$Xi = 0) + P($\sum _{i\;=\;1}^{5}\;$X_i = 1) + ... + P($\sum _{i\;=\;1}^{5}\;$X_i = 3)

= $\left(\genfrac{}{}{0pt}{0}{5}0\right)$· $\left(\frac 1 2\right)^0$· $\left(1\;-\;\frac 1 2\right)^{5\;-\;0}$ +  $\left(\genfrac{}{}{0pt}{0}{5}1\right)$· $\left(\frac 1 2\right)^1$· $\left(1\;-\;\frac 1 2\right)^{5\;-\;1}$ + ... +  $\left(\genfrac{}{}{0pt}{0}{5}{3}\right)$· $\left(\frac 1 2\right)^{3}$· $\left(1\;-\;\frac 1 2\right)^{5\;-\;3}$

=$\left(\frac 1 2\right)^{5}$+5·$\left(\frac 1 2\right)^{5}$+10·$\left(\frac 1 2\right)^{5}$+10·$\left(\frac 1 2\right)^{5}$

= $\left(\frac 1 2\right)^{5}$ ·(1 + 5 + 10 +10)

= $\frac{26}{2^{5}}$ = 0,812

Approximative Lösung:

Approximativ – also mit Hilfe des Zentralen Grenzwertsatzes – rechnet man mit der entsprechenden Normalverteilung, die von n abhängig ist:

für n = 5: $\sum _{i\;=\;1}^{5}\;$ X_i ~ N(5·$\frac 1 2$;  $\sqrt{5}$· $\sqrt{0,25}$) = N(2,5; $\sqrt{1,25}$)

Für n = 5 rechnet man approximativ:

P($\sum _{i\;=\;1}^{5}\;$X_i ≤ 3) = P($\frac{\sum _{i\;=\;1}^{5}X_i\;-\;5\;\cdot \;\frac 1 2}{\frac 1 2\;\cdot \;\sqrt{5}}$ ${\leq}$  $\frac{3\;-\;2,5}{\frac 1 2\;\cdot \;\sqrt{5}}$)

= Ф($\frac {0,5} {\frac 1 2\;\cdot \;\sqrt{5}}$) = Ф (0,447) = 0,67364.

Die Abweichung zwischen dem exakten Wert – 0,812 und dem approximativen Ergebnis ist also 0,138.

Für n = 15 rechnet man analog. Zur Übung rechne doch ersteinmal für dich und klappe dann die Box auf.

Wir sehen also, dass bei größerem n die Abweichung immer kleiner wird.